登录
1.「2026江苏宿迁期中」一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具。现在只能拿两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（
A.①③
B.②④
C.①④
D.③④
B
）A.①③
B.②④
C.①④
D.③④
答案
1.B
2. 学科特色 教材变式「2026 山东淄博期中」如图,已知AD是∠BAC的平分线,要判定△ABD≌△ACD,若以“ASA”为依据,还需添加的条件是
∠ADB=∠ADC
.答案
2.答案 $∠ ADB = ∠ ADC$
解析 $\because AD$ 是$∠ BAC$的平分线,$\therefore ∠ BAD= ∠ CAD$,
在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} ∠ BAD= ∠ CAD, \\ AD=AD, \\ ∠ ADB= ∠ ADC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ ACD( \mathrm{ASA} ).$
解析 $\because AD$ 是$∠ BAC$的平分线,$\therefore ∠ BAD= ∠ CAD$,
在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} ∠ BAD= ∠ CAD, \\ AD=AD, \\ ∠ ADB= ∠ ADC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ ACD( \mathrm{ASA} ).$
3.「2026浙江杭州期中」如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，FC//AB，若BD=2，CF=6，则AB=
8
.答案
3.答案 8
解析 $\because FC// AB,\therefore ∠ ADF= ∠ F$,
在$△ AED$ 和$△ CEF$ 中,$\begin{cases} ∠ ADF= ∠ F, \\ DE=FE, \\ ∠ AED= ∠ CEF, \end{cases}$
$\therefore △ AED≌ △ CEF( \mathrm{ASA} ),\therefore AD=CF=6$,
$\because BD=2,\therefore AB=AD+BD=8.$
解析 $\because FC// AB,\therefore ∠ ADF= ∠ F$,
在$△ AED$ 和$△ CEF$ 中,$\begin{cases} ∠ ADF= ∠ F, \\ DE=FE, \\ ∠ AED= ∠ CEF, \end{cases}$
$\therefore △ AED≌ △ CEF( \mathrm{ASA} ),\therefore AD=CF=6$,
$\because BD=2,\therefore AB=AD+BD=8.$
4.「2026浙江台州期末」如图，AB=AC，CD//AB，点E是AC上一点，且∠ABE=∠CAD，延长BE交AD于点F.
(1)求证:△ABE≌△CAD.
(2)若∠ABC=∠ACB=65°,∠ABE=25°,求∠D的度数.
(1)求证:△ABE≌△CAD.
(2)若∠ABC=∠ACB=65°,∠ABE=25°,求∠D的度数.
答案
4.解析 (1)证明:$\because CD// AB$,
$\therefore ∠ BAE= ∠ ACD$,
在$△ ABE$ 和$△ CAD$ 中,$\begin{cases} ∠ BAE= ∠ ACD, \\ AB=AC, \\ ∠ ABE= ∠ CAD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ CAD( \mathrm{ASA} ).$
(2)$\because ∠ ABC= ∠ ACB=65^{ \circ }$,
$\therefore ∠ BAC=180^{ \circ }-65^{ \circ }-65^{ \circ }=50^{ \circ }$,
$\because ∠ ABE=25^{ \circ },\therefore ∠ AEB=180^{ \circ }- ∠ ABE- ∠ BAE = 180^{ \circ }-25^{ \circ }-50^{ \circ }=105^{ \circ }$,
$\because △ ABE≌ △ CAD,\therefore ∠ D= ∠ AEB=105^{ \circ }.$
$\therefore ∠ BAE= ∠ ACD$,
在$△ ABE$ 和$△ CAD$ 中,$\begin{cases} ∠ BAE= ∠ ACD, \\ AB=AC, \\ ∠ ABE= ∠ CAD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ CAD( \mathrm{ASA} ).$
(2)$\because ∠ ABC= ∠ ACB=65^{ \circ }$,
$\therefore ∠ BAC=180^{ \circ }-65^{ \circ }-65^{ \circ }=50^{ \circ }$,
$\because ∠ ABE=25^{ \circ },\therefore ∠ AEB=180^{ \circ }- ∠ ABE- ∠ BAE = 180^{ \circ }-25^{ \circ }-50^{ \circ }=105^{ \circ }$,
$\because △ ABE≌ △ CAD,\therefore ∠ D= ∠ AEB=105^{ \circ }.$
5.「2026湖南株洲期末」如图，在四边形ABCD中，连接BD，已知AB//CD，则添加下列条件，还不能证明△ABD≌△CDB的是（
A.∠A=∠C
B.AB=CD
C.AD//BC
D.AD=BC
D
）A.∠A=∠C
B.AB=CD
C.AD//BC
D.AD=BC
答案
5.D 由题图可知 $BD = DB$,$\because AB // CD$,$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB$.A.若添加$∠ A= ∠ C$,则$△ ABD≌ △ CDB( \mathrm{AAS} )$;B.若添加$AB=CD$,则$△ ABD≌ △ CDB( \mathrm{SAS} )$;C.若添加$AD // BC$, 则 $∠ ADB = ∠ CBD$, $\therefore △ ABD ≌ △ CDB(\mathrm{ASA})$;D.若添加$AD=BC$,根据 SSA 无法证明$△ ABD≌ △ CDB$.故选 D.
