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例1 分解因式：$a^2 - 2a + 1 =$
$(a - 1)^2$
.答案
1. 解析 $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$，故答案为：$(a - 1)^2$。本题直接利用完全平方公式进行因式分解即可。本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键。
解析
【分析】
首先观察待分解的多项式，它是一个三项式，先判断是否符合乘法公式的结构特征：完全平方公式的形式为$x^2\pm 2xy + y^2=(x\pm y)^2$。本题中首项是$a^2$（相当于公式里的$x^2$），末项是$1=1^2$（相当于公式里的$y^2$），中间项$-2a=-2× a×1$，完全符合完全平方差公式的结构，因此可以直接套用公式完成因式分解。
【解析】
解：根据完全平方差公式$x^2 - 2xy + y^2=(x - y)^2$，将多项式中的$x$替换为$a$，$y$替换为$1$，可得：
$a^2 - 2a + 1 = a^2 - 2× a×1 + 1^2 = (a - 1)^2$
【答案】
$(a - 1)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心是识别出多项式符合完全平方公式的结构特征，解题的关键是熟练掌握常见因式分解公式的形式，注意因式分解的结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.9
首先观察待分解的多项式，它是一个三项式，先判断是否符合乘法公式的结构特征：完全平方公式的形式为$x^2\pm 2xy + y^2=(x\pm y)^2$。本题中首项是$a^2$（相当于公式里的$x^2$），末项是$1=1^2$（相当于公式里的$y^2$），中间项$-2a=-2× a×1$，完全符合完全平方差公式的结构，因此可以直接套用公式完成因式分解。
【解析】
解：根据完全平方差公式$x^2 - 2xy + y^2=(x - y)^2$，将多项式中的$x$替换为$a$，$y$替换为$1$，可得：
$a^2 - 2a + 1 = a^2 - 2× a×1 + 1^2 = (a - 1)^2$
【答案】
$(a - 1)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心是识别出多项式符合完全平方公式的结构特征，解题的关键是熟练掌握常见因式分解公式的形式，注意因式分解的结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.9
例2 分解因式：$2a^2 - 4a + 2 =$
$2(a - 1)^2$
.答案
1. 解析 先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可.
原式$=2(a^2 - 2a + 1)=2(a - 1)^2$.
故答案为：$2(a - 1)^2$.
原式$=2(a^2 - 2a + 1)=2(a - 1)^2$.
故答案为：$2(a - 1)^2$.
解析
【分析】
解决分解因式类题目遵循“一提二套三查”的思路即可：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中各项系数的最大公约数是2，无其他公因式，因此先提取公因式2；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，发现$a^2 - 2a + 1$符合完全平方公式的结构特征，因此套用完全平方公式继续分解；第三步确认分解结果不能再分解即可。
【解析】
第一步：提取公因式2：
$2a^2 - 4a + 2 = 2(a^2 - 2a + 1)$
第二步：对括号内的多项式套用完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$，此处$b=1$，可得：
$a^2 - 2a +1=(a-1)^2$
因此原式最终分解结果为$2(a-1)^2$。
【答案】
$2(a - 1)^2$
【知识点】
提取公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的常规基础题型，核心考查分解因式的基本步骤，解题时需注意先提取公因式再套用公式，同时要确认最终结果分解彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.8
解决分解因式类题目遵循“一提二套三查”的思路即可：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中各项系数的最大公约数是2，无其他公因式，因此先提取公因式2；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，发现$a^2 - 2a + 1$符合完全平方公式的结构特征，因此套用完全平方公式继续分解；第三步确认分解结果不能再分解即可。
【解析】
第一步：提取公因式2：
$2a^2 - 4a + 2 = 2(a^2 - 2a + 1)$
第二步：对括号内的多项式套用完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$，此处$b=1$，可得：
