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12.「2026河北廊坊月考，★☆」如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线$y=(x-1)^2+2$上运动,过点A作$AB ⊥ x$轴于点B.以AB为斜边作$\mathrm{Rt}△ ABC$,AB边上的中线CD长的最小值是
1
.答案
1
解析 $\because CD$ 为 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 斜边上的中线, $\therefore CD=\dfrac{1}{2}AB$, 又$\because$ 抛物线 $y=(x-1)^2+2$ 的顶点坐标为$(1,2)$,$\therefore$ 点 $A$ 到 $x$ 轴的距离最小为 2,$\because AB ⊥ x$ 轴,$\therefore AB$ 的最小值为 2,$\therefore$ 中线 $CD$ 长的最小值为 $\dfrac{1}{2}×2=1$.
解析 $\because CD$ 为 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 斜边上的中线, $\therefore CD=\dfrac{1}{2}AB$, 又$\because$ 抛物线 $y=(x-1)^2+2$ 的顶点坐标为$(1,2)$,$\therefore$ 点 $A$ 到 $x$ 轴的距离最小为 2,$\because AB ⊥ x$ 轴,$\therefore AB$ 的最小值为 2,$\therefore$ 中线 $CD$ 长的最小值为 $\dfrac{1}{2}×2=1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先，根据直角三角形斜边中线的性质，找到CD与AB的数量关系，将求CD的最小值转化为求AB的最小值；其次，AB是点A到x轴的垂线段，长度等于点A的纵坐标，因此求AB的最小值就等价于求抛物线$y=(x-1)^2+2$的函数值的最小值，结合二次函数的性质即可求出结果。
【解析】
∵ CD是$\mathrm{Rt}△ABC$斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质可得：
$CD=\dfrac{1}{2}AB$，
因此要使CD最小，只需AB最小即可。
∵ $AB⊥x$轴，点B在x轴上，
∴ AB的长度等于点A的纵坐标，
抛物线$y=(x-1)^2+2$开口向上，顶点坐标为$(1,2)$，即函数的最小值为2，
∴ AB的最小值为2，
代入$CD=\dfrac{1}{2}AB$得CD的最小值为$\dfrac{1}{2}×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；二次函数的最值；点到坐标轴的距离
【点评】
本题是二次函数性质和直角三角形性质的综合基础题，解题的核心是利用转化思想，将求CD的最小值转化为求二次函数的最小值，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先，根据直角三角形斜边中线的性质，找到CD与AB的数量关系，将求CD的最小值转化为求AB的最小值；其次，AB是点A到x轴的垂线段，长度等于点A的纵坐标，因此求AB的最小值就等价于求抛物线$y=(x-1)^2+2$的函数值的最小值，结合二次函数的性质即可求出结果。
【解析】
∵ CD是$\mathrm{Rt}△ABC$斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质可得：
$CD=\dfrac{1}{2}AB$，
因此要使CD最小，只需AB最小即可。
∵ $AB⊥x$轴，点B在x轴上，
∴ AB的长度等于点A的纵坐标，
抛物线$y=(x-1)^2+2$开口向上，顶点坐标为$(1,2)$，即函数的最小值为2，
∴ AB的最小值为2，
代入$CD=\dfrac{1}{2}AB$得CD的最小值为$\dfrac{1}{2}×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；二次函数的最值；点到坐标轴的距离
【点评】
本题是二次函数性质和直角三角形性质的综合基础题，解题的核心是利用转化思想，将求CD的最小值转化为求二次函数的最小值，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13.「2026浙江杭州期中，★☆」如图，小明和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形.小明从球门正前方8 m的A处射门，当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点B，此时球离地面3 m，球门高OC为2.44 m.
(1)求该抛物线对应的函数表达式.
(2)通过计算判断小明此次射门能否射入球门内.
