4. 已知在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle B = \alpha$。
(1)如图①,当$\alpha = 30^{\circ}$时,过点$A作AD \perp AB交BC于D$,若$AD = 4\mathrm{cm}$,则$BC$的长为______$\mathrm{cm}$；
(2)如图②,当$\alpha = 45^{\circ}$时,过点$B作BD平分\angle ABC交AC于D$,过$C作CE \perp BD交BD的延长线于E$,求证：$BD = 2CE$；
(3)当$0^{\circ} \lt \alpha \lt 90^{\circ}$时,$AB = 4$,$BC = 5$,$BE为\angle ABC$的平分线,$CE \perp BE于E$,连接$AE$,若$S_{\triangle ABC} = m$,请直接写出$\triangle ACE$的面积。(用含$m$的式子表示)

(1)12
(2)延长 CE 与 BA 交于点 F，如图①. ∵∠ABC = 45°，AB = AC，∴∠BAC = 90°. ∵CE ⊥ BD，∴∠BAC = ∠DEC. ∵∠ADB = ∠CDE，∴∠ABD = ∠DCE，在△BAD 和△CAF 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BAD = ∠CAF,\\ AB = AC,\\ ∠ABD = ∠ACF,\end{array}\right.$ ∴△BAD ≌ △CAF(ASA)，∴BD = CF. ∵BD 平分∠ABC，CE ⊥ DB，∴∠FBE = ∠CBE，在△BEF 和△BEC 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠FBE = ∠CBE,\\ BE = BE,\\ ∠BEF = ∠BEC,\end{array}\right.$ ∴△BEF ≌ △BEC(ASA)，∴CE = EF，∴BD = 2CE.
　　　　　　 　　
(3)$S_{△ACE} = \frac{1}{8}m$. 解析：延长 CE 与 BA 交于点 F，作 CH ⊥ AB 于 H，如图②，由(2)可知△BEF ≌ △BEC，∴CE = FE，BC = BF = 5，∴$S_{△ACE} = S_{△AFE} = \frac{1}{2}S_{△ACF}$. 又∵AB = 4，∴AF = 1. ∵$S_{△ABC} = m$，即$\frac{1}{2}AB \cdot CH = m$，∴$CH = \frac{1}{2}m$，∴$S_{△ACF} = \frac{1}{2}AF \cdot CH = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2}m = \frac{1}{4}m$，∴$S_{△ACE} = \frac{1}{2}S_{△ACF} = \frac{1}{8}m$.

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AD \perp BC于D$,且$AB + BD = DC$,求$\angle C$的度数。(用截长法和补短法两种方法解答)

方法 1：(截长法)在 CD 上取点 E，使 DE = BD，连接 AE，则 CE = AB = AE，∴∠B = ∠AED = ∠C + ∠CAE = 2∠C. ∵∠BAC = 120°，∴∠B + ∠C = 2∠C + ∠C = 60°，∴∠C = 20°.
方法 2：(补短法)延长 DB 至点 F，使 BF = AB，连接 AF，则 AB + BD = DF = CD，∴AF = AC，∠C = ∠F = $\frac{1}{2}$∠ABC. ∵∠BAC = 120°，∴∠ABC + ∠C = ∠ABC + $\frac{1}{2}$∠ABC = 60°，∴∠ABC = 40°，∴∠C = 20°.
归纳总结
利用“截长补短法”构造等腰三角形：基本图形 1：如图①，在△ABC 中，∠C = 36°，CA = CB，∠1 = ∠2，则 CD = AD = AB. 基本图形 2：如图②，在△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC，∠1 = ∠2，DE ⊥ AB 于 E，则 AC = BC = AE.
　　　　　 　　　　　　

6. 在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 2\angle B$,$BC = 2AC$,求证：$\angle A = 90^{\circ}$。

如图①，在 BC 的延长线上截取 CH = AC，在 BC 上截取 CE = CA. ∵BC = 2AC，∴BE = CE = AC. ∵AC = CH，∴∠H = ∠CAH，∴∠ACB = ∠H + ∠CAH = 2∠H，且∠ACB = 2∠B，∴∠H = ∠B，∴AH = AB. 又 HC = BE，∴△AHC ≌ △ABE(SAS)，∴AE = AC，∴AE = AC = CE，∴△ACE 是等边三角形，∴∠ACB = 60°，∴∠B = 30°，∴∠BAC = 90°.
　　　　　 　　　　
一题多解
如图②，作∠ACB 的平分线 CD 交 AB 于 D，过点 D 作 DE ⊥ BC 于 E. ∵∠ACB = 2∠B，∴∠B = ∠BCD = $\frac{1}{2}$∠ACB，∴BD = CD，∴BE = CE = $\frac{1}{2}$BC. ∵BC = 2AC，∴AC = CE. 在△ACD 和△ECD 中，$\left\{\begin{array}{l} AC = EC,\\ ∠ACD = ∠ECD,\\ CD = CD,\end{array}\right.$ ∴△ACD ≌ △ECD(SAS)，∴∠A = ∠CED = 90°.