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5. (教材改编题)已知集合A = {x∈N|x ≤ 1},B = {-1,0,1,2},则A∩B的子集个数为 。
答案
4 因为A={x∈N|x≤1}={0,1},B={−1,0,1,2},所以A∩B={0,1},有2个元素，所以A∩B的子集个数为2²=4.
6. (教材改编题)设集合A = {a,b},B = {a + 1,6},且A∩B = {1},则A∪B的子集个数为 。
答案
6.8 因为集合A={a,b},B={a+1,6},且A∩B={1},所以a+1=1,解得a=0,所以集合A中的b=1,所以集合A={0,1},B={1,6},所以A∪B={0,1,6},有3个元素，所以A∪B的子集个数为2³=8.
7. 已知集合A = {x|-1 ＜ x ＜ 3},集合B = {x|2k ＜ x ＜ 3 + k}。
(1) 当k = -1时,求A∩B；
(2) 若A∩B是空集,求实数k的取值范围。
(1) 当k = -1时,求A∩B；
(2) 若A∩B是空集,求实数k的取值范围。
答案
解:(1)由题意,得当k=−1时,集合B={x|−2＜x＜2},所以A∩B={x|−1＜x＜2}.
(2)当A∩B是空集时，分两种情况讨论:
①当集合B=∅时,2k≥3+k,解得k≥3;
②当集合B≠∅时,k＜3,要使A∩B是空集，则需满足3+k≤−1或2k≥3,解得k≤−4或$\frac{3}{2}$≤k＜3.
综上，实数k的取值范围为{k|k≤−4或k≥$\frac{3}{2}$}.
(2)当A∩B是空集时，分两种情况讨论:
①当集合B=∅时,2k≥3+k,解得k≥3;
②当集合B≠∅时,k＜3,要使A∩B是空集，则需满足3+k≤−1或2k≥3,解得k≤−4或$\frac{3}{2}$≤k＜3.
综上，实数k的取值范围为{k|k≤−4或k≥$\frac{3}{2}$}.
8. 图中阴影部分用集合符号可以表示为 。(写出一个即可)
答案
(A∩B)∪(B∩C)(答案不唯一) 由题图中的阴影部分可知，阴影部分为集合A,B的交集和B,C的交集的并集，故阴影部分可以表示为(A∩B)∪(B∩C)或B∩(A∪C).
9. 已知集合$A = {x|x^2 + px - 2 = 0},B = {x|x^2 - 2x + q = 0},$且A∪B = {-1,0,2},则p + q的值为 。
答案
9.−1 由题意,知方程x²+px−2=0,x²−2x+q=0均有实数根.设方程x²+px−2=0的根为x₁,x₂,方程x²−2x+q=0的根为x₃,x₄.易得x₁,x₂,x₃,x₄∈{−1,0,2},且{x₁+x₂=−p,x₁x₂=−2,{x₃+x₄=2,x₃x₄=q.分析可知方程x²+px−2=0的根为−1,2,方程x²−2x+q=0的根为0,2,即A={−1,2},B={0,2},满足A∪B={−1,0,2},符合题意,所以{x₁+x₂=−p=1,x₃x₄=q=0,所以p+q=−1.
10. 已知集合A = {x∈Z|x^2 ＜ 3},B = {x|a ＜ x ＜ a + $\frac{3}{2}$}。若A∩B中有两个元素,则实数a的取值范围是 。
答案
10.{a|−$\frac{3}{2}$＜a＜−1或−$\frac{1}{2}$＜a＜0} A={x∈Z|x²＜3}={−1,0,1},B={x|a＜x＜a+$\frac{3}{2}$}.
因为A∩B中有两个元素，所以{a＜−1,0＜a+$\frac{3}{2}$≤1或{−1≤a＜0,a+$\frac{3}{2}$＞1,解得−$\frac{3}{2}$＜a＜−1或−$\frac{1}{2}$＜a＜0}.
所以实数a的取值范围是{a|−$\frac{3}{2}$＜a＜−1或−$\frac{1}{2}$＜a＜0}.
因为A∩B中有两个元素，所以{a＜−1,0＜a+$\frac{3}{2}$≤1或{−1≤a＜0,a+$\frac{3}{2}$＞1,解得−$\frac{3}{2}$＜a＜−1或−$\frac{1}{2}$＜a＜0}.
所以实数a的取值范围是{a|−$\frac{3}{2}$＜a＜−1或−$\frac{1}{2}$＜a＜0}.
11. 设集合$A = {x|x^2 - 4 = 0},B = {x|x^2 + 2(a + 1)x + a^2 - 5 = 0}。$
(1) 若A∩B = {-2},求实数a的值；
(2) 若A∪B = A,求实数a的取值范围。
(提示：(1)首先根据A∩B = {-2}得到-2∈B,将-2代入B中的方程即可求得a的值,然后注意取舍,判断是否满足A∩B = {-2}。(2)首先根据A∪B = A得到B⊆A,然后进行分类讨论：①Δ ＜ 0；②Δ = 0；③Δ ＞ 0。分别求得a的范围或值,并进行判断取舍)
(1) 若A∩B = {-2},求实数a的值；
(2) 若A∪B = A,求实数a的取值范围。
(提示：(1)首先根据A∩B = {-2}得到-2∈B,将-2代入B中的方程即可求得a的值,然后注意取舍,判断是否满足A∩B = {-2}。(2)首先根据A∪B = A得到B⊆A,然后进行分类讨论：①Δ ＜ 0；②Δ = 0；③Δ ＞ 0。分别求得a的范围或值,并进行判断取舍)
答案
11.解:(1)由题意,得集合A={−2,2}.
∵A∩B={−2},
∴−2∈B,即4−4(a+1)+a²−5=0,解得a=−1或a=5.
当a=−1时,B={−2,2},A∩B={−2,2},不符合题意，舍去,∴a=5,∴实数a的值为5.
(2)∵A∪B=A={−2,2},∴B⊆A.分以下三种情况讨论:
①当Δ=4(a+1)²−4(a²−5)＜0,即a＜−3时,B=∅,符合题意;
②当Δ=0,即a=−3时,B={2},符合题意;
③当Δ＞0,即a＞−3时,易得B={−2,2},则{−2(a+1)=0,a²−5=−4,解得a=−1.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤−3或a=−1}.
∵A∩B={−2},
∴−2∈B,即4−4(a+1)+a²−5=0,解得a=−1或a=5.
当a=−1时,B={−2,2},A∩B={−2,2},不符合题意，舍去,∴a=5,∴实数a的值为5.
(2)∵A∪B=A={−2,2},∴B⊆A.分以下三种情况讨论:
①当Δ=4(a+1)²−4(a²−5)＜0,即a＜−3时,B=∅,符合题意;
②当Δ=0,即a=−3时,B={2},符合题意;
③当Δ＞0,即a＞−3时,易得B={−2,2},则{−2(a+1)=0,a²−5=−4,解得a=−1.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤−3或a=−1}.