(3)点D为OC上一点，且OD=2.25 m，若射门路线的形状、大小和最大高度均保持不变，当小明带球向正后方移动n m再射门时，足球恰好经过OD区域(含点O和D)，直接写出n的取值范围.
(1)求该抛物线对应的函数表达式.
(2)通过计算判断小明此次射门能否射入球门内.
(3)点D为OC上一点，且OD=2.25 m，若射门路线的形状、大小和最大高度均保持不变，当小明带球向正后方移动n m再射门时，足球恰好经过OD区域(含点O和D)，直接写出n的取值范围.
答案
(1)由题意得,抛物线的顶点坐标为$(2,3)$,$\therefore$ 设抛物线表达式为$y=a(x-2)^2+3(a≠0)$,把$A(8,0)$代入得$0=36a+3$,解得$a=-\dfrac{1}{12}$,$\therefore$ 抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$.
(2)当$x=0$时,$y=-\dfrac{1}{12}×(-2)^2+3\approx2.67＞2.44$,$\therefore$ 球不能射入球门内.
(3)当小明带球向正后方移动$n$ m时,移动后的抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$,把点$(0,2.25)$代入,得$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,解得$n=-5$(舍去)或$n=1$,把点$(0,0)$代入,得$0=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,解得$n=-8$(舍去)或$n=4$.综上所述,$n$的取值范围为$1≤ n≤4$.
(2)当$x=0$时,$y=-\dfrac{1}{12}×(-2)^2+3\approx2.67＞2.44$,$\therefore$ 球不能射入球门内.
(3)当小明带球向正后方移动$n$ m时,移动后的抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$,把点$(0,2.25)$代入,得$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,解得$n=-5$(舍去)或$n=1$,把点$(0,0)$代入,得$0=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,解得$n=-8$(舍去)或$n=4$.综上所述,$n$的取值范围为$1≤ n≤4$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线函数表达式时，已知抛物线顶点坐标，优先选择顶点式设解析式，再将已知点A代入即可求出未知系数a，得到完整表达式。
(2) 判断能否射入球门，只需计算球门位置x=0对应的函数值，与球门高度2.44m比较大小即可得出结论。
(3) 小明向正后方移动n m，等价于抛物线整体向右平移n个单位，顶点横坐标变为2+n，形状、开口、最大值均不变，写出平移后的解析式后，分别代入OD的两个端点坐标求出对应的n值，舍去不符合实际的负根，即可得到n的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线表达式为$y=a(x-2)^2+3(a≠0)$。
将点$A(8,0)$代入表达式得：$0=a(8-2)^2+3$，即$0=36a+3$，
解得$a=-\dfrac{1}{12}$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2) 球门位于$x=0$处，将$x=0$代入抛物线表达式：
$y=-\dfrac{1}{12}×(-2)^2+3=\dfrac{8}{3}\approx2.67$，
因为$2.67＞2.44$，说明球到达球门位置时高度高于球门高度，因此此次射门不能射入球门内。
(3) 移动后抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$：
① 将点$(0,2.25)$代入得：$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$，
解得$n=1$或$n=-5$（移动距离为正，舍去$n=-5$）；
② 将点$(0,0)$代入得：$0=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$，
解得$n=4$或$n=-8$（舍去$n=-8$）。
综上，n的取值范围为$1≤ n≤4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3}$
(2) 不能射入球门内
(3) $\boldsymbol{1≤ n≤4}$
【知识点】
二次函数顶点式求解，二次函数实际应用，二次函数图象平移
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是合理选择解析式形式，掌握函数图象平移的变化规律，同时要注意实际问题中参数的取值要符合现实意义，主动舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线函数表达式时，已知抛物线顶点坐标，优先选择顶点式设解析式，再将已知点A代入即可求出未知系数a，得到完整表达式。
