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初中数学
九年级
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人教
8.「2026山东济南月考，★☆」如图，过点$P(4,5)$分别作$PC⊥x$轴于点$C$，$PD⊥y$轴于点$D$，$PC$，$PD$分别交反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象于点$A$，$B$，则四边形$BOAP$的面积为（
A.8
B.10
C.12
D.16
九年级
上册
人教
8.「2026山东济南月考，★☆」如图，过点$P(4,5)$分别作$PC⊥x$轴于点$C$，$PD⊥y$轴于点$D$，$PC$，$PD$分别交反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象于点$A$，$B$，则四边形$BOAP$的面积为（
C
）A.8
B.10
C.12
D.16
答案
8.C
∵P(4,5),
∴$S_{矩形OCPD}=4×5=20$,
∵点A,B在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上,
∴$S_{△ BDO}+S_{△ AOC}=k=8$,
∴$S_{四边形BOAP}=20-8=12$.故选C.
∵P(4,5),
∴$S_{矩形OCPD}=4×5=20$,
∵点A,B在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上,
∴$S_{△ BDO}+S_{△ AOC}=k=8$,
∴$S_{四边形BOAP}=20-8=12$.故选C.
解析
【分析】
要求不规则四边形BOAP的面积，直接计算较为复杂，可采用割补法求解。首先根据点P的坐标求出矩形OCPD的面积，再结合反比例函数k的几何意义，求出△BDO和△AOC的面积之和，最后用矩形面积减去两个小三角形的面积和，即可得到所求四边形的面积。
【解析】
解：
∵点P的坐标为(4,5)，且PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴矩形OCPD的长OC=4，宽OD=5，
∴$S_{矩形OCPD}=4×5=20$。
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，
∴$S_{△ BDO}=\frac{1}{2}×8=4$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×8=4$，
∴两个三角形的面积和为$4+4=8$，
∴$S_{四边形BOAP}=S_{矩形OCPD}-(S_{△ BDO}+S_{△ AOC})=20-8=12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积，矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题型，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，熟练掌握反比例函数k的几何意义能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.8
要求不规则四边形BOAP的面积，直接计算较为复杂，可采用割补法求解。首先根据点P的坐标求出矩形OCPD的面积，再结合反比例函数k的几何意义，求出△BDO和△AOC的面积之和，最后用矩形面积减去两个小三角形的面积和，即可得到所求四边形的面积。
【解析】
解：
∵点P的坐标为(4,5)，且PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴矩形OCPD的长OC=4，宽OD=5，
∴$S_{矩形OCPD}=4×5=20$。
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，
∴$S_{△ BDO}=\frac{1}{2}×8=4$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×8=4$，
∴两个三角形的面积和为$4+4=8$，
∴$S_{四边形BOAP}=S_{矩形OCPD}-(S_{△ BDO}+S_{△ AOC})=20-8=12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积，矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题型，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，熟练掌握反比例函数k的几何意义能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.8
9.「2025黑龙江龙东地区中考，★☆」如图，在平面直角坐标系中，点A，B都在双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为-1，$∠AOB=∠ABO=45°$，则k的值为（
A.$\sqrt{2}$
B.$-\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
D
）A.$\sqrt{2}$
B.$-\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案
9.D 过A作AM⊥y轴于M,过B作BD⊥x轴于D,直线BD与直线AM交于点N,如图所示,
则∠AMO = ∠ODN = ∠MOD = 90°,
∴四边形OMND是矩形,
∴OD=MN,DN=OM,∠AMO=∠BNA=90°,
∵∠AOB=∠OBA=45°,
∴OA=BA,∠OAB=90°,
∴∠BAN=90°-∠OAM=∠AOM,
∴△AOM≌△BAN(AAS),
∴AM=BN,OM=AN,
把x=-1代入反比例函数的解析式得y=-k,
∴A(-1,-k),
∵双曲线$y=\frac{k}{x}$的一部分在第二象限,
∴k＜0,
∴OM=AN=-k,
∵AM=BN=1,
∴OD=1-k,BD=OM-BN=-k-1,
∴B(-1+k,-k-1),
∵双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$经过点B,
∴$-k-1=\frac{k}{-1+k}$,
解得$k_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$(舍去),$k_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,
故选D.