$a^2 - 2a +1=(a-1)^2$
因此原式最终分解结果为$2(a-1)^2$。
【答案】
$2(a - 1)^2$
【知识点】
提取公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的常规基础题型，核心考查分解因式的基本步骤，解题时需注意先提取公因式再套用公式，同时要确认最终结果分解彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.8
例3 若$k$为任意整数，则$(2k+3)^2 -4k^2$的值总能（
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
B
）.A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
答案
1. 解析 本题考查了因式分解的应用，能求出$(2k+3)^2 -4k^2=3(4k+3)$是解此题的关键。
$(2k+3)^2 -4k^2$
$=4k^2+12k+9-4k^2$
$=12k+9$
$=3(4k+3)$。
$\because k$为任意整数，
$\therefore (2k+3)^2 -4k^2$的值总能被3整除，
故选B。
$(2k+3)^2 -4k^2$
$=4k^2+12k+9-4k^2$
$=12k+9$
$=3(4k+3)$。
$\because k$为任意整数，
$\therefore (2k+3)^2 -4k^2$的值总能被3整除，
故选B。
解析
【分析】
要判断代数式$(2k+3)^2 -4k^2$总能被哪个整数整除，核心思路是先对该代数式进行化简：先通过完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式将其转化为几个整式乘积的形式，观察其中固定的正整数因数，若代数式是该固定正整数与任意整数的乘积，就说明它总能被这个固定正整数整除。
【解析】
对代数式进行化简：
$\begin{aligned}(2k+3)^2 -4k^2&=4k^2+12k+9-4k^2\\&=12k+9\\&=3(4k+3)\end{aligned}$
∵k为任意整数，
∴$4k+3$也为整数，即$(2k+3)^2 -4k^2$是3的整数倍，因此它的值总能被3整除。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
整式化简，因式分解的应用，整除判定
【点评】
本题属于整式运算应用的基础常考题，解题的关键是正确化简代数式，将其转化为固定因数与整数相乘的形式，即可快速判断整除性。
【难度系数】
0.8
要判断代数式$(2k+3)^2 -4k^2$总能被哪个整数整除，核心思路是先对该代数式进行化简：先通过完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式将其转化为几个整式乘积的形式，观察其中固定的正整数因数，若代数式是该固定正整数与任意整数的乘积，就说明它总能被这个固定正整数整除。
【解析】
对代数式进行化简：
$\begin{aligned}(2k+3)^2 -4k^2&=4k^2+12k+9-4k^2\\&=12k+9\\&=3(4k+3)\end{aligned}$
∵k为任意整数，
∴$4k+3$也为整数，即$(2k+3)^2 -4k^2$是3的整数倍，因此它的值总能被3整除。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
整式化简，因式分解的应用，整除判定
【点评】
本题属于整式运算应用的基础常考题，解题的关键是正确化简代数式，将其转化为固定因数与整数相乘的形式，即可快速判断整除性。
【难度系数】
0.8
分解因式：$a^2 - ab =$
$a(a-b)$
.答案
1. $a(a-b)$
解析
【分析】
要对多项式进行因式分解，首先观察多项式的项数和特征：该多项式有两项，两项都含有公共的因式a，因此优先选用提公因式法分解。解题步骤为：第一步确定公因式，第二步提取公因式得到分解结果，最后可通过整式乘法验证结果是否正确。
【解析】
步骤1：确定公因式
观察多项式$a^2 - ab$的两项：
系数的最大公约数为1；
两项都含有的相同字母是a，a的最低次幂是1次；
因此公因式为$a$。
步骤2：提取公因式
将多项式的每一项都除以公因式$a$，分别得到$a$和$-b$，因此：
$a^2 - ab = a(a - b)$
验证：将$a(a - b)$展开得$a^2 - ab$，与原式一致，分解正确。
【答案】
$a(a-b)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后可通过整式乘法反向验证结果的正确性。
【难度系数】
0.9
要对多项式进行因式分解，首先观察多项式的项数和特征：该多项式有两项，两项都含有公共的因式a，因此优先选用提公因式法分解。解题步骤为：第一步确定公因式，第二步提取公因式得到分解结果，最后可通过整式乘法验证结果是否正确。
【解析】
步骤1：确定公因式
观察多项式$a^2 - ab$的两项：
系数的最大公约数为1；
两项都含有的相同字母是a，a的最低次幂是1次；
因此公因式为$a$。
步骤2：提取公因式
将多项式的每一项都除以公因式$a$，分别得到$a$和$-b$，因此：
$a^2 - ab = a(a - b)$
验证：将$a(a - b)$展开得$a^2 - ab$，与原式一致，分解正确。