(2) 判断能否射入球门，只需计算球门位置x=0对应的函数值，与球门高度2.44m比较大小即可得出结论。
(3) 小明向正后方移动n m，等价于抛物线整体向右平移n个单位，顶点横坐标变为2+n，形状、开口、最大值均不变，写出平移后的解析式后，分别代入OD的两个端点坐标求出对应的n值，舍去不符合实际的负根，即可得到n的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线表达式为$y=a(x-2)^2+3(a≠0)$。
将点$A(8,0)$代入表达式得：$0=a(8-2)^2+3$，即$0=36a+3$，
解得$a=-\dfrac{1}{12}$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2) 球门位于$x=0$处，将$x=0$代入抛物线表达式：
$y=-\dfrac{1}{12}×(-2)^2+3=\dfrac{8}{3}\approx2.67$，
因为$2.67＞2.44$，说明球到达球门位置时高度高于球门高度，因此此次射门不能射入球门内。
(3) 移动后抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$：
① 将点$(0,2.25)$代入得：$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$，
解得$n=1$或$n=-5$（移动距离为正，舍去$n=-5$）；
② 将点$(0,0)$代入得：$0=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$，
解得$n=4$或$n=-8$（舍去$n=-8$）。
综上，n的取值范围为$1≤ n≤4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3}$
(2) 不能射入球门内
(3) $\boldsymbol{1≤ n≤4}$
【知识点】
二次函数顶点式求解，二次函数实际应用，二次函数图象平移
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是合理选择解析式形式，掌握函数图象平移的变化规律，同时要注意实际问题中参数的取值要符合现实意义，主动舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
14. 核心素养 运算能力「2026 青海西宁城西期中」如图，已知二次函数$y=-(x+1)^2 +k$的图象经过点$A(-3,0),C(0,3)$，与$x$轴另一交点为点$B$，点$D$在线段$OA$上运动（不与点$O$，点$A$重合），过点$D$作$x$轴的垂线，与$AC$交于点$Q$，与抛物线交于点$P$。
(1)求该二次函数的解析式及点$B$的坐标。
(2)若$PQ=QD$，求点$P$的坐标。
(3)求线段$PQ$的最大值。
(4)学科特色 方程思想 在抛物线上是否存在一点$E$（不与点$C$重合），使得$△ EAB$的面积等于$△ ABC$的面积？若存在，请直接写出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由。
备用图
(1)求该二次函数的解析式及点$B$的坐标。
(2)若$PQ=QD$，求点$P$的坐标。
(3)求线段$PQ$的最大值。
(4)学科特色 方程思想 在抛物线上是否存在一点$E$（不与点$C$重合），使得$△ EAB$的面积等于$△ ABC$的面积？若存在，请直接写出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由。
备用图
答案
(1)将$A(-3,0)$代入$y=-(x+1)^2+k$,得$-(-3+1)^2+k=0$,解得$k=4$,$\therefore$ 该二次函数的解析式为$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$.
由题意,得$A,B$两点关于直线$x=-1$对称,$\because A(-3,0)$,$\therefore B(1,0)$.
(2)设直线$AC$的解析式为$y=mx+n(m≠0)$,将点$A,C$的坐标分别代入,得$\begin{cases}-3m+n=0,\\n=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=3,\end{cases}$$\therefore$ 直线$AC$的解析式为$y=x+3$.
设点$D$的坐标为$(t,0)(-3＜t＜0)$,$\because PD⊥ x$轴,$\therefore P(t,-t^2-2t+3)$,$Q(t,t+3)$,则$PQ=-t^2-2t+3-(t+3)=-t^2-3t$,$QD=t+3-0=t+3$,$\because PQ=QD$,$\therefore -t^2-3t=t+3$,解得$t=-1$或$t=-3$(不符合题意,舍去),当$t=-1$时,$-t^2-2t+3=4$,$\therefore P(-1,4)$.
(3)由(2)得$PQ=-t^2-3t=-(t+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$,$\because -1＜0$,$\therefore$ 当$t=-\dfrac{3}{2}$时,$PQ$取最大值,最大值为$\dfrac{9}{4}$.
