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数学
九年级
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人教版
1.「2025四川攀枝花中考」关于抛物线$y=-x^2+6x-7$，下列说法正确的是（
A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.与y轴的交点坐标是$(0,7)$
D.顶点坐标是$(3,2)$
九年级
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1.「2025四川攀枝花中考」关于抛物线$y=-x^2+6x-7$，下列说法正确的是（
D
）A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.与y轴的交点坐标是$(0,7)$
D.顶点坐标是$(3,2)$
答案
$y=-x^2+6x-7=-(x-3)^2+2$,
$\because a=-1＜0,\therefore$ 抛物线开口向下,故 A 错误;
由解析式得对称轴为直线 $x=3$,故 B 错误;
令 $x=0$ 得 $y=-7$,则抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,-7)$,故 C 错误;
由解析式得顶点坐标为 $(3,2)$,故 D 正确.故选 D.
$\because a=-1＜0,\therefore$ 抛物线开口向下,故 A 错误;
由解析式得对称轴为直线 $x=3$,故 B 错误;
令 $x=0$ 得 $y=-7$,则抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,-7)$,故 C 错误;
由解析式得顶点坐标为 $(3,2)$,故 D 正确.故选 D.
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题时可先将二次函数的一般式通过配方法转化为顶点式，快速确定开口方向、对称轴、顶点坐标，再代入x=0计算得到抛物线与y轴的交点坐标，逐一验证各选项即可得出正确结论。
【解析】
首先将抛物线解析式配方变形为顶点式：
$y=-x^2+6x-7=-(x^2-6x+9)+9-7=-(x-3)^2+2$
1. 验证A选项：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，A选项错误；
2. 验证B选项：由顶点式可得抛物线的对称轴为直线$x=3$，B选项错误；
3. 验证C选项：令$x=0$，代入解析式得$y=-7$，因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,-7)$，C选项错误；
4. 验证D选项：由顶点式可得抛物线的顶点坐标为$(3,2)$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的顶点式；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是掌握二次函数一般式转化为顶点式的配方法，牢记二次函数各项性质的求解规则，熟练运用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的基本性质，解题时可先将二次函数的一般式通过配方法转化为顶点式，快速确定开口方向、对称轴、顶点坐标，再代入x=0计算得到抛物线与y轴的交点坐标，逐一验证各选项即可得出正确结论。
【解析】
首先将抛物线解析式配方变形为顶点式：
$y=-x^2+6x-7=-(x^2-6x+9)+9-7=-(x-3)^2+2$
1. 验证A选项：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，A选项错误；
2. 验证B选项：由顶点式可得抛物线的对称轴为直线$x=3$，B选项错误；
3. 验证C选项：令$x=0$，代入解析式得$y=-7$，因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,-7)$，C选项错误；
4. 验证D选项：由顶点式可得抛物线的顶点坐标为$(3,2)$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的顶点式；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是掌握二次函数一般式转化为顶点式的配方法，牢记二次函数各项性质的求解规则，熟练运用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.「2026重庆永川双竹初中期中改编」把抛物线$y=-x^2+4x-5$先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为（
A.$y=-(x+1)^2+1$
B.$y=-(x+1)^2-3$
C.$y=-(x-5)^2+1$
D.$y=-(x-5)^2-3$
C
）A.$y=-(x+1)^2+1$
B.$y=-(x+1)^2-3$
C.$y=-(x-5)^2+1$
D.$y=-(x-5)^2-3$
答案
$\because y=-x^2+4x-5=-(x-2)^2-1,\therefore$ 平移后得到的新抛物线的解析式为 $y=-(x-2-3)^2-1+2=-(x-5)^2+1$,故选 C.
