9. 学科特色 倍长中线法 「2026 福建福州期末，★☆」如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，若AB=4，AC=6，则AD长的取值范围为。

答案 1＜AD＜5
解析 如图,延长AD到E,使DE=AD,连接CE,
∵ AD是BC边上的中线,
∴ BD=CD,
在△ABD和△ECD中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC, \\ AD=DE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ECD(SAS),
∴ CE=AB=4,
根据三角形三边关系可知AC−CE＜AE＜AC+CE,
∴ 6−4＜2AD＜6+4,
∴ 1＜AD＜5.

10.「2026江苏南京月考，★☆」如图，在$△ PAB$中，$∠ A = ∠ B$，$M$，$N$，$K$分别是$PA$，$PB$，$AB$上的点，且$AM = BK$，$BN = AK$。若$∠ MKN = 40°$，则$∠ P$的度数为。

答案 100°
解析 在△AMK和△BKN中,$\begin{cases} AM=BK, \\ ∠A=∠B, \\ AK=BN, \end{cases}$
∴ △AMK≌△BKN(SAS),
∴ ∠AMK=∠BKN,
∵ ∠A+∠AMK=∠MKB=∠MKN+∠BKN,
∴ ∠A=∠B=∠MKN=40°,
∴ ∠P=180°−∠A−∠B=100°.

11. 学科 特色 截长补短法「2026河南新乡期末，★☆」如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，$AB=5$，$BP$平分$∠ ABC$，点$D$，$E$分别是$BC$，$BP$上不与端点重合的动点，连接$CE$，$DE$，则$CE+DE$的最小值为.

答案 $\frac{12}{5}$
解析 如图,在AB上截取BF=BD,连接EF,过点C作CG⊥AB于点G,
∵ BP平分∠ABC,
∴ ∠DBE=∠FBE,
在△DBE和△FBE中,
$\begin{cases} BD=BF, \\ ∠DBE=∠FBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴ △DBE≌△FBE(SAS),
∴ DE=FE,
∴ CE+DE=CE+FE,
根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可知当点C,E,F三点共线,且CF⊥AB时,CE+DE的值最小,为CG的值,
∵ ∠ACB=90°,CG⊥AB,
∴ $\frac{1}{2}AB·CG=\frac{1}{2}AC·BC$,
∵ AC=4,BC=3,AB=5,
∴ $CG=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$.
∴ CE+DE的最小值为$\frac{12}{5}$.

12.「2026 山东青岛期中，★☆」如图，AB ⊥ BD，DE ⊥ BD，C 是 BD 上一点，且 BC = DE，AB = BD，AC 与 BE 交于点 F.
(1)判断 AC 与 BE 的位置关系，并说明理由.
(2)若 $S_{△ ABC}=12$，$AF:CF=3:1$，求四边形 CDEF 的面积.

(1)AC⊥BE.理由如下:
∵ AB⊥BD,DE⊥BD,
∴ ∠ABC=∠BDE=90°,
在△ABC和△BDE中,
$\begin{cases} AB=BD, \\ ∠ABC=∠BDE, \\ BC=DE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△BDE(SAS),
∴ ∠A=∠CBF,
∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠A+∠ACB=90°,
∴ ∠CBF+∠ACB=90°,
∴ ∠BFC=90°,
∴ AC⊥BE.
(2)
∵ $S_{△ABC}=12$,AF:CF=3:1,
∴ $S_{△ABF}=\frac{3}{3+1}S_{△ABC}=\frac{3}{4}×12=9$,
∵ △ABC≌△BDE,
∴ $S_{△ABC}=S_{△BDE}$,
∴ $S_{四边形CDEF}=S_{△BDE}−S_{△BCF}=S_{△ABC}−S_{△BCF}=S_{△ABF}=9$.

13. 核心素养 推理能力 聚焦中考 过程性学习 「2026 广东惠州期中」在△ABC中，AB=AC，∠ACB=∠B，点D是射线CB上一动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.
(1)如图1，当∠BAC=90°，点D在线段CB上时，探究BD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由.
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β.
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论（注：任意四边形的内角和为360°）.
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系为.

(1)BD=CE,BD⊥CE.理由如下:
∵ ∠DAE=∠BAC=90°,AB=AC,
∴ ∠ACB=∠B=45°,∠BAD=90°−∠CAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS),
∴ BD=CE,∠ACE=∠B=45°,
∴ ∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,
∴ BD⊥CE.
(2)①α+β=180°.证明:
同(1)可得△ABD≌△ACE,
∴ ∠ADB=∠AEC,
∵ ∠ADB+∠ADC=180°,
∴ ∠AEC+∠ADC=180°,
∵ 四边形ADCE的内角和为360°,
∴ ∠DAE+∠DCE=180°,
∵ ∠DAE=∠BAC=α,∠DCE=β,
∴ α+β=180°.
②补充图形如图所示,
∵ ∠DAE=∠BAC,
∴ ∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE,即∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS),
∴ ∠ABD=∠ACE,
∵ ∠ABD=∠ACB+∠BAC,∠ACE=∠ACB+∠DCE,
∴ ∠BAC=∠DCE,即α=β.故答案为α=β.