(4)存在,点$E$的坐标为$(-2,3)$或$(-1+\sqrt{7},-3)$或$(-1-\sqrt{7},-3)$.
详解:$\because A(-3,0),B(1,0)$,$\therefore AB=1-(-3)=4$.
$\because OC=3$,$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×4×3=6$.
设点$E$的坐标为$(a,-a^2-2a+3)$,在$△ EAB$中,$AB$边上的高为$|-a^2-2a+3|$,$\therefore S_{△ EAB}=\dfrac{1}{2}×4×|-a^2-2a+3|=6$,即$|-a^2-2a+3|=3$,
当$-a^2-2a+3=3$时,解得$a=0$(舍去)或$a=-2$,此时点$E$的坐标为$(-2,3)$.
当$-a^2-2a+3=-3$时,解得$a=-1+\sqrt{7}$或$a=-1-\sqrt{7}$,此时点$E$的坐标为$(-1+\sqrt{7},-3)$或$(-1-\sqrt{7},-3)$.
综上所述,点$E$的坐标为$(-2,3)$或$(-1+\sqrt{7},-3)$或$(-1-\sqrt{7},-3)$.
由题意,得$A,B$两点关于直线$x=-1$对称,$\because A(-3,0)$,$\therefore B(1,0)$.
(2)设直线$AC$的解析式为$y=mx+n(m≠0)$,将点$A,C$的坐标分别代入,得$\begin{cases}-3m+n=0,\\n=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=3,\end{cases}$$\therefore$ 直线$AC$的解析式为$y=x+3$.
设点$D$的坐标为$(t,0)(-3＜t＜0)$,$\because PD⊥ x$轴,$\therefore P(t,-t^2-2t+3)$,$Q(t,t+3)$,则$PQ=-t^2-2t+3-(t+3)=-t^2-3t$,$QD=t+3-0=t+3$,$\because PQ=QD$,$\therefore -t^2-3t=t+3$,解得$t=-1$或$t=-3$(不符合题意,舍去),当$t=-1$时,$-t^2-2t+3=4$,$\therefore P(-1,4)$.
(3)由(2)得$PQ=-t^2-3t=-(t+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$,$\because -1＜0$,$\therefore$ 当$t=-\dfrac{3}{2}$时,$PQ$取最大值,最大值为$\dfrac{9}{4}$.
(4)存在,点$E$的坐标为$(-2,3)$或$(-1+\sqrt{7},-3)$或$(-1-\sqrt{7},-3)$.
详解:$\because A(-3,0),B(1,0)$,$\therefore AB=1-(-3)=4$.
$\because OC=3$,$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×4×3=6$.
设点$E$的坐标为$(a,-a^2-2a+3)$,在$△ EAB$中,$AB$边上的高为$|-a^2-2a+3|$,$\therefore S_{△ EAB}=\dfrac{1}{2}×4×|-a^2-2a+3|=6$,即$|-a^2-2a+3|=3$,
当$-a^2-2a+3=3$时,解得$a=0$(舍去)或$a=-2$,此时点$E$的坐标为$(-2,3)$.
当$-a^2-2a+3=-3$时,解得$a=-1+\sqrt{7}$或$a=-1-\sqrt{7}$,此时点$E$的坐标为$(-1+\sqrt{7},-3)$或$(-1-\sqrt{7},-3)$.