解析
【分析】
解题时首先根据∠AOB=∠ABO=45°，可判定△OAB为等腰直角三角形，得到OA=AB、∠OAB=90°的结论。要求反比例函数的k值，需得到双曲线上点的坐标关系：已知点A横坐标为-1，可先表示出点A的坐标；接下来构造“K型”全等三角形，过点A作AM⊥y轴，过点B作BD⊥x轴，两条垂线交于点N，可证△AOM≌△BAN，利用全等对应边相等的性质，用含k的式子表示出点B的坐标；最后将点B坐标代入反比例函数解析式，解方程即可得到k的值，注意结合双曲线所在象限舍去不符合要求的根。
【解析】
过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与直线AM交于点N，如图所示，
则∠AMO = ∠ODN = ∠MOD = 90°，
∴四边形OMND是矩形，
∴OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，
∵∠AOB=∠OBA=45°，
∴OA=BA，∠OAB=90°，
∴∠BAN=90°-∠OAM=∠AOM，
在$△ AOM$和$△ BAN$中：
$\{\begin{array}{l}∠AMO=∠BNA \\∠AOM=∠BAN \\OA=AB\end{array} $
∴$△ AOM≌△ BAN(\mathrm{AAS})$，
∴AM=BN，OM=AN，
把$x=-1$代入$y=\frac{k}{x}$得$y=-k$，
∴A点坐标为$(-1,-k)$，
∵双曲线$y=\frac{k}{x}$的分支在第二象限，
∴$k＜0$，
∴$OM=AN=-k$，$AM=BN=1$，
∴$OD=MN=AM+AN=1-k$，$BD=DN-BN=OM-BN=-k-1$，
∴B点坐标为$(k-1, -k-1)$，
∵点B在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，将B点坐标代入解析式得：
$-k-1=\frac{k}{k-1}$
整理得$k^2+k-1=0$，
解得$k_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$k_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，
∵$k＜0$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}＞0$不符合题意，舍去，
∴$k=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合题，解题核心是通过构造K型全等三角形实现点坐标的转化，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列方程求解，需注意根据函数图象所在象限对根进行取舍。
【难度系数】
0.5
解题时首先根据∠AOB=∠ABO=45°，可判定△OAB为等腰直角三角形，得到OA=AB、∠OAB=90°的结论。要求反比例函数的k值，需得到双曲线上点的坐标关系：已知点A横坐标为-1，可先表示出点A的坐标；接下来构造“K型”全等三角形，过点A作AM⊥y轴，过点B作BD⊥x轴，两条垂线交于点N，可证△AOM≌△BAN，利用全等对应边相等的性质，用含k的式子表示出点B的坐标；最后将点B坐标代入反比例函数解析式，解方程即可得到k的值，注意结合双曲线所在象限舍去不符合要求的根。
【解析】
过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与直线AM交于点N，如图所示，
则∠AMO = ∠ODN = ∠MOD = 90°，
∴四边形OMND是矩形，
∴OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，
∵∠AOB=∠OBA=45°，
∴OA=BA，∠OAB=90°，
∴∠BAN=90°-∠OAM=∠AOM，
在$△ AOM$和$△ BAN$中：
$\{\begin{array}{l}∠AMO=∠BNA \\∠AOM=∠BAN \\OA=AB\end{array} $
∴$△ AOM≌△ BAN(\mathrm{AAS})$，
∴AM=BN，OM=AN，
把$x=-1$代入$y=\frac{k}{x}$得$y=-k$，
∴A点坐标为$(-1,-k)$，
∵双曲线$y=\frac{k}{x}$的分支在第二象限，
∴$k＜0$，
∴$OM=AN=-k$，$AM=BN=1$，
∴$OD=MN=AM+AN=1-k$，$BD=DN-BN=OM-BN=-k-1$，
∴B点坐标为$(k-1, -k-1)$，
∵点B在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，将B点坐标代入解析式得：
$-k-1=\frac{k}{k-1}$
整理得$k^2+k-1=0$，
解得$k_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$k_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，
∵$k＜0$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}＞0$不符合题意，舍去，
∴$k=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合题，解题核心是通过构造K型全等三角形实现点坐标的转化，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列方程求解，需注意根据函数图象所在象限对根进行取舍。
【难度系数】
0.5
10.「2025四川泸州中考，★☆」如图，一次函数$y=2x+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象的一个交点为$A(2,6)$。
(1)求一次函数与反比例函数的解析式。
(2)将一次函数$y=2x+b$的图象沿$y$轴向下平移12个单位，与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象相交于点$B,C$，连接$AB,AC$，求$S_{△ ABC}$的值。
(1)求一次函数与反比例函数的解析式。
(2)将一次函数$y=2x+b$的图象沿$y$轴向下平移12个单位，与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象相交于点$B,C$，连接$AB,AC$，求$S_{△ ABC}$的值。
答案
10.解析 (1)
∵一次函数y=2x+b的图象经过A(2,6),
∴6=2×2+b,
∴b=2,
∴一次函数的解析式为y=2x+2.
