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1.「2025黑龙江哈尔滨中考」抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+4$的顶点坐标是（
A.$(3,4)$
B.$(-3,4)$
C.$(-3,-4)$
D.$(3,-4)$
A
）A.$(3,4)$
B.$(-3,4)$
C.$(-3,-4)$
D.$(3,-4)$
答案
A 抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+4$的顶点坐标是$(3,4)$.故选A.
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式对应的顶点坐标，解题思路如下：首先明确题干给出的二次函数解析式是顶点式形式，回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的顶点坐标为$(h,k)$，注意括号内为$x-h$，因此$h$的取值与括号内常数的符号相反，$k$的取值与解析式末尾常数的符号一致，最后对应题干解析式找到$h、k$的值即可得到顶点坐标。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其顶点坐标为$(h,k)$。
已知抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+4$，对比顶点式可得：$h=3$，$k=4$，因此该抛物线的顶点坐标为$(3,4)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数顶点式的识记与应用，解题时只需注意$h$的符号不要判断错误，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式对应的顶点坐标，解题思路如下：首先明确题干给出的二次函数解析式是顶点式形式，回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的顶点坐标为$(h,k)$，注意括号内为$x-h$，因此$h$的取值与括号内常数的符号相反，$k$的取值与解析式末尾常数的符号一致，最后对应题干解析式找到$h、k$的值即可得到顶点坐标。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其顶点坐标为$(h,k)$。
已知抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+4$，对比顶点式可得：$h=3$，$k=4$，因此该抛物线的顶点坐标为$(3,4)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数顶点式的识记与应用，解题时只需注意$h$的符号不要判断错误，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
反
2.「2026广东湛江雷州期中」二次函数$y=-2(x+1)^2+3$的最大值为（
A.-2
B.-1
C.1
D.3
2.「2026广东湛江雷州期中」二次函数$y=-2(x+1)^2+3$的最大值为（
D
）A.-2
B.-1
C.1
D.3
答案
D $\because$ 二次项系数 $a=-2＜0,\therefore$ 图象开口向下,$\because$ 二次函数$y=-2(x+1)^2+3$的图象的顶点坐标为$(-1,3)$,$\therefore y$ 的最大值为 3.故选 D.
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的最值求解，解题思路如下：首先明确所给二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，第一步先判断二次项系数$a$的正负：若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。第二步，顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，函数的最值就是顶点的纵坐标$k$，据此即可直接得出最大值。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-2(x+1)^2+3$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；
2. 该函数的顶点坐标为$(-1,3)$，顶点的纵坐标即为函数的最大值，因此$y$的最大值为3。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次函数顶点式基本性质的掌握，只要明确顶点式中参数的意义、开口方向与最值的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的最值求解，解题思路如下：首先明确所给二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，第一步先判断二次项系数$a$的正负：若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。第二步，顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，函数的最值就是顶点的纵坐标$k$，据此即可直接得出最大值。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-2(x+1)^2+3$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；
2. 该函数的顶点坐标为$(-1,3)$，顶点的纵坐标即为函数的最大值，因此$y$的最大值为3。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次函数顶点式基本性质的掌握，只要明确顶点式中参数的意义、开口方向与最值的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3.「2026浙江杭州期中」将二次函数$y=-x^2$的图象先向右平移4个单位，再向上平移3个单位所得图象的函数表达式为（
A.$y=-(x-4)^2+3$
B.$y=-(x+4)^2-3$
C.$y=-(x+4)^2+3$
D.$y=-(x-4)^2-3$
A
）A.$y=-(x-4)^2+3$
B.$y=-(x+4)^2-3$
C.$y=-(x+4)^2+3$
D.$y=-(x-4)^2-3$
答案
A 抛物线平移的规律是“左加右减自变量,上加下减常数项”,函数$y=-x^2$的图象先向右平移 4 个单位,再向上平移 3 个单位后,所得图象的函数表达式为$y=-(x-4)^2+3$.故选 A.
