20. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ}$,$AB＜BC$,点$D是AC$的中点,过点$D作DE\perp AC交BC于点E$,延长$ED至F$,使$DF= DE$,连接$AE$,$AF$,$CF$.
(1)求证:四边形$AECF$是菱形.
(2)若$BE= 1$,$EC= 4$,求$EF$的长.

(1) 证明过程如上述解析，证得四边形$AECF$是菱形。
(2) $EF$的长为$2\sqrt{6}$。

21. 已知$\triangle ABC$,$∠BAC= 90^{\circ}$,$AB= AC= 4$,$BD是AC$边上的中线,分别以$AC$,$AB所在直线为x$轴、$y$轴建立平面直角坐标系(如图).
(1)在$BD所在直线上找出一点P$,使四边形$ABCP$为平行四边形,画出这个平行四边形,并简要叙述其过程.
(2)求直线$BD$的函数关系式.
(3)直线$BD上是否存在点M$,使$\triangle AMC是以∠A$为顶角的等腰三角形?若存在,求点$M$的坐标;若不存在,说明理由.

- $(1)$ 过点$C$作$AB$的平行线（即垂直于$x$轴的直线），在这条直线上截取$CP = AB$，连接$AP$，则四边形$ABCP$为所求平行四边形，$P(4,4)$。
- $(2)$ 直线$BD$的函数关系式为$\boldsymbol{y=-2x + 4}$。
- $(3)$ 存在，点$M$的坐标为$\boldsymbol{(0,4)}$或$\boldsymbol{(\frac{16}{5},-\frac{12}{5})}$。