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过A(2,6),
∴$6=\frac{m}{2}$,
∴m=12,
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$.
(2)将一次函数y=2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位,与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点B,C,
∴直线BC的解析式为y=2x+2-12=2x-10,
联立$\begin{cases}y=2x-10,\\y=\frac{12}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1,\\y=-12\end{cases}$或$\begin{cases}x=6,\\y=2,\end{cases}$
∴B(-1,-12),C(6,2).
如图所示,过点A作AT//y轴交直线BC于T,
∵A(2,6),
∴点T的横坐标为2,在y=2x-10中,当x=2时,y=2×2-10=-6,
∴T(2,-6),
∴AT=6-(-6)=12,
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)=18+24=42.$
解析
【分析】
(1) 已知点A是一次函数和反比例函数的交点，点在函数图象上时坐标满足函数解析式，因此将A(2,6)分别代入两个函数表达式，即可求出未知参数b、m，进而得到两个函数的解析式。
(2) 首先根据一次函数平移“上加下减”的规律，求出平移后直线BC的解析式；再联立直线BC与反比例函数的解析式，解方程组得到B、C两点的坐标；计算△ABC面积时采用割补法简化计算：过A作平行于y轴的直线交BC于点T，将△ABC拆分为共底AT的△ABT和△ACT，两个三角形的高分别为B、C到直线AT的水平距离，分别计算两个小三角形面积再求和即可。
【解析】
(1)
∵一次函数$y=2x+b$的图象经过$A(2,6)$,
∴$6=2×2+b$,
∴$b=2$,
∴一次函数的解析式为$y=2x+2$.
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过$A(2,6)$,
∴$6=\frac{m}{2}$,
∴$m=12$,
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$.
(2)将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移12个单位，与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点$B,C$,
∴直线$BC$的解析式为$y=2x+2-12=2x-10$,
联立$\begin{cases}y=2x-10,\\y=\frac{12}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1,\\y=-12\end{cases}$或$\begin{cases}x=6,\\y=2,\end{cases}$
∴$B(-1,-12)$,$C(6,2)$.
如图所示,过点$A$作$AT//y$轴交直线$BC$于$T$,
∵$A(2,6)$,
∴点$T$的横坐标为2,在$y=2x-10$中,当$x=2$时,$y=2×2-10=-6$,
∴$T(2,-6)$,
∴$AT=6-(-6)=12$,
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)=18+24=42$.
【答案】
(1) 一次函数解析式为$\boldsymbol{y=2x+2}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{12}{x}}$；
(2) $\boldsymbol{S_{△ ABC}=42}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合常规题型，第一问为基础考点，直接代入点坐标即可求解；第二问结合函数平移、联立方程求交点，用割补法简化不规则三角形面积的计算，是中考反比例函数综合题的常见考法，侧重考查基础知识和基本解题方法的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 已知点A是一次函数和反比例函数的交点，点在函数图象上时坐标满足函数解析式，因此将A(2,6)分别代入两个函数表达式，即可求出未知参数b、m，进而得到两个函数的解析式。
(2) 首先根据一次函数平移“上加下减”的规律，求出平移后直线BC的解析式；再联立直线BC与反比例函数的解析式，解方程组得到B、C两点的坐标；计算△ABC面积时采用割补法简化计算：过A作平行于y轴的直线交BC于点T，将△ABC拆分为共底AT的△ABT和△ACT，两个三角形的高分别为B、C到直线AT的水平距离，分别计算两个小三角形面积再求和即可。
【解析】
(1)
∵一次函数$y=2x+b$的图象经过$A(2,6)$,
∴$6=2×2+b$,
∴$b=2$,
∴一次函数的解析式为$y=2x+2$.