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数图象平移的核心规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”。首先处理水平方向的平移：向右平移是对自变量x进行调整，遵循“右减”规则，将原函数中的x替换为x减去平移的单位长度；再处理竖直方向的平移：向上平移是对整个函数值进行调整，遵循“上加”规则，在平移后的表达式末尾加上平移的单位长度，最终得到平移后的函数表达式，再匹配选项即可。
【解析】
第一步：处理向右平移4个单位的变换
原函数为$y=-x^2$，根据“左加右减自变量”的规律，向右平移4个单位时，将自变量$x$替换为$x-4$，得到平移后的函数表达式为：$y=-(x-4)^2$。
第二步：处理向上平移3个单位的变换
根据“上加下减常数项”的规律，向上平移3个单位时，在上述表达式的基础上加上3，得到最终的函数表达式为：$y=-(x-4)^2+3$。
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 函数图象变换
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题型，核心考查对平移口诀的理解与应用，解题时需注意“左加右减”是针对自变量$x$本身的运算，避免混淆平移方向与加减的对应关系即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次函数图象平移的核心规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”。首先处理水平方向的平移：向右平移是对自变量x进行调整，遵循“右减”规则，将原函数中的x替换为x减去平移的单位长度；再处理竖直方向的平移：向上平移是对整个函数值进行调整，遵循“上加”规则，在平移后的表达式末尾加上平移的单位长度，最终得到平移后的函数表达式，再匹配选项即可。
【解析】
第一步：处理向右平移4个单位的变换
原函数为$y=-x^2$，根据“左加右减自变量”的规律，向右平移4个单位时，将自变量$x$替换为$x-4$，得到平移后的函数表达式为：$y=-(x-4)^2$。
第二步：处理向上平移3个单位的变换
根据“上加下减常数项”的规律，向上平移3个单位时，在上述表达式的基础上加上3，得到最终的函数表达式为：$y=-(x-4)^2+3$。
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 函数图象变换
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题型，核心考查对平移口诀的理解与应用，解题时需注意“左加右减”是针对自变量$x$本身的运算，避免混淆平移方向与加减的对应关系即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
4.「2026北京二中教育集团期中」对于二次函数$y=2(x-5)^2+1$，下列说法正确的是（
A.图象的开口向下
B.图象的对称轴为直线$x=-5$
C.其最小值为1
D.当$x＜5$时，$y$随$x$的增大而增大
C
）A.图象的开口向下
B.图象的对称轴为直线$x=-5$
C.其最小值为1
D.当$x＜5$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
C 对于二次函数$y=2(x-5)^2+1,a=2＞0$,故图象开口向上,故 A 错误;顶点坐标为$(5,1)$,故图象的对称轴为直线$x=5$,故 B 错误;由图象开口向上及顶点坐标可得,函数的最小值为 1,当$x＜5$时,$y$ 随$x$ 的增大而减小,故 C 正确,D 错误.故选 C.