综上所述,点$E$的坐标为$(-2,3)$或$(-1+\sqrt{7},-3)$或$(-1-\sqrt{7},-3)$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数为顶点式，仅参数k未知，将点A(-3,0)代入解析式即可求出k，得到二次函数完整解析式；抛物线对称轴为x=-1，A、B是抛物线与x轴的两个交点，关于对称轴对称，结合A点坐标即可直接求出B点坐标。
(2) 先使用待定系数法，代入A、C两点坐标求出直线AC的解析式；设点D的横坐标为t（-3＜t＜0），由于PD垂直x轴，因此P、Q两点横坐标均为t，分别代入抛物线和直线AC的解析式，即可用含t的式子表示P、Q的坐标，进而表示出PQ、QD的长度，根据PQ=QD列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可得到P点坐标。
(3) 由(2)可得PQ长度是关于t的二次函数，将其配方为顶点式，结合二次函数开口向下的性质，顶点处即可取得PQ的最大值。
(4) 先计算△ABC的面积：以AB为底，AB长为4，高为OC的长度3，面积为6；若△EAB面积与△ABC相等，则AB边上的高为3，即E点纵坐标的绝对值为3，分纵坐标为3和-3两种情况代入抛物线解析式求解，排除与点C重合的解即可得到所有符合要求的E点坐标。
【解析】
(1) 将$A(-3,0)$代入$y=-(x+1)^2 +k$，得$-(-3+1)^2+k=0$，解得$k=4$，$\therefore$ 该二次函数的解析式为$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$。
由题意得A、B两点关于直线$x=-1$对称，$\because A(-3,0)$，$\therefore B(1,0)$。
(2) 设直线AC的解析式为$y=mx+n(m≠0)$，将点A、C的坐标分别代入，得$\begin{cases}-3m+n=0\\n=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=3\end{cases}$，$\therefore$ 直线AC的解析式为$y=x+3$。
设点D的坐标为$(t,0)(-3＜t＜0)$，$\because PD⊥ x$轴，$\therefore P(t,-t^2-2t+3)$，$Q(t,t+3)$，则$PQ=-t^2-2t+3-(t+3)=-t^2-3t$，$QD=t+3-0=t+3$。
$\because PQ=QD$，$\therefore -t^2-3t=t+3$，解得$t=-1$或$t=-3$（不符合题意，舍去），当$t=-1$时，$-t^2-2t+3=4$，$\therefore P(-1,4)$。
(3) 由(2)得$PQ=-t^2-3t=-(t+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$，$\because -1＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$ 当$t=-\dfrac{3}{2}$时，PQ取最大值，最大值为$\dfrac{9}{4}$。
(4) 存在。$\because A(-3,0),B(1,0)$，$\therefore AB=1-(-3)=4$。
$\because OC=3$，$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
设点E的坐标为$(a,-a^2-2a+3)$，在$△ EAB$中，AB边上的高为$|-a^2-2a+3|$，$\therefore S_{△ EAB}=\dfrac{1}{2}×4×|-a^2-2a+3|=6$，即$|-a^2-2a+3|=3$。
当$-a^2-2a+3=3$时，解得$a=0$（舍去，与C重合）或$a=-2$，此时点E的坐标为$(-2,3)$。
当$-a^2-2a+3=-3$时，解得$a=-1+\sqrt{7}$或$a=-1-\sqrt{7}$，此时点E的坐标为$(-1+\sqrt{7},-3)$或$(-1-\sqrt{7},-3)$。
综上所述，点E的坐标为$(-2,3)$或$(-1+\sqrt{7},-3)$或$(-1-\sqrt{7},-3)$。
【答案】
(1) 二次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$，点B坐标为$\boldsymbol{(1,0)}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-1,4)}$；
(3) 线段PQ的最大值为$\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$；
(4) 存在，点E的坐标为$\boldsymbol{(-2,3)}$、$\boldsymbol{(-1+\sqrt{7},-3)}$、$\boldsymbol{(-1-\sqrt{7},-3)}$。
【知识点】
