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1.「2026 河南平顶山期中」如图,过点$A_1(2,0)$作$x$轴的垂线,交直线$y=2x$于点$B_1$;点$A_2$与点$O$关于直线$A_1B_1$对称,过点$A_2$作$x$轴的垂线,交直线$y=2x$于点$B_2$;点$A_3$与点$O$关于直线$A_2B_2$对称,过点$A_3$作$x$轴的垂线,交直线$y=2x$于点$B_3$;……按此规律作下去,则点$B_{2025}$的坐标为 (
A.$(2^{2025},2^{2025})$
B.$(2^{2025},2^{2026})$
C.$(2^{2024},2^{2024})$
D.$(2^{2024},2^{2025})$
B
)A.$(2^{2025},2^{2025})$
B.$(2^{2025},2^{2026})$
C.$(2^{2024},2^{2024})$
D.$(2^{2024},2^{2025})$
答案
由作图规律可知$A_1(2,0),A_2(4,0),A_3(8,0)$,$A_4(16,0),···,A_n(2^n,0)$,所以$B_1(2,4),B_2(4,8)$,$B_3(8,16),B_4(16,32),···,B_n(2^n,2^{n+1})$,所以点$B_{2025}$的坐标为$(2^{2025},2^{2026})$. 故选 B.
2.「2026辽宁沈阳新民期末」甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以60 km/h的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距$s$(km)，甲车行驶的时间为$t$(h)，$s$与$t$的关系如图所示，有下列说法：①甲车提前1 h出发，乙车出发2 h后追上甲车；②乙车行驶的速度是90 km/h；③A，B两地相距450 km；④甲车比乙车晚到$\frac{3}{2}$h.其中正确的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
第2题图 第3题图
D
)A.1
B.2
C.3
D.4
第2题图 第3题图
答案
因为甲车的速度为60 km/h，
所以由图象可知,甲车提前1 h出发,甲车出发3 h后,乙车追上甲车,
所以乙车出发2 h后追上甲车,故①正确.
乙车行驶的速度是$\frac{60×3}{2}=90(\mathrm{km/h})$,故②正确.
由图象可知,乙车出发6-1=5 h后到达B地,所以A,B两地相距$90×5=450(\mathrm{km})$,故③正确.
由图象可知,乙车到达B地时,甲车距离B地90 km,
所以甲车比乙车晚到$\frac{90}{60}=\frac{3}{2}(\mathrm{h})$,故④正确.
故正确的个数是4.
故选 D.
所以由图象可知,甲车提前1 h出发,甲车出发3 h后,乙车追上甲车,
所以乙车出发2 h后追上甲车,故①正确.
乙车行驶的速度是$\frac{60×3}{2}=90(\mathrm{km/h})$,故②正确.
由图象可知,乙车出发6-1=5 h后到达B地,所以A,B两地相距$90×5=450(\mathrm{km})$,故③正确.
由图象可知,乙车到达B地时,甲车距离B地90 km,
所以甲车比乙车晚到$\frac{90}{60}=\frac{3}{2}(\mathrm{h})$,故④正确.
故正确的个数是4.
故选 D.
3.如图,甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车到A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示,则下列结论:①A,B两城相距300千米;②乙车比甲车晚出发1小时,却早到1小时;③乙车出发1.5小时后追上甲车;④乙车追上甲车后,当甲、乙两车相距50千米时,$t=\frac{15}{4}$或$\frac{25}{6}$.其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
由图象可知A,B两城之间的距离为300千米,甲车行驶的时间为5小时,乙车在甲车出发1小时后出发,用时4-1=3小时,比甲车早到5-4=1小时,故①②正确.
设$y_\mathrm{甲}$与$t$的函数关系式为$y_\mathrm{甲}=kt(k≠0)$,
把$(5,300)$代入,得$300=5k$,解得$k=60$,
所以$y_\mathrm{甲}=60t(0≤ t≤5)$,设$y_\mathrm{乙}$与$t$的函数关系式为$y_\mathrm{乙}=mt+n(m≠0)$,把$(1,0)$和$(4,300)$代入,得
$\begin{cases}m+n=0,\\4m+n=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=100,\\n=-100,\end{cases}$所以$y_\mathrm{乙}=100t-100(1≤ t≤4)$,令$y_\mathrm{甲}=y_\mathrm{乙}$,可得$60t=100t-100$,解得$t=2.5$,所以乙车出发$2.5-1=1.5$小时后追上甲车,故③正确.