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，解题思路如下：第一步先从给出的函数解析式中提取参数$a$、$h$、$k$的值；第二步结合各参数对应的性质，依次判断四个选项的正误即可得出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-5)^2+1$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=2$，$h=5$，$k=1$：
1. 判断开口方向：$a=2＞0$，因此图象开口向上，故A选项错误；
2. 判断对称轴：顶点式的对称轴为直线$x=h$，因此该函数对称轴为直线$x=5$，故B选项错误；
3. 判断最值：因为图象开口向上，所以顶点为函数图象的最低点，顶点纵坐标即为函数最小值，$k=1$，因此函数最小值为1，故C选项正确；
4. 判断增减性：开口向上时，在对称轴左侧（即$x＜5$时），$y$随$x$的增大而减小，故D选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数开口方向
3. 二次函数的增减性与最值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对二次函数顶点式中各参数含义的理解与运用，熟练记忆顶点式对应的对称轴、开口方向、最值、增减性等性质，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，解题思路如下：第一步先从给出的函数解析式中提取参数$a$、$h$、$k$的值；第二步结合各参数对应的性质，依次判断四个选项的正误即可得出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-5)^2+1$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=2$，$h=5$，$k=1$：
1. 判断开口方向：$a=2＞0$，因此图象开口向上，故A选项错误；
2. 判断对称轴：顶点式的对称轴为直线$x=h$，因此该函数对称轴为直线$x=5$，故B选项错误；
3. 判断最值：因为图象开口向上，所以顶点为函数图象的最低点，顶点纵坐标即为函数最小值，$k=1$，因此函数最小值为1，故C选项正确；
4. 判断增减性：开口向上时，在对称轴左侧（即$x＜5$时），$y$随$x$的增大而减小，故D选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数开口方向
3. 二次函数的增减性与最值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对二次函数顶点式中各参数含义的理解与运用，熟练记忆顶点式对应的对称轴、开口方向、最值、增减性等性质，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
5.「2026云南昆明期中」若抛物线$y=(x-2)^2 +2m$的顶点在$x$轴上，则$m=$
0
。答案
0
解析 抛物线$y=(x-2)^2+2m$的顶点坐标为$(2,2m)$,$\because$ 顶点在$x$轴上,$\therefore 2m=0,\therefore m=0$.
解析 抛物线$y=(x-2)^2+2m$的顶点坐标为$(2,2m)$,$\because$ 顶点在$x$轴上,$\therefore 2m=0,\therefore m=0$.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：它的顶点坐标为$(h,k)$；其次明确x轴上点的坐标特征：所有x轴上的点纵坐标都为0。结合题目给出的抛物线解析式，先写出它的顶点坐标，再根据顶点在x轴上的条件列出关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
已知抛物线的解析式为顶点式$y=(x-2)^2 +2m$，根据二次函数顶点式的性质，可得该抛物线的顶点坐标为$(2,2m)$。
因为顶点在x轴上，而x轴上的点纵坐标为0，所以有$2m=0$，解得$m=0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. x轴上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查对顶点式基本性质的掌握，只要熟记顶点式的顶点坐标，结合坐标轴上点的坐标特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：它的顶点坐标为$(h,k)$；其次明确x轴上点的坐标特征：所有x轴上的点纵坐标都为0。结合题目给出的抛物线解析式，先写出它的顶点坐标，再根据顶点在x轴上的条件列出关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
已知抛物线的解析式为顶点式$y=(x-2)^2 +2m$，根据二次函数顶点式的性质，可得该抛物线的顶点坐标为$(2,2m)$。
因为顶点在x轴上，而x轴上的点纵坐标为0，所以有$2m=0$，解得$m=0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. x轴上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查对顶点式基本性质的掌握，只要熟记顶点式的顶点坐标，结合坐标轴上点的坐标特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6.「2026江苏徐州期中」已知$A(1,y_1)$,$B(2,y_2)$是抛物线$y=-(x+1)^2+k$上的两点,则$y_1$和$y_2$的大小关系是
$y_2＜y_1$
.(用“＜”连接)答案
$y_2＜y_1$
解析 由$y=-(x+1)^2+k$,得抛物线的开口向下,对称轴为直线$x=-1$,$\therefore$ 当$x＞-1$时,$y$ 随$x$ 的增大而减小,$\because A(1,y_1),B(2,y_2)$两点在抛物线上,且$-1＜1＜2$,$\therefore y_2＜y_1$.
解析 由$y=-(x+1)^2+k$,得抛物线的开口向下,对称轴为直线$x=-1$,$\therefore$ 当$x＞-1$时,$y$ 随$x$ 的增大而减小,$\because A(1,y_1),B(2,y_2)$两点在抛物线上,且$-1＜1＜2$,$\therefore y_2＜y_1$.
