1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D在AB$上,$F在AC$的延长线上,且$BD = CF$,连接$DF交BC于点E$。求证：$DE = EF$。

过点 D 作 AF 的平行线交 BC 于点 G，∴∠ECF = ∠EGD，∠DGB = ∠ACB. ∵AB = AC，∴∠ABC = ∠ACB，∴∠ABC = ∠DGB，∴BD = DG. ∵BD = CF，∴DG = CF. 在△DGE 和△FCE 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠EGD = ∠ECF,\\ ∠DEG = ∠FEC,\\ DG = FC,\end{array}\right.$ ∴△DGE ≌ △FCE(AAS)，∴DE = EF.

2. 如图①,在等腰$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 45^{\circ}$,$BD \perp AC$,点$P为边AB$上一点(不与点$A$,点$B$重合),$PM \perp BC$,垂足为$M$,交$BD于点N$。
(1)请猜想$PN与BM$之间的数量关系,并证明；
(2)若点$P为边AB$延长线上一点,$PM \perp BC$,垂足为$M$,交$DB的延长线于点N$,请在图②中画出图形,并判断(1)中的结论是否成立。若成立,请证明；若不成立,请写出你的猜想并证明。

(1)PN = 2BM. 证明如下：如图①，作 PF // AC 交 BC 于点 F，交 BD 于点 E. ∵BD ⊥ AC，PF // AC，∴PF ⊥ BD，∠BPE = ∠A = 45°，∴∠BEP = 90°，∴∠BPE = ∠PBE = 45°，∴BE = PE. ∵PM ⊥ BC，∴∠PMB = ∠PEN = 90°. ∵∠BNM = ∠PNE，∴∠NPE = ∠EBF. ∵∠PEN = ∠BEF = 90°，∴△PEN ≌ △BEF(ASA)，∴PN = BF. ∵AB = AC，∴∠ABC = ∠C. ∵∠PFB = ∠C，∴∠ABC = ∠PFB，∴PB = PF. ∵PM ⊥ BF，∴BM = MF，∴PN = 2BM.
　　　　　　 　
(2)画出图形如图②，(1)中的结论成立. 理由：如图②，作 PF // AC 交 CB 的延长线于点 E，交 DB 的延长线于点 F. ∵∠ABD = ∠PBF = ∠BPF = 45°，∴BF = PF. ∵∠EBF = ∠EPM，∠EFB = ∠PFN = 90°，BF = PF，∴△BFE ≌ △PFN(ASA)，∴PN = BE. ∵∠E = ∠C = ∠ABC = ∠PBE，∴PE = PB. ∵PM ⊥ EB，∴EM = BM，∴PN = 2BM.

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$E$,$F分别在BD$,$AD$上,且$DE = CD$,$EF = AC$,求证：$EF // AB$。

过点 C 作 CM // EF，交 AD 的延长线于点 M，∴∠M = ∠EFD. ∵DE = CD，∠EDF = ∠CDM，∴△EDF ≌ △CDM(AAS)，∴EF = CM. ∵EF = AC，∴AC = CM，∴△ACM 为等腰三角形，∴∠DAC = ∠M. 又∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD = ∠DAC，∴∠EFD = ∠BAD，∴EF // AB.