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8 如图，AC是$\odot O$的直径，弦BD交AC于点E，连结AD，CD，BC.
（1）求证：$△ ADE ∽ △ BCE$；
（2）若$AD^2 = AE · AC$，求证：$CD = CB$.
（1）求证：$△ ADE ∽ △ BCE$；
（2）若$AD^2 = AE · AC$，求证：$CD = CB$.
答案
8. （1）因为$∠ A$与$∠ B$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角,所以$∠ A=∠ B$.又因为$∠ AED=∠ BEC$,所以$△ ADE∽△ BCE$
（2）因为$AD^2=AE· AC$,所以$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AC}$.又因为$∠ EAD=∠ DAC$,所以$△ ADE∽△ ACD$.所以$∠ AED=∠ ADC$.因为$AC$是$\odot O$的直径,所以$∠ ADC=90°$.所以$∠ AED=90°$.所以$AC⊥ BD$.所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$.所以$CD=CB$
（2）因为$AD^2=AE· AC$,所以$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AC}$.又因为$∠ EAD=∠ DAC$,所以$△ ADE∽△ ACD$.所以$∠ AED=∠ ADC$.因为$AC$是$\odot O$的直径,所以$∠ ADC=90°$.所以$∠ AED=90°$.所以$AC⊥ BD$.所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$.所以$CD=CB$
9 [2026 金华永康期中改编]如图，$△ ADE ∽ △ ABC$，$AB = 15\ \mathrm{cm}$，$AD = 7\ \mathrm{cm}$，$BC = 12\ \mathrm{cm}$，$∠ BAC=53°$，$∠ ABC=40°$.求：
(1) $∠ ADE$ 和$∠ AED$ 的度数；
(2) $DE$ 的长.
(1) $∠ ADE$ 和$∠ AED$ 的度数；
(2) $DE$ 的长.
答案
9. （1）因为$∠ BAC=53°$,$∠ ABC=40°$,$∠ BAC+∠ ABC+∠ C=180°$,所以$∠ C=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-53°-40°=87°$.因为$△ ADE∽△ ABC$,所以$∠ ADE=∠ ABC=40°$,$∠ AED=∠ C=87°$
（2）因为$△ ADE∽△ ABC$,所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$.因为$AB=15\ \mathrm{cm}$,$AD=7\ \mathrm{cm}$,$BC=12\ \mathrm{cm}$,所以$\frac{7}{15}=\frac{DE}{12}$.所以$DE=\frac{28}{5}\ \mathrm{cm}$
（2）因为$△ ADE∽△ ABC$,所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$.因为$AB=15\ \mathrm{cm}$,$AD=7\ \mathrm{cm}$,$BC=12\ \mathrm{cm}$,所以$\frac{7}{15}=\frac{DE}{12}$.所以$DE=\frac{28}{5}\ \mathrm{cm}$
10 如图①,点 C 将线段 AB 分成两部分,如果 $\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$,那么称 C 为线段 AB 的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线 $l$ 将一个面积为 $S$ 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为 $S_1,S_2$,如果 $\frac{S_1}{S}=\frac{S_2}{S_1}$,那么称直线 $l$ 为该图形的黄金分割线.
(1) 如图②,在$△ ABC$中,$∠ A=36°,AB=AC,∠ ACB$的平分线交 AB 于点 D,问:D 是不是边 AB 的黄金分割点? 证明你的结论.
(2) 如图③,在(1)的条件下,问:直线 CD 是不是$△ ABC$的黄金分割线? 证明你的结论.
(3) 如图④,在直角梯形 ABCD 中,$∠ ADC=∠ BCD=90°$,对角线 AC,BD 交于点 F,延长 AB,DC 交于点 E,连结 EF 并延长,交梯形的上、下底于 G,H 两点,问:直线 GH 是不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线? 证明你的结论.
(1) 如图②,在$△ ABC$中,$∠ A=36°,AB=AC,∠ ACB$的平分线交 AB 于点 D,问:D 是不是边 AB 的黄金分割点? 证明你的结论.
(2) 如图③,在(1)的条件下,问:直线 CD 是不是$△ ABC$的黄金分割线? 证明你的结论.