解析
【分析】
要比较抛物线上两点的函数值大小，首先从给出的顶点式解析式入手，先确定抛物线的开口方向和对称轴，再判断两个点的横坐标所在的区间，结合二次函数对应区间的增减性即可判断函数值的大小关系：首先由解析式得二次项系数为负，开口向下，对称轴为直线x=-1；A、B两点的横坐标都大于-1，即都在对称轴右侧，开口向下的抛物线在对称轴右侧y随x增大而减小，因此横坐标越大对应的函数值越小。
【解析】
由抛物线解析式$y=-(x+1)^2+k$可知，二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$；
由此可得：当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
已知$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$均在抛物线上，且$-1＜1＜2$，因此$y_2＜y_1$。
【答案】
$y_2＜y_1$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是先通过解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合增减性规律比较函数值大小，掌握二次函数的增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要比较抛物线上两点的函数值大小，首先从给出的顶点式解析式入手，先确定抛物线的开口方向和对称轴，再判断两个点的横坐标所在的区间，结合二次函数对应区间的增减性即可判断函数值的大小关系：首先由解析式得二次项系数为负，开口向下，对称轴为直线x=-1；A、B两点的横坐标都大于-1，即都在对称轴右侧，开口向下的抛物线在对称轴右侧y随x增大而减小，因此横坐标越大对应的函数值越小。
【解析】
由抛物线解析式$y=-(x+1)^2+k$可知，二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$；
由此可得：当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
已知$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$均在抛物线上，且$-1＜1＜2$，因此$y_2＜y_1$。
【答案】
$y_2＜y_1$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是先通过解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合增减性规律比较函数值大小，掌握二次函数的增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
7. 学科特色教材变式「2026安徽合肥瑶海月考」已知二次函数$y=(x-2)^2 -1$.
(1)直接写出二次函数$y=(x-2)^2 -1$的图象的对称轴和顶点坐标：
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与$y$轴的交点坐标.
(3)直接写出当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小.
大而减小.
(1)直接写出二次函数$y=(x-2)^2 -1$的图象的对称轴和顶点坐标：
直线$x=2$
，$(2,-1)$
.(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与$y$轴的交点坐标.
(3)直接写出当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小.
大而减小.
答案
(1)直线$x=2;(2,-1)$.
(2)列表：
| $x$ | $\dots$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\dots$ | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | $\dots$ |
描点,画出函数图象如图所示：
(3)$x＜2$.
解析
【分析】
本题围绕二次函数顶点式的性质及图像画法展开：(1)对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可直接提取对称轴和顶点坐标，其中对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，对应题干解析式找对应h、k值即可；(2)画二次函数图像遵循“列表-描点-连线”的步骤，优先选取顶点、与坐标轴交点、对称点计算对应函数值，再描点连线，标注与y轴交点即可；(3)二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同判断，本题$a=1＞0$，开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧随x增大而增大，结合对称轴即可得出范围。
【解析】
(1) 已知二次函数解析式为顶点式$y=(x-2)^2-1$，对比$y=a(x-h)^2+k$，得$h=2$，$k=-1$，因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$。
(2) 第一步：列表，选取对称轴及对称轴两侧对称的x值，计算对应y值：
当$x=0$时，$y=(0-2)^2-1=4-1=3$；当$x=1$时，$y=(1-2)^2-1=1-1=0$；当$x=2$时，$y=-1$；当$x=3$时，$y=(3-2)^2-1=0$；当$x=4$时，$y=(4-2)^2-1=3$，列表如参考答案所示。
第二步：在坐标系中描出(0,3)、(1,0)、(2,-1)、(3,0)、(4,3)这几个点，用平滑曲线依次连接各点得到函数图象，标注y轴交点(0,3)，图象如参考图所示。
(3) 该二次函数$a=1＞0$，因此图象开口向上，在对称轴左侧，即$x＜2$时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1)直线$x=2$；$(2,-1)$
(2)列表：
| $x$ | $\dots$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\dots$ | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | $\dots$ |
描点,画出函数图象如图所示：
(3)$x＜2$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数图象的画法；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查对顶点式性质的掌握和画函数图象的基本技能，熟练掌握二次函数的对称轴、顶点、增减性等基础性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.85