6.「2026江苏常州期中」如图所示的是小明和小红玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板AB的中点，支柱OE与地面垂直，且OE的长度为40 cm，当小明(点A)到水平线CD的距离AM为30 cm时，小红(点B)到地面的距离为
70 cm
。答案
6.答案 70 cm
解析 由题意得$∠ AMO= ∠ BNO=90^{ \circ }$,
$\because$ 点 $O$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore OA=OB$,
在$△ AOM$ 和$△ BON$ 中,$\begin{cases} ∠ AMO= ∠ BNO, \\ ∠ AOM= ∠ BON, \\ OA=OB, \end{cases}$
$\therefore △ AOM≌ △ BON,\therefore BN=AM=30\ \mathrm{cm}$,
$\because OE=40\ \mathrm{cm}$,且 $OE$ 与地面垂直,
$\therefore$ 小红 (点 $B$ )到地面的距离为 $30+40=70(\mathrm{cm}).$
解析 由题意得$∠ AMO= ∠ BNO=90^{ \circ }$,
$\because$ 点 $O$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore OA=OB$,
在$△ AOM$ 和$△ BON$ 中,$\begin{cases} ∠ AMO= ∠ BNO, \\ ∠ AOM= ∠ BON, \\ OA=OB, \end{cases}$
$\therefore △ AOM≌ △ BON,\therefore BN=AM=30\ \mathrm{cm}$,
$\because OE=40\ \mathrm{cm}$,且 $OE$ 与地面垂直,
$\therefore$ 小红 (点 $B$ )到地面的距离为 $30+40=70(\mathrm{cm}).$
7.「2026北京海淀期中」如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的高,BE是AC边上的高,且AD,BE交于点F,若$BF=AC,CD=4,BD=9$,则AF的长为
5
.答案
7.答案 5
解析 $\because AD$ 是 $BC$ 边上的高,$BE$ 是 $AC$ 边上的高,
$\therefore ∠ ADB= ∠ ADC= ∠ AEB=90^{ \circ }$,
$\because ∠ AFE= ∠ BFD$,$\therefore ∠ DAC= ∠ DBF$,
在$△ BDF$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} ∠ BDF= ∠ ADC, \\ ∠ DBF= ∠ DAC, \\ BF=AC, \end{cases}$
$\therefore △ BDF≌ △ ADC( \mathrm{AAS} ),\therefore DF=CD=4$,$AD=BD=9$,
$\therefore AF=AD-DF=9-4=5.$
解析 $\because AD$ 是 $BC$ 边上的高,$BE$ 是 $AC$ 边上的高,
$\therefore ∠ ADB= ∠ ADC= ∠ AEB=90^{ \circ }$,
$\because ∠ AFE= ∠ BFD$,$\therefore ∠ DAC= ∠ DBF$,
在$△ BDF$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} ∠ BDF= ∠ ADC, \\ ∠ DBF= ∠ DAC, \\ BF=AC, \end{cases}$
$\therefore △ BDF≌ △ ADC( \mathrm{AAS} ),\therefore DF=CD=4$,$AD=BD=9$,
$\therefore AF=AD-DF=9-4=5.$
8.「2025四川内江中考」如图，点B,F,C,E在同一条直线上，AC=DF，∠A=∠D，AB//DE.
(1)求证：△ABC≌△DEF.
(2)若BF=4，FC=3，求BE的长.
(1)求证：△ABC≌△DEF.
(2)若BF=4，FC=3，求BE的长.
答案
8.解析 (1)证明:$\because AB// DE$,$\therefore ∠ B= ∠ E$,
在$△ ABC$ 和$△ DEF$ 中,$\begin{cases} ∠ B= ∠ E, \\ ∠ A= ∠ D, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ DEF( \mathrm{AAS} ).$
(2)由(1)得$△ ABC≌ △ DEF$,$\therefore BC=EF$,
$\therefore BC-CF=EF-CF$,即 $BF=EC=4$,
$\because FC=3$,$\therefore BE=BF+FC+EC=4+3+4=11.$
在$△ ABC$ 和$△ DEF$ 中,$\begin{cases} ∠ B= ∠ E, \\ ∠ A= ∠ D, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ DEF( \mathrm{AAS} ).$
(2)由(1)得$△ ABC≌ △ DEF$,$\therefore BC=EF$,
$\therefore BC-CF=EF-CF$,即 $BF=EC=4$,
$\because FC=3$,$\therefore BE=BF+FC+EC=4+3+4=11.$
