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9.「2026山东烟台期末，★☆」已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - m ＜ 0, \\3x - 5 ≥ 10\end{cases}$至少有两个整数解，且存在三边长分别为$3,m,7$的三角形，则$m$的整数解有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
9.B 解不等式$x-m＜0$,得$x＜m$,解不等式$3x-5≥10$,得$x≥5$,
∴ 不等式组的解集为$5≤x＜m$,
∵ 不等式组至少有两个整数解,
∴ $m＞6$,
∵ 存在三边长分别为3,m,7的三角形,
∴ $4＜m＜10$,
∴ m 的取值范围是$6＜m＜10$,
∴ m 的整数解有 3 个.故选 B.
∴ 不等式组的解集为$5≤x＜m$,
∵ 不等式组至少有两个整数解,
∴ $m＞6$,
∵ 存在三边长分别为3,m,7的三角形,
∴ $4＜m＜10$,
∴ m 的取值范围是$6＜m＜10$,
∴ m 的整数解有 3 个.故选 B.
10.「2026湖北仙桃期中，★☆」定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若$△ ABC$是“倍长三角形”,有两条边的长分别为4和6,则第三条边的长可能为
3或8
.答案
10.答案 3 或 8
解析 设第三条边的长为x,根据三角形的三边关系可得 6-4＜x＜6+4,即 2＜x＜10,
若 2x=4,则 x=2;若 2x=6,则 x=3;
若 x=2×4,则 x=8;若 x=2×6,则 x=12.
∵ 2＜x＜10,
∴ 第三条边的长可能为 3 或 8.
解析 设第三条边的长为x,根据三角形的三边关系可得 6-4＜x＜6+4,即 2＜x＜10,
若 2x=4,则 x=2;若 2x=6,则 x=3;
若 x=2×4,则 x=8;若 x=2×6,则 x=12.
∵ 2＜x＜10,
∴ 第三条边的长可能为 3 或 8.
11.「2026江苏宿迁月考，★☆」如图，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$，点D是平面内一点，且满足$CD=\dfrac{1}{2}AD$，则$2BD+AD$的最小值是
16
。答案
11.答案 16
解析
∵ $CD=\frac{1}{2}AD$,
∴ $AD=2CD$,
∴ $2BD+AD=2BD+2CD=2(BD+CD)$,易得$2(BD+CD)≥2BC$,即$2BD+AD≥2BC$,
∴ 当点 D 在线段 BC 上时,$2BD+AD$有最小值,为2BC 的值,
∵ BC=8,
∴ $2BD+AD$的最小值为$2BC=2×8=16$.
解析
∵ $CD=\frac{1}{2}AD$,
∴ $AD=2CD$,
∴ $2BD+AD=2BD+2CD=2(BD+CD)$,易得$2(BD+CD)≥2BC$,即$2BD+AD≥2BC$,
∴ 当点 D 在线段 BC 上时,$2BD+AD$有最小值,为2BC 的值,
∵ BC=8,
∴ $2BD+AD$的最小值为$2BC=2×8=16$.
12.「2026浙江金华期中，★★」已知△ABC的三边长分别为a,b,c(a,b,c均为有理数)，且$\sqrt{b+c-2a}+(b+c-7)^2=0$，则b的取值范围是
1.75＜b＜5.25
答案
12.答案 $1.75＜b＜5.25$
解析
∵ $\sqrt{b+c-2a}+(b+c-7)^2=0$,
∴ $b+c-2a=0$,$b+c-7=0$,
∴ $b+c=7$,$a=3.5$,
∴ $c=7-b$,根据三角形的三边关系得$|c-a|＜b＜c+a$,
∴ $|7-b-3.5|＜b＜7-b+3.5$,即$|3.5-b|＜b＜10.5-b$,
①当$b≤3.5$时,$|3.5-b|=3.5-b$,
∴ $3.5-b＜b＜10.5-b$,解得$1.75＜b＜5.25$,
∵ $b≤3.5$,
∴ $1.75＜b≤3.5$;
②当$b＞3.5$时,$|3.5-b|=b-3.5$,
∴ $b-3.5＜b＜10.5-b$,解得$b＜5.25$,
∵ $b＞3.5$,
∴ $3.5＜b＜5.25$.
综上所述,b 的取值范围为$1.75＜b＜5.25$.