本题围绕二次函数顶点式的性质及图像画法展开：(1)对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可直接提取对称轴和顶点坐标，其中对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，对应题干解析式找对应h、k值即可；(2)画二次函数图像遵循“列表-描点-连线”的步骤，优先选取顶点、与坐标轴交点、对称点计算对应函数值，再描点连线，标注与y轴交点即可；(3)二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同判断，本题$a=1＞0$，开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧随x增大而增大，结合对称轴即可得出范围。
【解析】
(1) 已知二次函数解析式为顶点式$y=(x-2)^2-1$，对比$y=a(x-h)^2+k$，得$h=2$，$k=-1$，因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$。
(2) 第一步：列表，选取对称轴及对称轴两侧对称的x值，计算对应y值：
当$x=0$时，$y=(0-2)^2-1=4-1=3$；当$x=1$时，$y=(1-2)^2-1=1-1=0$；当$x=2$时，$y=-1$；当$x=3$时，$y=(3-2)^2-1=0$；当$x=4$时，$y=(4-2)^2-1=3$，列表如参考答案所示。
第二步：在坐标系中描出(0,3)、(1,0)、(2,-1)、(3,0)、(4,3)这几个点，用平滑曲线依次连接各点得到函数图象，标注y轴交点(0,3)，图象如参考图所示。
(3) 该二次函数$a=1＞0$，因此图象开口向上，在对称轴左侧，即$x＜2$时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1)直线$x=2$；$(2,-1)$
(2)列表：
| $x$ | $\dots$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\dots$ | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | $\dots$ |
描点,画出函数图象如图所示：
(3)$x＜2$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数图象的画法；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查对顶点式性质的掌握和画函数图象的基本技能，熟练掌握二次函数的对称轴、顶点、增减性等基础性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.85
8.「2026福建福州期中，★☆」已知关于x的二次函数$y=(x-m)^2 -1$，当$x＞-1$时y随x的增大而增大，则它的图象顶点所在象限为（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C 由二次函数$y=(x-m)^2-1$可知图象开口向上,顶点坐标为$(m,-1)$,对称轴为直线$x=m$,$\because$ 当$x＞-1$时$y$随$x$的增大而增大,$\therefore m≤ -1$,$\therefore$ 顶点$(m,-1)$在第三象限.故选 C.
解析
【分析】
首先观察二次函数解析式为顶点式，先明确其开口方向、对称轴及顶点坐标；再结合二次函数的增减性：开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大，结合题目给出的“x＞-1时y随x的增大而增大”，可推出对称轴的取值范围，进而得到顶点横坐标的取值范围；最后根据顶点横、纵坐标的正负判断其所在象限即可。
【解析】
已知二次函数$y=(x-m)^2 -1$，其中二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上，顶点坐标为$(m,-1)$，对称轴为直线$x=m$。
对于开口向上的二次函数，在对称轴右侧的区域，y随x的增大而增大。已知当$x＞-1$时，y随x的增大而增大，说明直线$x=-1$在对称轴右侧或与对称轴重合，因此可得$m≤-1$。
由此可知顶点的横坐标$m≤-1$为负数，纵坐标为$-1$也为负数，因此顶点$(m,-1)$在第三象限。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，象限坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数顶点式的相关性质，结合函数增减性确定参数取值范围是解题的关键，熟练掌握二次函数的图象性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
首先观察二次函数解析式为顶点式，先明确其开口方向、对称轴及顶点坐标；再结合二次函数的增减性：开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大，结合题目给出的“x＞-1时y随x的增大而增大”，可推出对称轴的取值范围，进而得到顶点横坐标的取值范围；最后根据顶点横、纵坐标的正负判断其所在象限即可。
【解析】
已知二次函数$y=(x-m)^2 -1$，其中二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上，顶点坐标为$(m,-1)$，对称轴为直线$x=m$。
对于开口向上的二次函数，在对称轴右侧的区域，y随x的增大而增大。已知当$x＞-1$时，y随x的增大而增大，说明直线$x=-1$在对称轴右侧或与对称轴重合，因此可得$m≤-1$。
由此可知顶点的横坐标$m≤-1$为负数，纵坐标为$-1$也为负数，因此顶点$(m,-1)$在第三象限。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，象限坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数顶点式的相关性质，结合函数增减性确定参数取值范围是解题的关键，熟练掌握二次函数的图象性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
9.「★☆」在同一平面直角坐标系中，函数$y=mx+m$和$y=-m(x-1)^2 -1$（$m$是常数，且$m≠0$）的图象可能是（
）
）答案
B 由$y=-m(x-1)^2-1$,得抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$,故选项 A,D 不符合题意;由选项 B,C 得抛物线开口向上,故$-m＞0$,即$m＜0$,故直线$y=mx+m$与$y$轴负半轴相交,故选 B.