解析
【分析】
要解决二次函数图象平移求解析式的问题，首先需要将给定的二次函数一般式通过配方转化为顶点式，明确原抛物线的顶点形式；再根据二次函数平移“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对函数整体值）”的规则，对顶点式进行调整，最终化简得到平移后的解析式即可。
【解析】
第一步，将原抛物线的一般式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+4x-5\\&=-(x^2-4x)-5\\&=-(x^2-4x+4-4)-5\\&=-(x-2)^2+4-5\\&=-(x-2)^2-1\end{aligned}$
第二步，根据平移规则调整解析式：
向右平移3个单位，将解析式中的$x$替换为$x-3$，得到$y=-(x-2-3)^2-1$；
再向上平移2个单位，在解析式整体后加2，化简得：
$y=-(x-5)^2-1+2=-(x-5)^2+1$
【答案】
C
【知识点】
二次函数配方；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题关键是熟练掌握二次函数一般式转顶点式的配方方法，牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，注意左右平移仅对自变量x本身进行操作，避免符号混淆。
【难度系数】
0.7
要解决二次函数图象平移求解析式的问题，首先需要将给定的二次函数一般式通过配方转化为顶点式，明确原抛物线的顶点形式；再根据二次函数平移“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对函数整体值）”的规则，对顶点式进行调整，最终化简得到平移后的解析式即可。
【解析】
第一步，将原抛物线的一般式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+4x-5\\&=-(x^2-4x)-5\\&=-(x^2-4x+4-4)-5\\&=-(x-2)^2+4-5\\&=-(x-2)^2-1\end{aligned}$
第二步，根据平移规则调整解析式：
向右平移3个单位，将解析式中的$x$替换为$x-3$，得到$y=-(x-2-3)^2-1$；
再向上平移2个单位，在解析式整体后加2，化简得：
$y=-(x-5)^2-1+2=-(x-5)^2+1$
【答案】
C
【知识点】
二次函数配方；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题关键是熟练掌握二次函数一般式转顶点式的配方方法，牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，注意左右平移仅对自变量x本身进行操作，避免符号混淆。
【难度系数】
0.7
3. 学科特色多解法「2026山东济南钢城期中」已知点$(-2,y_1)$，$(4,y_2)$，$(1,y_3)$都在函数$y=x^2+3x+5$的图象上，将$y_1,y_2,y_3$按从大到小的顺序排列为
$y_2＞y_3＞y_1$
。答案
$y_2＞y_3＞y_1$
解析 【解法一】对称法:由 $y=x^2+3x+5$ 得,该图象开口向上,对称轴是直线 $x=-\frac{3}{2×1}=-\frac{3}{2},\therefore$ 当 $x＞-\frac{3}{2}$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\because$ 点 $(-2,y_1)$ 关于对称轴的对称点的坐标是 $(-1,y_1)$,且$-\frac{3}{2}＜-1＜1＜4,\therefore y_2＞y_3＞y_1$.
【解法二】代入法:$\because$ 点 $(-2,y_1),(4,y_2),(1,y_3)$ 都在函数图象上,$\therefore$ 将 $x=-2,4,1$ 分别代入解析式,得 $y_1=(-2)^2+3×(-2)+5=3,y_2=4^2+3×4+5=33,y_3=1^2+3×1+5=9,\therefore y_2＞y_3＞y_1$.
解析 【解法一】对称法:由 $y=x^2+3x+5$ 得,该图象开口向上,对称轴是直线 $x=-\frac{3}{2×1}=-\frac{3}{2},\therefore$ 当 $x＞-\frac{3}{2}$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\because$ 点 $(-2,y_1)$ 关于对称轴的对称点的坐标是 $(-1,y_1)$,且$-\frac{3}{2}＜-1＜1＜4,\therefore y_2＞y_3＞y_1$.
【解法二】代入法:$\because$ 点 $(-2,y_1),(4,y_2),(1,y_3)$ 都在函数图象上,$\therefore$ 将 $x=-2,4,1$ 分别代入解析式,得 $y_1=(-2)^2+3×(-2)+5=3,y_2=4^2+3×4+5=33,y_3=1^2+3×1+5=9,\therefore y_2＞y_3＞y_1$.
