19. [问题情境]
勾股定理是一条古老的数字定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积进行证明.著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理)”带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.


[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理.(用文字及符号语言叙述)
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以$a$,$b$为底,以$a+b$为高的直角梯形(如图2),请你利用图2,验证勾股定理.
[知识拓展]
利用图2中的直角梯形,我们可以证明$\frac{a+b}{c}＜\sqrt{2}$.其证明步骤如下:
$\because BC= a+b$,$AD= $______,且在直角梯形$ABCD$中,有$BC$______$AD$(填大小关系),
$\therefore$______.
$\therefore\frac{a+b}{c}＜\sqrt{2}$.

- 【定理表述】：如果直角三角形的两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，那么$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$a$，$b$为直角边，$c$为斜边，则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
【尝试证明】：通过证明$\angle AED = 90^{\circ}$，利用梯形面积的两种不同求法$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(a + b)^{2}$和$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$，得到$\frac{1}{2}(a + b)^{2}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$，化简后$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，从而验证勾股定理。
【知识拓展】：$\sqrt{2}c$；$\lt$；$a + b\lt\sqrt{2}c$。