解析
【分析】
本题是一次函数与二次函数图象共存的判断类题目，解题时可按照“先定二次函数特征排除错误选项，再验证一次函数参数是否匹配”的思路：①首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，先确定题中二次函数的顶点，排除顶点不符合的选项；②对剩余选项，根据抛物线的开口方向得到参数$m$的取值范围；③再根据$m$的正负判断一次函数的图象走向是否符合，最终确定正确选项。
【解析】
1. 先分析二次函数$y=-m(x-1)^2 -1$：该函数为顶点式，顶点坐标为$(1,-1)$。
观察选项：A选项抛物线顶点在第二象限，D选项抛物线顶点在第三象限，均不符合顶点$(1,-1)$的特征，故排除A、D。
2. 观察剩余选项B、C，抛物线开口均向上，因此二次项系数$-m＞0$，解得$m＜0$。
3. 分析一次函数$y=mx+m$：当$m＜0$时，一次项系数$m＜0$，说明直线从左到右下降；常数项$m＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴，因此直线经过第二、三、四象限。
C选项中直线经过第一、二、三象限，不符合$m＜0$的特征，排除C；B选项直线符合特征，故B正确。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数顶点式性质、函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，需要结合函数性质通过参数的取值双向验证图象是否匹配，解题时优先通过确定性的特征（如二次函数顶点）排除错误选项，可有效提升解题效率，同时考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与二次函数图象共存的判断类题目，解题时可按照“先定二次函数特征排除错误选项，再验证一次函数参数是否匹配”的思路：①首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，先确定题中二次函数的顶点，排除顶点不符合的选项；②对剩余选项，根据抛物线的开口方向得到参数$m$的取值范围；③再根据$m$的正负判断一次函数的图象走向是否符合，最终确定正确选项。
【解析】
1. 先分析二次函数$y=-m(x-1)^2 -1$：该函数为顶点式，顶点坐标为$(1,-1)$。
观察选项：A选项抛物线顶点在第二象限，D选项抛物线顶点在第三象限，均不符合顶点$(1,-1)$的特征，故排除A、D。
2. 观察剩余选项B、C，抛物线开口均向上，因此二次项系数$-m＞0$，解得$m＜0$。
3. 分析一次函数$y=mx+m$：当$m＜0$时，一次项系数$m＜0$，说明直线从左到右下降；常数项$m＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴，因此直线经过第二、三、四象限。
C选项中直线经过第一、二、三象限，不符合$m＜0$的特征，排除C；B选项直线符合特征，故B正确。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数顶点式性质、函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，需要结合函数性质通过参数的取值双向验证图象是否匹配，解题时优先通过确定性的特征（如二次函数顶点）排除错误选项，可有效提升解题效率，同时考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
10.「2026浙江宁波鄞州期中，★☆」若点$(-3,y_{1}),(0,y_{2}),(1,y_{3})$都在二次函数$y=(x+2)^{2}+k$的图象上，则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系是（
A.$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
B.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
C.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
D.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
B
）A.$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
B.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
C.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
D.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
答案
B 由$y=(x+2)^2+k$,得抛物线的开口向上,对称轴为直线$x=-2$,$\therefore$ 抛物线上的点离对称轴越远,其纵坐标越大,即对应的函数值越大.
