5.如图,直线$l_1$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B(0,1)$,直线$l_2:y=-x+4$与$x$轴、$y$轴分别交于点$C,D$,直线$l_1$与$l_2$交于点$E(2,m)$.
(1)求$m$的值和直线$l_1$的表达式.
(2)点$G$是$x$轴上的一个动点,连接$GB,GE$,求$GB+GE$的最小值和此时点$G$的坐标.
(3)在直线$CD$上是否存在一点$P$,使得$△ BEP$的面积等于$5$? 若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)当$x=2$时,$m=y=-2+4=2$,所以$E(2,2)$,
设直线$l_1$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$,
因为直线$l_1$过点$E(2,2),B(0,1)$,所以$\begin{cases}2k+b=2,\\b=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=1,\end{cases}$
所以直线$l_1$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+1$.
(2)如图,作点B关于x轴的对称点F,连接EF交x轴于点G,连接BG,此时$GB+GE$的值最小,为EF的长,

因为$B(0,1)$,
所以$F(0,-1)$,
设直线EF的表达式为$y=ax+c(a≠0)$,
因为直线EF过点$E(2,2),F(0,-1)$,
所以$\begin{cases}2a+c=2,\\c=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{3}{2},\\c=-1,\end{cases}$
所以直线EF的表达式为$y=\frac{3}{2}x-1$,
当$y=0$时,$x=\frac{2}{3}$,所以$G(\frac{2}{3},0)$,
因为$EF=\sqrt{2^2+(2+1)^2}=\sqrt{13}$,
所以$GB+GE$的最小值为$\sqrt{13}$.
(3)存在.易得$C(4,0),D(0,4)$,所以$BD=4-1=3$,
当点P在y轴的左侧时,如图,

因为$S_{△ BDP}=S_{△ BEP}-S_{△ BED}=5-\frac{1}{2}×3×2=2$,
所以$\frac{1}{2}· BD·|x_P|=2$,所以$x_P=-\frac{4}{3}$,
对于$y=-x+4$,当$x=-\frac{4}{3}$时,$y=\frac{16}{3}$,所以$P(-\frac{4}{3},\frac{16}{3})$.
当点P在y轴的右侧时(图略),因为$S_{△ BDP}=S_{△ BEP}+S_{△ BED}=5+\frac{1}{2}×3×2=8$,所以$\frac{1}{2}· BD· x_P=8$,所以$x_P=\frac{16}{3}$,
对于$y=-x+4$,当$x=\frac{16}{3}$时,$y=-\frac{4}{3}$,所以$P(\frac{16}{3},-\frac{4}{3})$.
综上所述,点P的坐标为$(-\frac{4}{3},\frac{16}{3})$或$(\frac{16}{3},-\frac{4}{3})$.

6. 聚焦中考 直接经验学习「2026广东深圳宝安期末」若两条直线$ l_1 $和$ l_2 $的交点在x轴上，直线l与直线$ l_1 $交于点$ P(m,n) $，与直线$ l_2 $交于点$ Q(n,m) $（点P，Q均不与原点重合），则称直线l是直线$ l_1 $和$ l_2 $的“美好对应轴”。
例如:如图1,直线$ l_1:y=-\frac{1}{7}x+\frac{5}{7} $与$ l_2:y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2} $相交于点$ A(5,0) $，直线$ l:y=-x-1 $分别与$ l_1,l_2 $交于点$ P(-2,1) $和点$ Q(1,-2) $，称直线l是直线$ l_1 $和$ l_2 $的“美好对应轴”。
【理解定义】
(1)已知直线l是直线$ l_1 $和$ l_2 $的“美好对应轴”，直线l与$ l_1 $的交点为$ P(3,2) $，与$ l_2 $的交点为$ Q(\_\_\_\_\_\_,\_\_\_\_\_\_) $。
(2)如图2,已知直线$ l_1:y=-\frac{1}{3}x+2 $和直线$ l_2:y=x-6 $，请判断直线$ l:y=-x $是不是直线$ l_1 $和$ l_2 $的“美好对应轴”，并说明理由。
(3)如图3,已知直线$ l_1:y=-\frac{1}{3}x+2 $和直线$ l:y=-x+4 $，若直线l是直线$ l_1 $和$ l_2 $的“美好对应轴”，请求出直线$ l_2 $的函数表达式。
【拓展研究】
(4)如图4,已知直线$ l_1:y=-\frac{1}{3}x+2 $，直线l是直线$ l_1 $和$ l_2 $的“美好对应轴”，直线l和$ l_1 $交于点P，直线l和$ l_2 $交于点Q，连接PO，QO，若$ △ AOP $的面积和$ △ AOQ $的面积存在两倍关系，请直接写出点P的坐标。