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，有两种常用解题思路：思路一为代入法，直接将三个点的横坐标代入函数解析式，分别计算出对应函数值后比较大小即可；思路二为性质法，先确定二次函数的开口方向、对称轴，利用“开口向上时，点离对称轴越远函数值越大”的规律，或将点对称到对称轴同侧后结合增减性比较大小。
【解析】
解法一（对称法）：
由$y=x^2+3x+5$可知，二次项系数$a=1＞0$，因此图象开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×1}=-\frac{3}{2}$，当$x＞-\frac{3}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大。
点$(-2,y_1)$关于对称轴的对称点坐标为$(-1,y_1)$，此时三个点的横坐标满足$-\frac{3}{2}＜-1＜1＜4$，因此可得$y_2＞y_3＞y_1$。
解法二（代入法）：
将三个点的横坐标分别代入函数解析式计算对应函数值：
当$x=-2$时，$y_1=(-2)^2+3×(-2)+5=3$；
当$x=4$时，$y_2=4^2+3×4+5=33$；
当$x=1$时，$y_3=1^2+3×1+5=9$。
因为$33＞9＞3$，所以$y_2＞y_3＞y_1$。
【答案】
$y_2＞y_3＞y_1$
【知识点】
二次函数性质、二次函数增减性、二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数函数值比较的基础题型，两种解法各有优势：代入法思路直接易理解，对称法依托函数性质解题更快捷，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，有两种常用解题思路：思路一为代入法，直接将三个点的横坐标代入函数解析式，分别计算出对应函数值后比较大小即可；思路二为性质法，先确定二次函数的开口方向、对称轴，利用“开口向上时，点离对称轴越远函数值越大”的规律，或将点对称到对称轴同侧后结合增减性比较大小。
【解析】
解法一（对称法）：
由$y=x^2+3x+5$可知，二次项系数$a=1＞0$，因此图象开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×1}=-\frac{3}{2}$，当$x＞-\frac{3}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大。
点$(-2,y_1)$关于对称轴的对称点坐标为$(-1,y_1)$，此时三个点的横坐标满足$-\frac{3}{2}＜-1＜1＜4$，因此可得$y_2＞y_3＞y_1$。
解法二（代入法）：
将三个点的横坐标分别代入函数解析式计算对应函数值：
当$x=-2$时，$y_1=(-2)^2+3×(-2)+5=3$；
当$x=4$时，$y_2=4^2+3×4+5=33$；
当$x=1$时，$y_3=1^2+3×1+5=9$。
因为$33＞9＞3$，所以$y_2＞y_3＞y_1$。
【答案】
$y_2＞y_3＞y_1$
【知识点】
二次函数性质、二次函数增减性、二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数函数值比较的基础题型，两种解法各有优势：代入法思路直接易理解，对称法依托函数性质解题更快捷，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
4.「2026 福建福州平潭期中」已知二次函数$y=x^2-2x-3$.
(1)求此函数图象的顶点坐标和与y轴的交点坐标.
(2)当x
(3)当0＜x＜3时,求y的取值范围.
(1)求此函数图象的顶点坐标和与y轴的交点坐标.
(2)当x
＞1
时,y随x的增大而增大.(3)当0＜x＜3时,求y的取值范围.
答案
(1)$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$,令 $x=0$,得 $y=-3$,
$\therefore$ 图象与 $y$ 轴的交点坐标为$(0,-3)$.
(2)$＞1$.
(3)由(1)可知二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$,
$\therefore$ 当 $x=1$ 时,$y$ 有最小值,为$-4$.
当 $x=0$ 时,$y=-3$,当 $x=3$ 时,$y=0$,
$\therefore$ 当 $0＜x＜3$ 时,$y$ 的取值范围是$-4≤ y＜0$.
函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$,令 $x=0$,得 $y=-3$,
$\therefore$ 图象与 $y$ 轴的交点坐标为$(0,-3)$.
(2)$＞1$.
(3)由(1)可知二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$,
$\therefore$ 当 $x=1$ 时,$y$ 有最小值,为$-4$.
当 $x=0$ 时,$y=-3$,当 $x=3$ 时,$y=0$,
$\therefore$ 当 $0＜x＜3$ 时,$y$ 的取值范围是$-4≤ y＜0$.