当乙车追上甲车后,令$y_\mathrm{乙}-y_\mathrm{甲}=50$,得$100t-100-60t=50$,解得$t=\frac{15}{4}$,
乙到达目的地,甲车仍在向B城行驶时,令$y_\mathrm{甲}=250$,得$60t=250$,解得$y=\frac{25}{6}$.综上所述,乙车追上甲车后,当甲、乙两车相距50千米时,$t=\frac{15}{4}$或$\frac{25}{6}$,故④正确.故正确的有①②③④,共4个.故选 D.
设$y_\mathrm{甲}$与$t$的函数关系式为$y_\mathrm{甲}=kt(k≠0)$,
把$(5,300)$代入,得$300=5k$,解得$k=60$,
所以$y_\mathrm{甲}=60t(0≤ t≤5)$,设$y_\mathrm{乙}$与$t$的函数关系式为$y_\mathrm{乙}=mt+n(m≠0)$,把$(1,0)$和$(4,300)$代入,得
$\begin{cases}m+n=0,\\4m+n=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=100,\\n=-100,\end{cases}$所以$y_\mathrm{乙}=100t-100(1≤ t≤4)$,令$y_\mathrm{甲}=y_\mathrm{乙}$,可得$60t=100t-100$,解得$t=2.5$,所以乙车出发$2.5-1=1.5$小时后追上甲车,故③正确.
当乙车追上甲车后,令$y_\mathrm{乙}-y_\mathrm{甲}=50$,得$100t-100-60t=50$,解得$t=\frac{15}{4}$,
乙到达目的地,甲车仍在向B城行驶时,令$y_\mathrm{甲}=250$,得$60t=250$,解得$y=\frac{25}{6}$.综上所述,乙车追上甲车后,当甲、乙两车相距50千米时,$t=\frac{15}{4}$或$\frac{25}{6}$,故④正确.故正确的有①②③④,共4个.故选 D.
4.“十一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.
设租车时间为$x$小时,租用甲公司的车所需费用为$y_1$元,租用乙公司的车所需费用为$y_2$元,函数图象如图所示.
(1)分别求出$y_1,y_2$关于$x$的函数表达式.
(2)当租车时间为多少时,两种方案所需费用相同?
(3)根据(2)的计算结果,结合图象,请你帮助小明一家选择合算的出游方案.
设租车时间为$x$小时,租用甲公司的车所需费用为$y_1$元,租用乙公司的车所需费用为$y_2$元,函数图象如图所示.
(1)分别求出$y_1,y_2$关于$x$的函数表达式.
(2)当租车时间为多少时,两种方案所需费用相同?
(3)根据(2)的计算结果,结合图象,请你帮助小明一家选择合算的出游方案.
答案
(1)根据题意设$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=k_1x+80(k_1≠0)$,将$(1,95)$代入,得$95=k_1+80$,解得$k_1=15$,所以$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=15x+80(x≥0)$.设$y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2=k_2x(k_2≠0)$,将$(1,30)$代入,得$k_2=30$,所以$y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2=30x(x≥0)$.
(2)当$y_1=y_2$时,$15x+80=30x$,解得$x=\frac{16}{3}$,
所以当租车时间为$\frac{16}{3}$小时时,两种方案所需费用相同.
(3)由(2)知,当$x=\frac{16}{3}$时,两种方案费用相等,故任意选择其中一个方案即可.结合图象可知,当$x＜\frac{16}{3}$时,$y_2＜y_1$,故选择方案二合算.当$x＞\frac{16}{3}$时,$y_1＜y_2$,故选择方案一合算.
故当租车时间小于$\frac{16}{3}$小时时,选择方案二合算,当租车时间等于$\frac{16}{3}$小时时,任意选择其中一个方案即可,当租车时间大于$\frac{16}{3}$小时时,选择方案一合算.
(2)当$y_1=y_2$时,$15x+80=30x$,解得$x=\frac{16}{3}$,
所以当租车时间为$\frac{16}{3}$小时时,两种方案所需费用相同.
(3)由(2)知,当$x=\frac{16}{3}$时,两种方案费用相等,故任意选择其中一个方案即可.结合图象可知,当$x＜\frac{16}{3}$时,$y_2＜y_1$,故选择方案二合算.当$x＞\frac{16}{3}$时,$y_1＜y_2$,故选择方案一合算.
故当租车时间小于$\frac{16}{3}$小时时,选择方案二合算,当租车时间等于$\frac{16}{3}$小时时,任意选择其中一个方案即可,当租车时间大于$\frac{16}{3}$小时时,选择方案一合算.