(1)根据定义可知直线l与$l_2$的交点为$Q(2,3)$.
(2)直线l是直线$l_1$和$l_2$的“美好对应轴”.理由:由题意联立$l_1:y=-\frac{1}{3}x+2$和$l_2:y=x-6$,得$\begin{cases}y=-\frac{1}{3}x+2,\\y=x-6,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=6,\\y=0,\end{cases}$所以$A(6,0)$,所以直线$l_1$和$l_2$的交点A在x轴上,
解方程组$\begin{cases}y=-\frac{1}{3}x+2,\\y=-x,\end{cases}$得$\begin{cases}x=-3,\\y=3,\end{cases}$
所以直线l与直线$l_1$交于点$P(-3,3)$,
解方程组$\begin{cases}y=x-6,\\y=-x,\end{cases}$得$\begin{cases}x=3,\\y=-3,\end{cases}$
所以直线l与直线$l_2$交于点$Q(3,-3)$,
所以直线l是直线$l_1$和$l_2$的“美好对应轴”.
(3)解方程组$\begin{cases}y=-\frac{1}{3}x+2,\\y=-x+4,\end{cases}$得$\begin{cases}x=3,\\y=1,\end{cases}$
所以直线$l_1:y=-\frac{1}{3}x+2$与直线$l:y=-x+4$的交点为$P(3,1)$,因为直线l是直线$l_1$和$l_2$的“美好对应轴”,所以直线l与直线$l_2$的交点Q的坐标为$(1,3)$,点$Q(1,3)$在直线l上,令$-\frac{1}{3}x+2=0$,解得$x=6$,所以直线$l_1$与x轴的交点为$A(6,0)$,所以直线$l_2$过点$A(6,0),Q(1,3)$,
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$,
则$\begin{cases}6k+b=0,\\k+b=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{5},\\b=\frac{18}{5},\end{cases}$
所以直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{3}{5}x+\frac{18}{5}$.
(4)点P的坐标为$(\frac{12}{5},\frac{6}{5})$或$(-12,6)$或$(\frac{6}{7},\frac{12}{7})$或$(-\frac{6}{5},\frac{12}{5})$.
提示:根据题意,设$P(m,n),Q(n,m)$,
因为$△ AOP$的面积和$△ AOQ$的面积存在两倍关系,$AO=AO$,所以$|m|=2|n|$或$|n|=2|m|$,所以$m=2n$或$m=-2n$或$n=2m$或$n=-2m$,
当$m=2n$时,$P(2n,n)$,将$(2n,n)$代入$y=-\frac{1}{3}x+2$,得$n=-\frac{2}{3}n+2$,解得$n=\frac{6}{5}$,
所以$m=\frac{12}{5}$,所以$P(\frac{12}{5},\frac{6}{5})$.
当$m=-2n$时,$P(-2n,n)$,将$(-2n,n)$代入$y=-\frac{1}{3}x+2$,得$n=\frac{2}{3}n+2$,解得$n=6$,
所以$m=-12$,所以$P(-12,6)$.
当$n=2m$时,$P(m,2m)$,将$(m,2m)$代入$y=-\frac{1}{3}x+2$,得$2m=-\frac{1}{3}m+2$,解得$m=\frac{6}{7}$,所以$n=\frac{12}{7}$,所以$P(\frac{6}{7},\frac{12}{7})$.
当$n=-2m$时,$P(m,-2m)$,将$(m,-2m)$代入$y=-\frac{1}{3}x+2$,得$-2m=-\frac{1}{3}m+2$,解得$m=-\frac{6}{5}$,所以$n=\frac{12}{5}$,
所以$P(-\frac{6}{5},\frac{12}{5})$.
综上所述,点P的坐标为$(\frac{12}{5},\frac{6}{5})$或$(-12,6)$或$(\frac{6}{7},\frac{12}{7})$或$(-\frac{6}{5},\frac{12}{5})$.