解析
【分析】
(1) 求二次函数顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式直接得到；求与y轴的交点坐标，只需令x=0代入解析式计算y值即可。
(2) 该二次函数开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，先确定对称轴，就能得到对应x的取值范围。
(3) 求给定区间内y的取值范围时，首先确定区间内的最值：开口向上的二次函数顶点为最低点，先算顶点处的最小值，再计算区间两个端点的函数值，结合区间端点的开闭情况，最终确定y的取值范围。
【解析】
(1) 对函数解析式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，因此函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$；
令$x=0$，代入得$y=-3$，因此图象与y轴的交点坐标为$(0,-3)$。
(2) 二次函数二次项系数$a=1＞0$，图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＞1$时，y随x的增大而增大。
(3) 由(1)可知顶点坐标为$(1,-4)$，函数开口向上，因此当$x=1$时，y取最小值$-4$；
计算区间端点的函数值：当$x=0$时，$y=-3$；当$x=3$时，$y=3^2-2×3-3=0$；
结合区间$0＜x＜3$，$x=1$在区间内，最小值$-4$可取，$x=3$不在区间内，最大值0不可取，因此y的取值范围是$-4\le y＜0$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(1,-4)$，与y轴的交点坐标为$(0,-3)$；
(2) $＞1$；
(3) $-4≤ y＜0$
【知识点】
二次函数的性质、配方法、二次函数最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查二次函数基本性质的应用，解题关键是熟练掌握配方法转化解析式，结合开口方向、对称轴判断增减性，以及求解指定区间内的函数值范围，是二次函数模块的核心基础考点。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式直接得到；求与y轴的交点坐标，只需令x=0代入解析式计算y值即可。
(2) 该二次函数开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，先确定对称轴，就能得到对应x的取值范围。
(3) 求给定区间内y的取值范围时，首先确定区间内的最值：开口向上的二次函数顶点为最低点，先算顶点处的最小值，再计算区间两个端点的函数值，结合区间端点的开闭情况，最终确定y的取值范围。
【解析】
(1) 对函数解析式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，因此函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$；
令$x=0$，代入得$y=-3$，因此图象与y轴的交点坐标为$(0,-3)$。
(2) 二次函数二次项系数$a=1＞0$，图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＞1$时，y随x的增大而增大。
(3) 由(1)可知顶点坐标为$(1,-4)$，函数开口向上，因此当$x=1$时，y取最小值$-4$；
计算区间端点的函数值：当$x=0$时，$y=-3$；当$x=3$时，$y=3^2-2×3-3=0$；
结合区间$0＜x＜3$，$x=1$在区间内，最小值$-4$可取，$x=3$不在区间内，最大值0不可取，因此y的取值范围是$-4\le y＜0$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(1,-4)$，与y轴的交点坐标为$(0,-3)$；
(2) $＞1$；
(3) $-4≤ y＜0$
【知识点】
二次函数的性质、配方法、二次函数最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查二次函数基本性质的应用，解题关键是熟练掌握配方法转化解析式，结合开口方向、对称轴判断增减性，以及求解指定区间内的函数值范围，是二次函数模块的核心基础考点。
【难度系数】
0.7
5.「2026 吉林省吉林市船营期中」当$a＞0$时，二次函数$y=ax^2 - 2x - 1$的图象大致为（
B
）答案
B $\because a＞0,\therefore$ 图象开口向上,故 C,D 错误;$\because$ 对称轴为直线 $x=-\frac{-2}{2a}=\frac{1}{a}＞0,\therefore$ A 错误.故选 B.
解析
【分析】
要判断二次函数的图象，可分两步推导：首先根据二次项系数a的正负确定图象的开口方向，排除不符合的选项；再利用对称轴公式计算对称轴的位置，进一步排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：已知$a＞0$，根据二次函数的性质，$a＞0$时图象开口向上，因此开口向下的C、D选项不符合要求，直接排除；
2. 计算对称轴：二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2$，代入得对称轴为$x=-\frac{-2}{2a}=\frac{1}{a}$，因为$a＞0$，所以$\frac{1}{a}＞0$，即对称轴在y轴右侧；
3. 筛选剩余选项：A选项的对称轴在y轴左侧，与推导结果不符，排除A，因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴公式
【点评】
本题属于二次函数图象判断的基础题，核心考查二次函数开口方向、对称轴的判断方法，解题时要注意代入对称轴公式时b的符号，避免因符号错误选错答案。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数的图象，可分两步推导：首先根据二次项系数a的正负确定图象的开口方向，排除不符合的选项；再利用对称轴公式计算对称轴的位置，进一步排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：已知$a＞0$，根据二次函数的性质，$a＞0$时图象开口向上，因此开口向下的C、D选项不符合要求，直接排除；
2. 计算对称轴：二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2$，代入得对称轴为$x=-\frac{-2}{2a}=\frac{1}{a}$，因为$a＞0$，所以$\frac{1}{a}＞0$，即对称轴在y轴右侧；
3. 筛选剩余选项：A选项的对称轴在y轴左侧，与推导结果不符，排除A，因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴公式
【点评】
本题属于二次函数图象判断的基础题，核心考查二次函数开口方向、对称轴的判断方法，解题时要注意代入对称轴公式时b的符号，避免因符号错误选错答案。
【难度系数】
0.8
6.「2026广西崇左月考」如图所示的是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，则（
A.$a＜0,b＞0,c＞0$
B.$a＜0,b＜0,c＜0$
C.$a＜0,b＜0,c＞0$
D.$a＜0,b＞0,c＜0$
A
）A.$a＜0,b＞0,c＞0$
B.$a＜0,b＜0,c＜0$
C.$a＜0,b＜0,c＞0$
D.$a＜0,b＞0,c＜0$
答案
A 由图象可得,该抛物线开口向下,与 $y$ 轴交于正半轴,故 $a＜0,c＞0$;该抛物线对称轴在 $y$ 轴右侧,根据“左同右异”,得 $b＞0$.故选 A.