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过$A(2,6)$,
∴$6=\frac{m}{2}$,
∴$m=12$,
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$.
(2)将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移12个单位，与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点$B,C$,
∴直线$BC$的解析式为$y=2x+2-12=2x-10$,
联立$\begin{cases}y=2x-10,\\y=\frac{12}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1,\\y=-12\end{cases}$或$\begin{cases}x=6,\\y=2,\end{cases}$
∴$B(-1,-12)$,$C(6,2)$.
如图所示,过点$A$作$AT//y$轴交直线$BC$于$T$,
∵$A(2,6)$,
∴点$T$的横坐标为2,在$y=2x-10$中,当$x=2$时,$y=2×2-10=-6$,
∴$T(2,-6)$,
∴$AT=6-(-6)=12$,
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)=18+24=42$.
【答案】
(1) 一次函数解析式为$\boldsymbol{y=2x+2}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{12}{x}}$；
(2) $\boldsymbol{S_{△ ABC}=42}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合常规题型，第一问为基础考点，直接代入点坐标即可求解；第二问结合函数平移、联立方程求交点，用割补法简化不规则三角形面积的计算，是中考反比例函数综合题的常见考法，侧重考查基础知识和基本解题方法的应用。
【难度系数】
0.7
11. 核心素养 运算能力 如图，直线$y=x+4$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$）的图象交于$A(-1,a)$，$B$两点，与$x$轴交于点$C$，连接$OB$。若点$P$在$x$轴上，且$S_{△ ACP}=\frac{3}{2}S_{△ BOC}$，则$OP=$
6或2
。答案
11.答案 6或2
解析 把点A(-1,a)代入y=x+4,得a=3,
∴A(-1,3),把A(-1,3)代入$y=\frac{k}{x}$,得k=-3,
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$,
联立$\begin{cases}y=x+4,\\y=-\frac{3}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3,\\y=1,\end{cases}$
∴点B的坐标为(-3,1).
在y=x+4中,当y=0时,x=-4,
∴点C(-4,0),设点P的坐标为(p,0),
∵$S_{△ ACP}=\frac{3}{2}S_{△ BOC}$,
∴$\frac{1}{2}×3×|p+4|=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×4×1$,解得$p_1=-6,p_2=-2$,
∴点P的坐标为(-6,0)或(-2,0),
∴OP=6或2.
解析 把点A(-1,a)代入y=x+4,得a=3,
∴A(-1,3),把A(-1,3)代入$y=\frac{k}{x}$,得k=-3,
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$,
联立$\begin{cases}y=x+4,\\y=-\frac{3}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3,\\y=1,\end{cases}$
∴点B的坐标为(-3,1).
在y=x+4中,当y=0时,x=-4,
∴点C(-4,0),设点P的坐标为(p,0),
∵$S_{△ ACP}=\frac{3}{2}S_{△ BOC}$,
∴$\frac{1}{2}×3×|p+4|=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×4×1$,解得$p_1=-6,p_2=-2$,
∴点P的坐标为(-6,0)或(-2,0),
∴OP=6或2.