1. 二次函数图象与性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数综合题，结合了一次函数、三角形面积计算等考点，考查数形结合思想与方程思想，解题时注意坐标表示线段长度的规则，求解绝对值方程时不要漏解，也要注意排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知二次函数为顶点式，仅参数k未知，将点A(-3,0)代入解析式即可求出k，得到二次函数完整解析式；抛物线对称轴为x=-1，A、B是抛物线与x轴的两个交点，关于对称轴对称，结合A点坐标即可直接求出B点坐标。
(2) 先使用待定系数法，代入A、C两点坐标求出直线AC的解析式；设点D的横坐标为t（-3＜t＜0），由于PD垂直x轴，因此P、Q两点横坐标均为t，分别代入抛物线和直线AC的解析式，即可用含t的式子表示P、Q的坐标，进而表示出PQ、QD的长度，根据PQ=QD列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可得到P点坐标。
(3) 由(2)可得PQ长度是关于t的二次函数，将其配方为顶点式，结合二次函数开口向下的性质，顶点处即可取得PQ的最大值。
(4) 先计算△ABC的面积：以AB为底，AB长为4，高为OC的长度3，面积为6；若△EAB面积与△ABC相等，则AB边上的高为3，即E点纵坐标的绝对值为3，分纵坐标为3和-3两种情况代入抛物线解析式求解，排除与点C重合的解即可得到所有符合要求的E点坐标。
【解析】
(1) 将$A(-3,0)$代入$y=-(x+1)^2 +k$，得$-(-3+1)^2+k=0$，解得$k=4$，$\therefore$ 该二次函数的解析式为$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$。
由题意得A、B两点关于直线$x=-1$对称，$\because A(-3,0)$，$\therefore B(1,0)$。
(2) 设直线AC的解析式为$y=mx+n(m≠0)$，将点A、C的坐标分别代入，得$\begin{cases}-3m+n=0\\n=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=3\end{cases}$，$\therefore$ 直线AC的解析式为$y=x+3$。
设点D的坐标为$(t,0)(-3＜t＜0)$，$\because PD⊥ x$轴，$\therefore P(t,-t^2-2t+3)$，$Q(t,t+3)$，则$PQ=-t^2-2t+3-(t+3)=-t^2-3t$，$QD=t+3-0=t+3$。
$\because PQ=QD$，$\therefore -t^2-3t=t+3$，解得$t=-1$或$t=-3$（不符合题意，舍去），当$t=-1$时，$-t^2-2t+3=4$，$\therefore P(-1,4)$。
(3) 由(2)得$PQ=-t^2-3t=-(t+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$，$\because -1＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$ 当$t=-\dfrac{3}{2}$时，PQ取最大值，最大值为$\dfrac{9}{4}$。
(4) 存在。$\because A(-3,0),B(1,0)$，$\therefore AB=1-(-3)=4$。
$\because OC=3$，$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
设点E的坐标为$(a,-a^2-2a+3)$，在$△ EAB$中，AB边上的高为$|-a^2-2a+3|$，$\therefore S_{△ EAB}=\dfrac{1}{2}×4×|-a^2-2a+3|=6$，即$|-a^2-2a+3|=3$。
当$-a^2-2a+3=3$时，解得$a=0$（舍去，与C重合）或$a=-2$，此时点E的坐标为$(-2,3)$。
当$-a^2-2a+3=-3$时，解得$a=-1+\sqrt{7}$或$a=-1-\sqrt{7}$，此时点E的坐标为$(-1+\sqrt{7},-3)$或$(-1-\sqrt{7},-3)$。
综上所述，点E的坐标为$(-2,3)$或$(-1+\sqrt{7},-3)$或$(-1-\sqrt{7},-3)$。
【答案】
(1) 二次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$，点B坐标为$\boldsymbol{(1,0)}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-1,4)}$；
(3) 线段PQ的最大值为$\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$；
(4) 存在，点E的坐标为$\boldsymbol{(-2,3)}$、$\boldsymbol{(-1+\sqrt{7},-3)}$、$\boldsymbol{(-1-\sqrt{7},-3)}$。
【知识点】
1. 二次函数图象与性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数综合题，结合了一次函数、三角形面积计算等考点，考查数形结合思想与方程思想，解题时注意坐标表示线段长度的规则，求解绝对值方程时不要漏解，也要注意排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