解析
【分析】
解决这类二次函数系数符号判断问题，可按三步分析：第一步根据抛物线开口方向判断a的符号；第二步根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号；第三步根据对称轴的位置，结合a的符号判断b的符号，也可借助“左同右异”的规律快速判断b的符号，逐步推导即可得出结果。
【解析】
1. 判断a的符号：抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$；
2. 判断c的符号：抛物线与$y$轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c$，因此$c＞0$；
3. 判断b的符号：抛物线对称轴在$y$轴右侧，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，则$2a＜0$，要使分式值为正，分子$-b＜0$，即$b＞0$。
综上，$a＜0,b＞0,c＞0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数对称轴性质；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，解题核心是掌握二次函数各系数与图象特征的对应关系，熟练运用“开口定a，y轴交点定c，对称轴位置结合a定b”的规律，或借助“左同右异”的口诀可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解决这类二次函数系数符号判断问题，可按三步分析：第一步根据抛物线开口方向判断a的符号；第二步根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号；第三步根据对称轴的位置，结合a的符号判断b的符号，也可借助“左同右异”的规律快速判断b的符号，逐步推导即可得出结果。
【解析】
1. 判断a的符号：抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$；
2. 判断c的符号：抛物线与$y$轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c$，因此$c＞0$；
3. 判断b的符号：抛物线对称轴在$y$轴右侧，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，则$2a＜0$，要使分式值为正，分子$-b＜0$，即$b＞0$。
综上，$a＜0,b＞0,c＞0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数对称轴性质；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，解题核心是掌握二次函数各系数与图象特征的对应关系，熟练运用“开口定a，y轴交点定c，对称轴位置结合a定b”的规律，或借助“左同右异”的口诀可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7.「2025陕西咸阳二模，★☆」下表给出了二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的自变量$x$与函数值$y$的一些对应值：
则下列说法正确的是（
A.图象对称轴为直线$x=-1$
B.当$x=3$时，$y=-5$
C.当$x＜\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大
D.此函数有最小值4
则下列说法正确的是（
C
）A.图象对称轴为直线$x=-1$
B.当$x=3$时，$y=-5$
C.当$x＜\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大
D.此函数有最小值4
答案
C $\because$ 当 $x=0$ 和 $x=2$ 时,$y=3$,即 $(0,3)$ 和 $(2,3)$ 是该函数图象上一组对称点,$\therefore$ 图象对称轴为直线 $x=\frac{0+2}{2}=1$,故 A 错误;
$\because$ 图象对称轴是直线 $x=1$,$\therefore$ 当 $x=3$ 时的函数值与当 $x=-1$ 时的函数值相等,$\because$ 当 $x=-1$ 时,$y=0$,$\therefore$ 当 $x=3$ 时,$y=0$,故 B 错误;
由题表中数据得 $y$ 随 $x$ 的增大先增大后减小,$\therefore$ 图象开口向下,$\because$ 图象对称轴是直线 $x=1$,$\therefore$ 当 $x＜\frac{1}{2}$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,故 C 正确;
$\because$ 图象开口向下,对称轴是直线 $x=1$,$\therefore$ 当 $x=1$ 时,$y$ 取最大值 4,故 D 错误.故选 C.
$\because$ 图象对称轴是直线 $x=1$,$\therefore$ 当 $x=3$ 时的函数值与当 $x=-1$ 时的函数值相等,$\because$ 当 $x=-1$ 时,$y=0$,$\therefore$ 当 $x=3$ 时,$y=0$,故 B 错误;
由题表中数据得 $y$ 随 $x$ 的增大先增大后减小,$\therefore$ 图象开口向下,$\because$ 图象对称轴是直线 $x=1$,$\therefore$ 当 $x＜\frac{1}{2}$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,故 C 正确;
$\because$ 图象开口向下,对称轴是直线 $x=1$,$\therefore$ 当 $x=1$ 时,$y$ 取最大值 4,故 D 错误.故选 C.