【答案】
$a(a-b)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后可通过整式乘法反向验证结果的正确性。
【难度系数】
0.9
分解因式：$x^3 - 49x =$
答案
1. $x(x+7)(x-7)$
解析
【分析】
首先观察多项式的结构，发现两项中都含有公因式x，因此第一步先提取公因式x；提取公因式后得到的因式$x^2-49$符合平方差公式的形式，即两个数的平方差，因此第二步可以利用平方差公式继续分解，直到每一个因式都不能再分解为止。
【解析】
第一步：提取公因式x，可得：
$x^3 - 49x = x(x^2 - 49)$
第二步：对$x^2 - 49$运用平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=7$，继续分解：
$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$
因此原式最终分解结果为$x(x+7)(x-7)$。
【答案】
$x(x+7)(x-7)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规操作，解题时需遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再套用合适的公式，最后检查是否分解彻底，是因式分解模块的基础题型。
【难度系数】
0.85
首先观察多项式的结构，发现两项中都含有公因式x，因此第一步先提取公因式x；提取公因式后得到的因式$x^2-49$符合平方差公式的形式，即两个数的平方差，因此第二步可以利用平方差公式继续分解，直到每一个因式都不能再分解为止。
【解析】
第一步：提取公因式x，可得：
$x^3 - 49x = x(x^2 - 49)$
第二步：对$x^2 - 49$运用平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=7$，继续分解：
$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$
因此原式最终分解结果为$x(x+7)(x-7)$。
【答案】
$x(x+7)(x-7)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规操作，解题时需遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再套用合适的公式，最后检查是否分解彻底，是因式分解模块的基础题型。
【难度系数】
0.85
已知实数a，b满足$a + b = 2$，则$a^2 - b^2 + 4b =$ .
答案
1. 4
解析
【分析】
已知$a+b=2$，待求式中含有$a^2-b^2$，可先利用平方差公式对$a^2-b^2$因式分解，再将$a+b=2$整体代入化简，最后整理式子即可求出结果；也可以通过用$b$表示$a$，代入待求式消元计算。
【解析】
方法一：因式分解+整体代入法
1. 根据平方差公式可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入原式得：
$a^2 - b^2 +4b=(a+b)(a-b)+4b$
2. 将已知$a+b=2$代入上式：
原式$=2(a-b)+4b$
3. 去括号、合并同类项：
原式$=2a - 2b +4b=2a +2b$
4. 提取公因式后再次整体代入$a+b=2$：
原式$=2(a+b)=2×2=4$
方法二：代入消元法
1. 由$a+b=2$得$a=2-b$，代入待求式：
原式$=(2-b)^2 - b^2 +4b$
2. 展开、合并同类项计算：
原式$=4 -4b +b^2 -b^2 +4b=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，整式化简求值，整体代入
【点评】
本题考查整式的化简求值，既可以通过因式分解结合整体代入思想快速求解，也可以用代入消元的方法计算，侧重对基础公式和解题思想的灵活运用。
【难度系数】
0.8
已知$a+b=2$，待求式中含有$a^2-b^2$，可先利用平方差公式对$a^2-b^2$因式分解，再将$a+b=2$整体代入化简，最后整理式子即可求出结果；也可以通过用$b$表示$a$，代入待求式消元计算。
【解析】
方法一：因式分解+整体代入法
1. 根据平方差公式可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入原式得：
$a^2 - b^2 +4b=(a+b)(a-b)+4b$
2. 将已知$a+b=2$代入上式：
原式$=2(a-b)+4b$
3. 去括号、合并同类项：
原式$=2a - 2b +4b=2a +2b$
4. 提取公因式后再次整体代入$a+b=2$：
原式$=2(a+b)=2×2=4$
方法二：代入消元法
1. 由$a+b=2$得$a=2-b$，代入待求式：
原式$=(2-b)^2 - b^2 +4b$
2. 展开、合并同类项计算：
原式$=4 -4b +b^2 -b^2 +4b=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，整式化简求值，整体代入
【点评】
本题考查整式的化简求值，既可以通过因式分解结合整体代入思想快速求解，也可以用代入消元的方法计算，侧重对基础公式和解题思想的灵活运用。
【难度系数】
0.8