解析
∵ $\sqrt{b+c-2a}+(b+c-7)^2=0$,
∴ $b+c-2a=0$,$b+c-7=0$,
∴ $b+c=7$,$a=3.5$,
∴ $c=7-b$,根据三角形的三边关系得$|c-a|＜b＜c+a$,
∴ $|7-b-3.5|＜b＜7-b+3.5$,即$|3.5-b|＜b＜10.5-b$,
①当$b≤3.5$时,$|3.5-b|=3.5-b$,
∴ $3.5-b＜b＜10.5-b$,解得$1.75＜b＜5.25$,
∵ $b≤3.5$,
∴ $1.75＜b≤3.5$;
②当$b＞3.5$时,$|3.5-b|=b-3.5$,
∴ $b-3.5＜b＜10.5-b$,解得$b＜5.25$,
∵ $b＞3.5$,
∴ $3.5＜b＜5.25$.
综上所述,b 的取值范围为$1.75＜b＜5.25$.
13.「2026天津滨海新区期中，★☆」已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$.
(1)若$a,b,c$满足$|a-b|+(b-c)^2=0$,试判断$△ ABC$的形状.
(2)化简:$|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|$.
(1)若$a,b,c$满足$|a-b|+(b-c)^2=0$,试判断$△ ABC$的形状.
(2)化简:$|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|$.
答案
13.解析 (1)
∵ $|a-b|+(b-c)^2=0$,
∴ $a-b=0$,$b-c=0$,
∴ $a=b=c$,
∴ $△ABC$ 是等边三角形.
(2)
∵ $a,b,c$ 是$△ABC$ 的三边长,
∴ $a-b＜c$,$b-c＜a$,$a+b＞c$,
∴ $a-b-c＜0$,$b-c-a＜0$,$a+b-c＞0$,
∴ $|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c$.
∵ $|a-b|+(b-c)^2=0$,
∴ $a-b=0$,$b-c=0$,
∴ $a=b=c$,
∴ $△ABC$ 是等边三角形.
(2)
∵ $a,b,c$ 是$△ABC$ 的三边长,
∴ $a-b＜c$,$b-c＜a$,$a+b＞c$,
∴ $a-b-c＜0$,$b-c-a＜0$,$a+b-c＞0$,
∴ $|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c$.
14.核心素养 推理能力 聚焦中考 过程性学习 「2026 江苏宿迁月考节选」
【阅读材料】
在解决几何问题时,我们经常需要比较线段和的大小.其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加,从而得到新的、更有用的不等式.这种方法称为同向不等式相加.核心原理:如果a ＞b,c＞d,那么a+c＞b+d.
如何选择和应用不等式,是成功使用此方法的关键.请思考并完成以下探究问题.
【问题探究】
(1)如图1,在△ABC中,当点P位于边BC上时(不与B,C重合),AC+BC
(2)如图2,当点P位于△ABC内部时,求证:AB+AC＞PB+PC.
(3)如图3,P,Q是△ABC内部的两点,连接BP,PQ,QC,使B,P,Q,C构成凸四边形.请参考(2)的证明方法,求证:AB+AC＞BP+PQ+QC.
【阅读材料】
在解决几何问题时,我们经常需要比较线段和的大小.其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加,从而得到新的、更有用的不等式.这种方法称为同向不等式相加.核心原理:如果a ＞b,c＞d,那么a+c＞b+d.
如何选择和应用不等式,是成功使用此方法的关键.请思考并完成以下探究问题.
【问题探究】
(1)如图1,在△ABC中,当点P位于边BC上时(不与B,C重合),AC+BC
＞
PA+PB(填“＜”“＞”或“=”).(2)如图2,当点P位于△ABC内部时,求证:AB+AC＞PB+PC.
(3)如图3,P,Q是△ABC内部的两点,连接BP,PQ,QC,使B,P,Q,C构成凸四边形.请参考(2)的证明方法,求证:AB+AC＞BP+PQ+QC.
答案
14.解析 (1)根据三角形三边关系,得 $PC+AC＞PA$,
∴ $PC+AC+PB＞PA+PB$,即 $AC+BC＞PA+PB$.故答案为＞.
(2)证明:如图 1,延长 BP,交 AC 于点 E,
在$△ABE$中,$AB+AE＞BE$,$BE=BP+PE$,
∴ $AB+AE＞BP+PE$,
在$△PCE$中,$PE+EC＞PC$,
∴ $AB+AE+PE+EC＞BP+PE+PC$,
∴ $AB+AE+EC＞BP+PC$,即 $AB+AC＞PB+PC$.
(3)证明:如图 2,延长 PQ 交 AC 于点 F,延长 QP 交 AB 于点 E,
在$△AEF$中,$AE+AF＞EP+PQ+QF$,
在$△EBP$中,$EP+EB＞BP$,
在$△QFC$中,$QF+FC＞QC$,
∴ $AE+AF+EP+EB+QF+FC＞EP+PQ+QF+BP+QC$,
∴ $AE+AF+EB+FC＞PQ+BP+QC$,
即 $AB+AC＞BP+PQ+QC$.