解析
【分析】
解题时首先利用点A在直线上的条件求出点A的坐标，再将A代入反比例函数解析式求出k值，得到反比例函数的完整表达式；接下来联立一次函数和反比例函数的解析式，解方程组得到另一个交点B的坐标；然后求出直线与x轴交点C的坐标，设点P的坐标为$(p,0)$，分别表示出$△ ACP$和$△ BOC$的面积，根据题目给出的面积等量关系列方程，注意CP的长度需要用绝对值表示（因为点P可能在点C的左侧或右侧），解方程得到p的两个值，最后计算OP的长度即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：把$A(-1,a)$代入$y=x+4$，得$a=-1+4=3$，$\therefore A(-1,3)$。
2. 求反比例函数解析式：把$A(-1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，$\therefore$反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
3. 求点B的坐标：联立$\begin{cases}y=x+4\\y=-\frac{3}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}$，$\therefore$点B的坐标为$(-3,1)$。
4. 求点C的坐标：在$y=x+4$中，令$y=0$，得$x=-4$，$\therefore$点$C(-4,0)$。
5. 列方程求点P的坐标：设点P的坐标为$(p,0)$，
$\because S_{△ ACP}=\frac{3}{2}S_{△ BOC}$，
$\therefore \frac{1}{2}×3×|p+4|=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×4×1$，
化简得$|p+4|=2$，解得$p_1=-6$，$p_2=-2$，
$\therefore$点P的坐标为$(-6,0)$或$(-2,0)$。
6. 计算OP长度：OP为点P到原点的距离，$\therefore OP=6$或$2$。
【答案】
6或2
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，三角形面积计算，绝对值方程求解
【点评】
本题属于函数综合基础题，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式、联立方程求交点坐标的方法，解题时要注意x轴上两点间距离需加绝对值，避免因忽略点P的位置多样性出现漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用点A在直线上的条件求出点A的坐标，再将A代入反比例函数解析式求出k值，得到反比例函数的完整表达式；接下来联立一次函数和反比例函数的解析式，解方程组得到另一个交点B的坐标；然后求出直线与x轴交点C的坐标，设点P的坐标为$(p,0)$，分别表示出$△ ACP$和$△ BOC$的面积，根据题目给出的面积等量关系列方程，注意CP的长度需要用绝对值表示（因为点P可能在点C的左侧或右侧），解方程得到p的两个值，最后计算OP的长度即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：把$A(-1,a)$代入$y=x+4$，得$a=-1+4=3$，$\therefore A(-1,3)$。
2. 求反比例函数解析式：把$A(-1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，$\therefore$反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
3. 求点B的坐标：联立$\begin{cases}y=x+4\\y=-\frac{3}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}$，$\therefore$点B的坐标为$(-3,1)$。
4. 求点C的坐标：在$y=x+4$中，令$y=0$，得$x=-4$，$\therefore$点$C(-4,0)$。
5. 列方程求点P的坐标：设点P的坐标为$(p,0)$，
$\because S_{△ ACP}=\frac{3}{2}S_{△ BOC}$，
$\therefore \frac{1}{2}×3×|p+4|=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×4×1$，
化简得$|p+4|=2$，解得$p_1=-6$，$p_2=-2$，
$\therefore$点P的坐标为$(-6,0)$或$(-2,0)$。
6. 计算OP长度：OP为点P到原点的距离，$\therefore OP=6$或$2$。
【答案】
6或2
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，三角形面积计算，绝对值方程求解
【点评】
本题属于函数综合基础题，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式、联立方程求交点坐标的方法，解题时要注意x轴上两点间距离需加绝对值，避免因忽略点P的位置多样性出现漏解。
【难度系数】
0.6
1.「2026陕西西安高陵期中」在同一平面直角坐标系中，当$k＞0$时，一次函数$y=kx-3$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象大致是（
A
）答案
1.A
∵一次函数中,-3＜0,
∴一次函数的图象与y轴交于负半轴,故选项B,D不符合题意;
∵k＞0,
∴一次函数图象经过第一、三、四象限,反比例函数图象位于第一、三象限,故选A.
∵一次函数中,-3＜0,
∴一次函数的图象与y轴交于负半轴,故选项B,D不符合题意;
∵k＞0,
∴一次函数图象经过第一、三、四象限,反比例函数图象位于第一、三象限,故选A.
