等腰三角形的判定方法
1. 有相等的三角形是等腰三角形.
2. 有两个角的三角形是等腰三角形（简写成“”）.

解：
1. 两条边
2. 相等；等角对等边

【分析】
本题考查等腰三角形判定的基础概念，解题时只需回忆教材中关于等腰三角形的定义和判定定理内容即可对应填空。第1问对应等腰三角形的原始定义，第2问对应等腰三角形的角判定定理，属于识记类题目，直接对应知识点内容填写即可。
【解析】
1. 根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，因此第一空填“两条边”。
2. 根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，该结论简写成“等角对等边”，因此后两空依次填“相等”“等角对等边”。
【答案】
1. 两条边
2. 相等；等角对等边
【知识点】
等腰三角形的定义；等腰三角形的判定定理
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查对等腰三角形判定相关核心概念的记忆，是后续解决等腰三角形证明、计算类问题的基础，只要牢固掌握教材基础知识点即可轻松得分。
【难度系数】
0.9

【例题】如图,已知在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BP$,$CQ$是$△ ABC$两腰上的高,$BP$与$CQ$交于点$O$.求证:$△ BCO$是等腰三角形.

证明：
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB（等边对等角）。
∵ BP、CQ 是△ABC 两腰上的高，
∴ ∠BQC = ∠CPB = 90°，
∴ ∠OBC + ∠ACB = 90°，∠OCB + ∠ABC = 90°。
又∵ ∠ABC = ∠ACB，
∴ ∠OBC = ∠OCB（等角的余角相等），
∴ OB = OC（等角对等边），
∴ △BCO 是等腰三角形。

【分析】
要证明△BCO是等腰三角形，可优先通过证明它的两个内角相等推导。首先从已知条件入手：由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得底角∠ABC=∠ACB；再结合BP、CQ是两腰上的高，可得两个直角∠BQC=∠CPB=90°，由此可知∠OBC与∠ACB互余、∠OCB与∠ABC互余，根据等角的余角相等就能推出∠OBC=∠OCB，进而根据等角对等边得到OB=OC，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB（等边对等角）。
∵ BP、CQ 是△ABC 两腰上的高，
∴ ∠BQC = ∠CPB = 90°，
∴ ∠OBC + ∠ACB = 90°，∠OCB + ∠ABC = 90°。
又
∵ ∠ABC = ∠ACB，
∴ ∠OBC = ∠OCB（等角的余角相等），
∴ OB = OC（等角对等边），
∴ △BCO 是等腰三角形。
【答案】
△BCO是等腰三角形，证明过程如上。
【知识点】
等腰三角形的性质；等角的余角相等；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心考查等腰三角形性质和判定的综合运用，解题关键是结合已知等腰三角形的底角相等、高线的直角特征，通过余角的性质推导待证三角形的内角相等，能帮助学生巩固等腰三角形相关的基础定理，熟悉等腰三角形判定的常用思路。
【难度系数】
0.8

【变式】如图,一艘轮船在近海处由南向北航行,点C是灯塔,轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°方向上,轮船又从A向北航行30 n mile到达B处,测得灯塔在其北偏西76°方向上.
(1)求∠ACB的度数;
(2)轮船在B处时,到灯塔C的距离是多少?

解：
(1) 由题意可知，∠ABC的外角为76°，∠A = 38°，
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
可得∠ACB = 76° - ∠A = 76° - 38° = 38°。
(2) ∵ ∠ACB = ∠A = 38°，
∴ BC = AB（等角对等边），
又∵ AB = 30 n mile，
∴ BC = 30 n mile。
答：轮船在B处时，到灯塔C的距离是30 n mile。