解析
【分析】
解决这类根据二次函数对应值表判断结论的问题，可按以下思路推导：首先找函数值相等的两个点，利用二次函数的对称性求出对称轴；再根据对称轴的对称性，推导对称点的函数值，验证相关选项；最后根据对称轴两侧函数值的变化趋势判断抛物线开口方向，结合对称轴分析函数的增减性和最值，逐一验证所有选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 求对称轴判断选项A：观察表格，当$x=0$和$x=2$时，$y$均为3，说明点$(0,3)$和$(2,3)$是函数图象上的对称点，因此图象对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，故A错误。
2. 利用对称性判断选项B：到对称轴距离相等的点函数值相等，$x=3$到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，$x=-1$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-1)=2$，因此$x=3$时的函数值与$x=-1$时相等，已知$x=-1$时$y=0$，所以$x=3$时$y=0$，故B错误。
3. 判断增减性验证选项C：观察数据可知，$x＜1$时$y$随$x$增大而增大，$x＞1$时$y$随$x$增大而减小，说明抛物线开口向下，开口向下的二次函数在对称轴左侧（$x＜1$时）$y$随$x$增大而增大，由于$\frac{1}{2}＜1$，因此当$x＜\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大，故C正确。
4. 判断最值验证选项D：抛物线开口向下，因此函数有最大值，在对称轴$x=1$处取得最大值4，不存在最小值4，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题结合函数对应值表考查二次函数的基本性质，解题核心是先利用对称点求出对称轴，再结合对称轴分析函数的各项性质，熟练掌握二次函数的相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解决这类根据二次函数对应值表判断结论的问题，可按以下思路推导：首先找函数值相等的两个点，利用二次函数的对称性求出对称轴；再根据对称轴的对称性，推导对称点的函数值，验证相关选项；最后根据对称轴两侧函数值的变化趋势判断抛物线开口方向，结合对称轴分析函数的增减性和最值，逐一验证所有选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 求对称轴判断选项A：观察表格，当$x=0$和$x=2$时，$y$均为3，说明点$(0,3)$和$(2,3)$是函数图象上的对称点，因此图象对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，故A错误。
2. 利用对称性判断选项B：到对称轴距离相等的点函数值相等，$x=3$到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，$x=-1$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-1)=2$，因此$x=3$时的函数值与$x=-1$时相等，已知$x=-1$时$y=0$，所以$x=3$时$y=0$，故B错误。
3. 判断增减性验证选项C：观察数据可知，$x＜1$时$y$随$x$增大而增大，$x＞1$时$y$随$x$增大而减小，说明抛物线开口向下，开口向下的二次函数在对称轴左侧（$x＜1$时）$y$随$x$增大而增大，由于$\frac{1}{2}＜1$，因此当$x＜\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大，故C正确。
4. 判断最值验证选项D：抛物线开口向下，因此函数有最大值，在对称轴$x=1$处取得最大值4，不存在最小值4，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题结合函数对应值表考查二次函数的基本性质，解题核心是先利用对称点求出对称轴，再结合对称轴分析函数的各项性质，熟练掌握二次函数的相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
8.「2024四川乐山中考，★☆」已知二次函数$y=x^2 -2x$（$-1≤x≤t-1$），当$x=-1$时，函数取得最大值；当$x=1$时，函数取得最小值，则$t$的取值范围是（
A.$0＜t≤2$
B.$0＜t≤4$
C.$2≤t≤4$
D.$t≥2$
C
）A.$0＜t≤2$
B.$0＜t≤4$
C.$2≤t≤4$
D.$t≥2$
答案
C $\because y=x^2-2x=(x-1)^2-1,\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=1$,且顶点坐标为 $(1,-1).\because 1-(-1)=3-1,\therefore x=-1$ 和 $x=3$ 时的函数值相等.$\because -1≤ x≤ t-1$,当 $x=-1$ 时,函数取得最大值,$\therefore t-1≤ 3$,又$\because$ 当 $x=1$ 时,函数取得最小值,$\therefore t-1≥ 1,\therefore 1≤ t-1≤ 3$,解得 $2≤ t≤ 4$.故选 C.