$\because -2-(-3)=1,0-(-2)=2,1-(-2)=3$,且$1＜2＜3$,$\therefore y_1＜y_2＜y_3$.故选 B.
$\because -2-(-3)=1,0-(-2)=2,1-(-2)=3$,且$1＜2＜3$,$\therefore y_1＜y_2＜y_3$.故选 B.
解析
【分析】
要比较二次函数上三个点的函数值大小，核心是利用二次函数的对称性与增减性规律：首先根据二次函数的顶点式确定抛物线的开口方向和对称轴；再计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离；最后根据“开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大”的规律，就能对应得到三个函数值的大小关系。
【解析】
由二次函数解析式$y=(x+2)^2+k$可知，二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
根据开口向上的抛物线性质：抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大。
分别计算三个点到对称轴$x=-2$的距离：
点$(-3,y_1)$到对称轴的距离为$\vert -2 - (-3)\vert=1$；
点$(0,y_2)$到对称轴的距离为$\vert 0 - (-2)\vert=2$；
点$(1,y_3)$到对称轴的距离为$\vert 1 - (-2)\vert=3$。
因为$1＜2＜3$，所以对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数值大小比较
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数的基本性质，解题关键是先确定抛物线的开口方向和对称轴，利用距离对称轴的远近判断函数值大小，无需逐一代入计算，能简化解题步骤。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数上三个点的函数值大小，核心是利用二次函数的对称性与增减性规律：首先根据二次函数的顶点式确定抛物线的开口方向和对称轴；再计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离；最后根据“开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大”的规律，就能对应得到三个函数值的大小关系。
【解析】
由二次函数解析式$y=(x+2)^2+k$可知，二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
根据开口向上的抛物线性质：抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大。
分别计算三个点到对称轴$x=-2$的距离：
点$(-3,y_1)$到对称轴的距离为$\vert -2 - (-3)\vert=1$；
点$(0,y_2)$到对称轴的距离为$\vert 0 - (-2)\vert=2$；
点$(1,y_3)$到对称轴的距离为$\vert 1 - (-2)\vert=3$。
因为$1＜2＜3$，所以对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数值大小比较
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数的基本性质，解题关键是先确定抛物线的开口方向和对称轴，利用距离对称轴的远近判断函数值大小，无需逐一代入计算，能简化解题步骤。
【难度系数】
0.8
11. 学科特色
分类讨论思想「2026 湖北武汉洪山期中，★77」已知二次函数 $y=a(x-\dfrac{1}{2})^2 - a(a≠0)$，当$-1≤ x≤\dfrac{5}{2}$时，$y$的最小值为$-6$，则$a$的值为（
A.6或-2
B.-6或2
C.-6或-2
D.6或2
分类讨论思想「2026 湖北武汉洪山期中，★77」已知二次函数 $y=a(x-\dfrac{1}{2})^2 - a(a≠0)$，当$-1≤ x≤\dfrac{5}{2}$时，$y$的最小值为$-6$，则$a$的值为（
A
）A.6或-2
B.-6或2
C.-6或-2
D.6或2
答案
A 由$y=a(x-\dfrac{1}{2})^2 - a(a ≠ 0)$,可知函数图象的对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$,在$-1≤ x≤\dfrac{5}{2}$的范围内,若$a＞0$,则当$x=\dfrac{1}{2}$时,$y$有最小值,为$-a=-6$,$\therefore a=6$;若$a＜0$,$\because \left|-1-\dfrac{1}{2}\right|＜\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}\right|$,$\therefore$ 当$x=\dfrac{5}{2}$时,$y$有最小值,为$a(\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2})^2 -a=3a=-6$,$\therefore a=-2$.综上所述,$a$的值为6或-2.故选 A.