(3) 如图④,在直角梯形 ABCD 中,$∠ ADC=∠ BCD=90°$,对角线 AC,BD 交于点 F,延长 AB,DC 交于点 E,连结 EF 并延长,交梯形的上、下底于 G,H 两点,问:直线 GH 是不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线? 证明你的结论.
答案
10. （1）D是边AB的黄金分割点 因为$AB=AC$,$∠ A=36°$,所以$∠ B=∠ ACB=72°$.因为CD是$∠ ACB$的平分线,所以$∠ ACD=∠ BCD=36°$.所以$∠ CDB=180°-∠ BCD-∠ B=180°-36°-72°=72°$,$∠ A=∠ ACD=∠ BCD$.所以$∠ CDB=∠ B$,$AD=CD$.所以$CD=CB$.所以$BC=AD$.在$△ BCD$和$△ BAC$中,$∠ B=∠ B$,$∠ BCD=∠ A$,所以$△ BCD∽△ BAC$.所以$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$.所以$\frac{AD}{BA}=\frac{BD}{AD}$.所以D是边AB的黄金分割点
（2）直线CD是$△ ABC$的黄金分割线 设在$△ ABC$中,边AB上的高为$h$,则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· h$,$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AD· h$,$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BD· h$.所以$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}}=\frac{AD}{AB}$,$\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{AD}$.由(1)知,$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$.所以$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ACD}}$.所以直线CD是$△ ABC$的黄金分割线
（3）直线GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线 因为四边形ABCD是直角梯形,且$∠ ADC=∠ BCD=90°$,所以$BC// AD$.所以$△ EBG∽△ EAH$,$△ EGC∽△ EHD$.所以$\frac{BG}{AH}=\frac{EG}{EH}$,$\frac{GC}{HD}=\frac{EG}{EH}$.所以$\frac{BG}{AH}=\frac{GC}{HD}$,即$\frac{BG}{GC}=\frac{AH}{HD}$①.因为$BC// AD$,所以易得$△ BGF∽△ DHF$,$△ CGF∽△ AHF$.所以$\frac{BG}{DH}=\frac{GF}{HF}$,$\frac{GF}{HF}=\frac{CG}{AH}$.所以$\frac{BG}{DH}=\frac{CG}{AH}$,即$\frac{BG}{GC}=\frac{DH}{AH}$②.由①②,得$\frac{AH}{HD}=\frac{DH}{AH}$.所以$AH=HD$.所以$BG=GC$.所以梯形ABGH与梯形GCDH的上、下底分别相等,高也相等.所以$S_{梯形ABGH}=S_{梯形GCDH}=\frac{1}{2}S_{梯形ABCD}$.所以易得直线GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线
（2）直线CD是$△ ABC$的黄金分割线 设在$△ ABC$中,边AB上的高为$h$,则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· h$,$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AD· h$,$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BD· h$.所以$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}}=\frac{AD}{AB}$,$\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{AD}$.由(1)知,$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$.所以$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ACD}}$.所以直线CD是$△ ABC$的黄金分割线
（3）直线GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线 因为四边形ABCD是直角梯形,且$∠ ADC=∠ BCD=90°$,所以$BC// AD$.所以$△ EBG∽△ EAH$,$△ EGC∽△ EHD$.所以$\frac{BG}{AH}=\frac{EG}{EH}$,$\frac{GC}{HD}=\frac{EG}{EH}$.所以$\frac{BG}{AH}=\frac{GC}{HD}$,即$\frac{BG}{GC}=\frac{AH}{HD}$①.因为$BC// AD$,所以易得$△ BGF∽△ DHF$,$△ CGF∽△ AHF$.所以$\frac{BG}{DH}=\frac{GF}{HF}$,$\frac{GF}{HF}=\frac{CG}{AH}$.所以$\frac{BG}{DH}=\frac{CG}{AH}$,即$\frac{BG}{GC}=\frac{DH}{AH}$②.由①②,得$\frac{AH}{HD}=\frac{DH}{AH}$.所以$AH=HD$.所以$BG=GC$.所以梯形ABGH与梯形GCDH的上、下底分别相等,高也相等.所以$S_{梯形ABGH}=S_{梯形GCDH}=\frac{1}{2}S_{梯形ABCD}$.所以易得直线GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线