解析
【分析】
首先将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标。该二次函数开口向上，在对称轴处取得最小值，题目要求x=1时取最小值，说明给定区间$[-1,t-1]$必须包含对称轴$x=1$，因此区间右端点$t-1≥1$。另外开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大，要保证$x=-1$时取最大值，需先找到与$x=-1$关于对称轴对称的点$x=3$，两点函数值相等，因此区间右端点不能超过3，否则右端点函数值会大于$x=-1$处的函数值，不符合最大值要求，最后联立两个不等式求解t的范围即可。
【解析】
先对二次函数配方得：
$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
∵$x=-1$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-1)=2$，对称轴右侧距离为2的点为$1+2=3$，因此$x=-1$和$x=3$的函数值相等。
∵当$x=1$时函数取得最小值，说明区间$[-1,t-1]$包含对称轴$x=1$，
∴$t-1≥1$；
∵当$x=-1$时函数取得最大值，说明区间右端点的函数值不超过$x=-1$处的函数值，
∴$t-1≤3$；
联立得$1≤ t-1≤3$，解得$2≤ t≤4$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的顶点式，二次函数的最值，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题考查二次函数在固定左端点区间上的最值问题，解题核心是结合二次函数的开口方向和对称性，根据最值对应的x值确定区间端点的取值限制，利用数形结合思想可快速理清逻辑。
【难度系数】
0.7
首先将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标。该二次函数开口向上，在对称轴处取得最小值，题目要求x=1时取最小值，说明给定区间$[-1,t-1]$必须包含对称轴$x=1$，因此区间右端点$t-1≥1$。另外开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大，要保证$x=-1$时取最大值，需先找到与$x=-1$关于对称轴对称的点$x=3$，两点函数值相等，因此区间右端点不能超过3，否则右端点函数值会大于$x=-1$处的函数值，不符合最大值要求，最后联立两个不等式求解t的范围即可。
【解析】
先对二次函数配方得：
$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
∵$x=-1$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-1)=2$，对称轴右侧距离为2的点为$1+2=3$，因此$x=-1$和$x=3$的函数值相等。
∵当$x=1$时函数取得最小值，说明区间$[-1,t-1]$包含对称轴$x=1$，
∴$t-1≥1$；
∵当$x=-1$时函数取得最大值，说明区间右端点的函数值不超过$x=-1$处的函数值，
∴$t-1≤3$；
联立得$1≤ t-1≤3$，解得$2≤ t≤4$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的顶点式，二次函数的最值，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题考查二次函数在固定左端点区间上的最值问题，解题核心是结合二次函数的开口方向和对称性，根据最值对应的x值确定区间端点的取值限制，利用数形结合思想可快速理清逻辑。
【难度系数】
0.7
9.「2026天津东丽期中，★☆」当$-1 ≤ x ≤ 5$时，二次函数$y=-x^2+2x+1$的最大值为
2
。答案
2
解析 由 $y=-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2$ 可得该函数图象开口向下,顶点坐标为 $(1,2),\therefore$ 当 $-1≤ x≤ 5$ 时,函数有最大值 2.
解析 由 $y=-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2$ 可得该函数图象开口向下,顶点坐标为 $(1,2),\therefore$ 当 $-1≤ x≤ 5$ 时,函数有最大值 2.
解析
【分析】
求解指定自变量区间内的二次函数最值，可按以下思路推导：第一步，将二次函数的一般式配方为顶点式，快速得到函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；第二步，判断对称轴是否落在给定的x取值范围内；第三步，结合开口方向确定最值位置：开口向下的二次函数，若对称轴在区间内，顶点处的函数值就是最大值，若不在区间内则取离对称轴更近的端点的函数值作为最大值。
【解析】
先将二次函数解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+1\\&=-(x^2-2x)+1\\&=-(x^2-2x+1-1)+1\\&=-(x-1)^2+2\end{aligned}$
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$。
又
∵$-1\le1\le5$，即对称轴落在给定的自变量取值范围内，
∴当$x=1$时，函数取得最大值，最大值为2。
【答案】
2
【知识点】
二次函数配方；二次函数最值求解；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题型，解题核心是通过配方确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合给定的自变量区间判断最大值的取值位置，熟练掌握二次函数的顶点式及相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
求解指定自变量区间内的二次函数最值，可按以下思路推导：第一步，将二次函数的一般式配方为顶点式，快速得到函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；第二步，判断对称轴是否落在给定的x取值范围内；第三步，结合开口方向确定最值位置：开口向下的二次函数，若对称轴在区间内，顶点处的函数值就是最大值，若不在区间内则取离对称轴更近的端点的函数值作为最大值。
【解析】
先将二次函数解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+1\\&=-(x^2-2x)+1\\&=-(x^2-2x+1-1)+1\\&=-(x-1)^2+2\end{aligned}$
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$。
又
∵$-1\le1\le5$，即对称轴落在给定的自变量取值范围内，
∴当$x=1$时，函数取得最大值，最大值为2。
【答案】
2
【知识点】
二次函数配方；二次函数最值求解；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题型，解题核心是通过配方确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合给定的自变量区间判断最大值的取值位置，熟练掌握二次函数的顶点式及相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
10.「2025江苏徐州中考节选，★☆」二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，下列代数式的值为负数的是
①$a$；②$2a+b$；③$c$；④$a-b+c$.