解析
【分析】
首先，题中给出的二次函数是顶点式，可先确定其对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$，且对称轴落在给定区间$-1≤ x≤\dfrac{5}{2}$内。二次函数的最值与开口方向相关，因此需分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况讨论：①当$a＞0$时，开口向上，顶点处为函数最小值点，直接代入顶点纵坐标列方程求解；②当$a＜0$时，开口向下，离对称轴越远的点函数值越小，先计算区间两个端点到对称轴的距离，找到最小值对应的x值，代入解析式列方程求解，最后综合两种情况得到a的取值。
【解析】
由二次函数$y=a(x-\dfrac{1}{2})^2 - a(a≠0)$，可得其图象对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$，且$x=\dfrac{1}{2}$在区间$-1≤ x≤\dfrac{5}{2}$内，分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，此时顶点为函数的最小值点：
顶点处的函数值为$-a$，由最小值为$-6$得：$-a=-6$，解得$a=6$，符合$a＞0$的条件。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，此时离对称轴越远的点函数值越小：
计算两个端点到对称轴的距离：$\left|-1-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{3}{2}$，$\left|\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}\right|=2$，因为$\dfrac{3}{2}＜2$，所以$x=\dfrac{5}{2}$时y取得最小值。
将$x=\dfrac{5}{2}$代入解析式得：$y=a(\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2})^2 -a=4a -a=3a$，由最小值为$-6$得：$3a=-6$，解得$a=-2$，符合$a＜0$的条件。
综上，$a$的值为6或-2，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 分类讨论思想
3. 二次函数最值求解
【点评】
本题核心考查二次函数在给定区间内的最值计算，需要结合开口方向、对称轴与给定区间的位置关系分析，易错点是忽略对a正负的分类讨论，或开口向下时错误判断最小值对应的点，熟练掌握二次函数图象性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
首先，题中给出的二次函数是顶点式，可先确定其对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$，且对称轴落在给定区间$-1≤ x≤\dfrac{5}{2}$内。二次函数的最值与开口方向相关，因此需分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况讨论：①当$a＞0$时，开口向上，顶点处为函数最小值点，直接代入顶点纵坐标列方程求解；②当$a＜0$时，开口向下，离对称轴越远的点函数值越小，先计算区间两个端点到对称轴的距离，找到最小值对应的x值，代入解析式列方程求解，最后综合两种情况得到a的取值。
【解析】
由二次函数$y=a(x-\dfrac{1}{2})^2 - a(a≠0)$，可得其图象对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$，且$x=\dfrac{1}{2}$在区间$-1≤ x≤\dfrac{5}{2}$内，分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，此时顶点为函数的最小值点：
顶点处的函数值为$-a$，由最小值为$-6$得：$-a=-6$，解得$a=6$，符合$a＞0$的条件。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，此时离对称轴越远的点函数值越小：
计算两个端点到对称轴的距离：$\left|-1-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{3}{2}$，$\left|\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}\right|=2$，因为$\dfrac{3}{2}＜2$，所以$x=\dfrac{5}{2}$时y取得最小值。
将$x=\dfrac{5}{2}$代入解析式得：$y=a(\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2})^2 -a=4a -a=3a$，由最小值为$-6$得：$3a=-6$，解得$a=-2$，符合$a＜0$的条件。
综上，$a$的值为6或-2，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 分类讨论思想
3. 二次函数最值求解
【点评】
本题核心考查二次函数在给定区间内的最值计算，需要结合开口方向、对称轴与给定区间的位置关系分析，易错点是忽略对a正负的分类讨论，或开口向下时错误判断最小值对应的点，熟练掌握二次函数图象性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