解析
【分析】
本题是一次函数与反比例函数图象的综合判断题，可采用排除法逐步推导：第一步先根据一次函数的常数项判断其与y轴的交点位置，排除不符合的选项；第二步再结合$k＞0$的已知条件，分别判断一次函数经过的象限、反比例函数所在的象限，最终选出符合两者性质的选项。
【解析】
首先分析一次函数$y=kx-3$的图象特征：
1. 一次函数的常数项为$-3＜0$，因此它的图象与y轴交于负半轴，观察选项，B、D中一次函数与y轴交于正半轴，不符合要求，排除B、D；
2. 已知$k＞0$，因此一次函数$y=kx-3$的斜率为正，图象经过第一、三、四象限；
3. 对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＞0$时，它的图象位于第一、三象限，选项C中反比例函数位于第二、四象限，不符合要求，排除C。
综上只有选项A符合所有性质。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质、反比例函数图象性质、函数图象判断
【点评】
本题属于基础的函数图象综合题，解题核心是抓住参数$k$的取值，结合两类函数图象与参数的对应关系，用排除法快速筛选答案，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
本题是一次函数与反比例函数图象的综合判断题，可采用排除法逐步推导：第一步先根据一次函数的常数项判断其与y轴的交点位置，排除不符合的选项；第二步再结合$k＞0$的已知条件，分别判断一次函数经过的象限、反比例函数所在的象限，最终选出符合两者性质的选项。
【解析】
首先分析一次函数$y=kx-3$的图象特征：
1. 一次函数的常数项为$-3＜0$，因此它的图象与y轴交于负半轴，观察选项，B、D中一次函数与y轴交于正半轴，不符合要求，排除B、D；
2. 已知$k＞0$，因此一次函数$y=kx-3$的斜率为正，图象经过第一、三、四象限；
3. 对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＞0$时，它的图象位于第一、三象限，选项C中反比例函数位于第二、四象限，不符合要求，排除C。
综上只有选项A符合所有性质。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质、反比例函数图象性质、函数图象判断
【点评】
本题属于基础的函数图象综合题，解题核心是抓住参数$k$的取值，结合两类函数图象与参数的对应关系，用排除法快速筛选答案，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
2.「2026河北邯郸期中」反比例函数$y=-\frac{k}{x}$与二次函数$y=kx^2 -k(k≠0)$在同一直角坐标系中的图象可能是（
B
）答案
2.B 当反比例函数图象位于第二、四象限时,-k＜0,即k＞0,因此二次函数图象应开口向上,且与y轴交于负半轴,故A选项错误;当反比例函数图象位于第一、三象限时,-k＞0,即k＜0,因此二次函数图象应开口向下,且与y轴交于正半轴,故B选项正确,C,D选项错误.故选B.
解析
【分析】
解决同一坐标系中两类函数图象的匹配问题，可采用分类讨论+排除法的思路：首先根据反比例函数的系数符号确定其图象所在象限，推导得到k的取值范围，再验证该取值下二次函数的开口方向、与y轴交点位置是否匹配，逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若反比例函数$y=-\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限，则$-k＞0$，即$k＜0$。此时二次函数$y=kx^2 -k$中，二次项系数$k＜0$，抛物线开口向下；常数项为$-k$，因为$k＜0$，所以$-k＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴，仅B选项符合该特征，C、D选项不符合，排除。
2. 若反比例函数$y=-\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限，则$-k＜0$，即$k＞0$。此时二次函数$y=kx^2 -k$中，二次项系数$k＞0$，抛物线开口向上；常数项$-k＜0$，抛物线与y轴交于负半轴，A选项中抛物线与y轴交于正半轴，不符合，排除。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象性质，二次函数图象性质，分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，需要结合函数系数与图象特征的对应关系，通过分类讨论逐一验证，能够有效考查对反比例函数和二次函数性质的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.7
解决同一坐标系中两类函数图象的匹配问题，可采用分类讨论+排除法的思路：首先根据反比例函数的系数符号确定其图象所在象限，推导得到k的取值范围，再验证该取值下二次函数的开口方向、与y轴交点位置是否匹配，逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若反比例函数$y=-\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限，则$-k＞0$，即$k＜0$。此时二次函数$y=kx^2 -k$中，二次项系数$k＜0$，抛物线开口向下；常数项为$-k$，因为$k＜0$，所以$-k＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴，仅B选项符合该特征，C、D选项不符合，排除。
2. 若反比例函数$y=-\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限，则$-k＜0$，即$k＞0$。此时二次函数$y=kx^2 -k$中，二次项系数$k＞0$，抛物线开口向上；常数项$-k＜0$，抛物线与y轴交于负半轴，A选项中抛物线与y轴交于正半轴，不符合，排除。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象性质，二次函数图象性质，分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，需要结合函数系数与图象特征的对应关系，通过分类讨论逐一验证，能够有效考查对反比例函数和二次函数性质的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.7