【分析】
对于(1)问，首先明确已知方位角的含义：∠A=38°，B处的76°角是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，已知外角和其中一个不相邻的内角，作差即可求出∠ACB的度数。对于(2)问，求出∠ACB后可发现它与∠A度数相等，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，就能得到BC与AB的长度关系，结合已知AB的长度即可求出B到灯塔C的距离。
【解析】
(1) 由题意可知，∠A=38°，B点测得的北偏西76°角是△ABC的外角。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ ACB + ∠ A = 76°$
$\therefore ∠ ACB = 76° - ∠ A = 76° - 38° = 38°$
(2) 由(1)得$∠ ACB = 38°$，即$∠ ACB = ∠ A = 38°$
根据等角对等边，可得$BC = AB$
已知$AB = 30\ \mathrm{n mile}$，因此$BC = 30\ \mathrm{n mile}$
【答案】
(1) $∠ ACB = 38°$；(2) 轮船在B处时到灯塔C的距离是$30\ \mathrm{n mile}$
【知识点】
三角形外角性质，等腰三角形的判定，方位角应用
【点评】
本题结合航行的实际场景考查基础几何性质的应用，解题关键是准确识别三角形外角和内角的对应关系，再利用等角对等边得到边的等量关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8

1. 下列三角形中,等腰三角形的个数是().


A.4
B.3
C.2
D.1

B

【分析】
要判断等腰三角形的个数，首先明确等腰三角形的两种判定方法：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个内角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。我们只需要逐个分析四个三角形是否满足上述任意一个判定条件即可。对于只给出内角的三角形，先利用三角形内角和为180°计算出第三个内角，再判断是否有相等的角。
【解析】
我们逐个判断每个三角形：
1. 第一个三角形：有两条边长均为5，满足“两边相等的三角形是等腰三角形”，因此是等腰三角形；
2. 第二个三角形：已知两个内角为50°和35°，第三个内角为$180° - 50° - 35° = 95°$，三个内角均不相等，三条边也没有相等的，因此不是等腰三角形；
3. 第三个三角形：已知两个内角为100°和40°，第三个内角为$180° - 100° - 40° = 40°$，有两个内角为40°，根据“等角对等边”，可知是等腰三角形；
4. 第四个三角形：已知两个内角为90°和45°，第三个内角为$180° - 90° - 45° = 45°$，有两个内角为45°，根据“等角对等边”，可知是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有3个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题时结合三角形内角和定理求出未知角是关键，属于基础题型，熟练掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=3,则AC的长为().


A.2
B.3
C.4
D.5

B

【分析】
首先读取题目已知条件：在△ABC中，∠B=∠C，AB=3，要求AC的长度。我们可以回忆等腰三角形的判定定理：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）。先确定∠B和∠C对应的对边：∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，因此可以得到AC=AB，代入AB的长度即可求出AC的长。
【解析】
在△ABC中，
∵∠B=∠C，
∴根据“等角对等边”的判定结论可得：AC=AB，
又
∵已知AB=3，
∴AC=3，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；等角对等边
【点评】
本题属于基础题，直接考查等腰三角形判定定理的应用，只需找准等角对应的对边即可快速求解，主要考查对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.9

3. 在$△ ABC$中，$∠ A=100°$，当$∠ B=\_\_\_\_\_\_°$时，$△ ABC$是等腰三角形。

$\boldsymbol{40}$

【分析】
要解决这道题，我们需要结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理来推导：首先等腰三角形的两个底角相等，且三角形三个内角和为180°。已知∠A=100°属于钝角，而一个三角形中最多只能有1个钝角，因此可以确定100°的角只能是等腰三角形的顶角，剩下的∠B和∠C是相等的两个底角，代入内角和公式即可算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，∠A=100°
又
∵三角形内角和为180°，且一个三角形中最多存在1个钝角
∴∠A只能是等腰三角形的顶角，∠B和∠C为相等的底角
∴$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-100°)÷2=40°$
【答案】
$40$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的基础题型，解题的核心是明确钝角只能作为等腰三角形的顶角，避免忽略三角形内角和的限制错误推出多解。
【难度系数】
0.7