①②④
（写出所有正确结果的序号）.①$a$；②$2a+b$；③$c$；④$a-b+c$.
答案
①②④
解析 ①由抛物线开口向下,得 $a＜0$,符合题意;
②对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}＜1,\because a＜0,\therefore -2a＞0$,化简不等式$-\frac{b}{2a}＜1$ 得 $b＜-2a$,故 $2a+b＜0$,符合题意;
③由抛物线与 $y$ 轴交于正半轴,得 $c＞0$,不符合题意;
④当 $x=-1$ 时,抛物线上的对应点在 $x$ 轴的下方,$\therefore y=a-b+c＜0$,符合题意.
综上所述,代数式的值为负数的是①②④.
解析 ①由抛物线开口向下,得 $a＜0$,符合题意;
②对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}＜1,\because a＜0,\therefore -2a＞0$,化简不等式$-\frac{b}{2a}＜1$ 得 $b＜-2a$,故 $2a+b＜0$,符合题意;
③由抛物线与 $y$ 轴交于正半轴,得 $c＞0$,不符合题意;
④当 $x=-1$ 时,抛物线上的对应点在 $x$ 轴的下方,$\therefore y=a-b+c＜0$,符合题意.
综上所述,代数式的值为负数的是①②④.
解析
【分析】
解决本题需要结合二次函数的图像特征，对应推导各代数式的符号：第一步先根据抛物线开口方向判断a的正负；第二步根据抛物线与y轴的交点判断c的正负；第三步根据对称轴的位置结合a的符号推导2a+b的正负；第四步代入特殊值x=-1，根据对应点的位置判断a-b+c的正负，最终筛选出值为负数的代数式即可。
【解析】
①观察图像可知抛物线开口向下，根据二次函数性质，开口向下时二次项系数$a＜0$，故①符合要求；
②二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，由图像可得对称轴在0到1之间，即$-\frac{b}{2a}＜1$，已知$a＜0$，不等式两边同时乘$2a$（负数），不等号方向改变，可得$-b＞2a$，移项后得$2a+b＜0$，故②符合要求；
③抛物线与y轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c$，因此$c＞0$，故③不符合要求；
④当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a·(-1)^2+b·(-1)+c=a-b+c$，观察图像，$x=-1$对应的抛物线上的点在x轴下方，即$y＜0$，因此$a-b+c＜0$，故④符合要求。
综上，值为负数的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数系数判断，特殊点函数值
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题核心是熟练掌握二次函数图象特征和系数、特殊点函数值的对应关系，需要注意解含负数系数的不等式时要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
解决本题需要结合二次函数的图像特征，对应推导各代数式的符号：第一步先根据抛物线开口方向判断a的正负；第二步根据抛物线与y轴的交点判断c的正负；第三步根据对称轴的位置结合a的符号推导2a+b的正负；第四步代入特殊值x=-1，根据对应点的位置判断a-b+c的正负，最终筛选出值为负数的代数式即可。
【解析】
①观察图像可知抛物线开口向下，根据二次函数性质，开口向下时二次项系数$a＜0$，故①符合要求；
②二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，由图像可得对称轴在0到1之间，即$-\frac{b}{2a}＜1$，已知$a＜0$，不等式两边同时乘$2a$（负数），不等号方向改变，可得$-b＞2a$，移项后得$2a+b＜0$，故②符合要求；
③抛物线与y轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c$，因此$c＞0$，故③不符合要求；
④当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a·(-1)^2+b·(-1)+c=a-b+c$，观察图像，$x=-1$对应的抛物线上的点在x轴下方，即$y＜0$，因此$a-b+c＜0$，故④符合要求。
综上，值为负数的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数系数判断，特殊点函数值
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题核心是熟练掌握二次函数图象特征和系数、特殊点函数值的对应关系，需要注意解含负数系数的不等式时要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
