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4. 如图,在$△ ABC$中,$DE$垂直平分$AB$,$DF$垂直平分$AC$.求证:$△ DBC$是等腰三角形.
答案
证明：
∵ DE垂直平分AB，
∴ DB = DA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵ DF垂直平分AC，
∴ DC = DA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴ DB = DC。
∴ △DBC是等腰三角形。
∵ DE垂直平分AB，
∴ DB = DA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵ DF垂直平分AC，
∴ DC = DA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴ DB = DC。
∴ △DBC是等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△DBC是等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等，即DB=DC。首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知点D在AB的垂直平分线DE上，也在AC的垂直平分线DF上，可先分别推出DB与DA相等、DC与DA相等，再通过等量代换得到DB=DC，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ DE垂直平分AB，
∴ DB = DA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵ DF垂直平分AC，
∴ DC = DA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴ DB = DC，
∴ △DBC是等腰三角形。
【答案】
证明：
∵ DE垂直平分AB，
∴ DB = DA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵ DF垂直平分AC，
∴ DC = DA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴ DB = DC，
∴ △DBC是等腰三角形。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，侧重考查核心性质的直接应用，解题关键是找准线段垂直平分线上的点，利用性质得到相等线段，通过等量代换推导得到待证结论，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
要证明△DBC是等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等，即DB=DC。首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知点D在AB的垂直平分线DE上，也在AC的垂直平分线DF上，可先分别推出DB与DA相等、DC与DA相等，再通过等量代换得到DB=DC，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ DE垂直平分AB，
∴ DB = DA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵ DF垂直平分AC，
∴ DC = DA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴ DB = DC，
∴ △DBC是等腰三角形。
【答案】
证明：
∵ DE垂直平分AB，
∴ DB = DA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵ DF垂直平分AC，
∴ DC = DA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴ DB = DC，
∴ △DBC是等腰三角形。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，侧重考查核心性质的直接应用，解题关键是找准线段垂直平分线上的点，利用性质得到相等线段，通过等量代换推导得到待证结论，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
1. (2025 昆明五华区期中)下列条件中,不能判定$△ ABC$是等腰三角形的是().
A.$a=3,b=3,c=4$
B.$a:b:c=2:3:4$
C.$∠ B=50°,∠ C=80°$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$
A.$a=3,b=3,c=4$
B.$a:b:c=2:3:4$
C.$∠ B=50°,∠ C=80°$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$
答案
B
解析
【分析】
要判断能否判定△ABC是等腰三角形，核心依据是等腰三角形的判定条件：①有两条边长度相等的三角形是等腰三角形；②有两个内角相等的三角形是等腰三角形。解题时只需对每个选项逐一验证是否满足上述两个条件之一即可，不满足的即为正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知a=3，b=3，即a=b，三角形有两条边相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意，排除；
B选项：边长比a:b:c=2:3:4，说明三条边的长度均不相等，因此不存在相等的边，也不存在相等的内角，不能判定△ABC是等腰三角形，符合题意；
C选项：根据三角形内角和为180°，可得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°，即∠A=∠B，有两个内角相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意，排除；
D选项：设∠A=x，∠B=x，∠C=2x，根据内角和定理得x+x+2x=180°，解得x=45°，即∠A=∠B=45°，有两个内角相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意，排除。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类考题，解题时只要熟练掌握等腰三角形的两种判定方法，结合三角形内角和定理逐一验证选项即可快速得出答案，注意做题时要细心计算角度、比对边长关系，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
要判断能否判定△ABC是等腰三角形，核心依据是等腰三角形的判定条件：①有两条边长度相等的三角形是等腰三角形；②有两个内角相等的三角形是等腰三角形。解题时只需对每个选项逐一验证是否满足上述两个条件之一即可，不满足的即为正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知a=3，b=3，即a=b，三角形有两条边相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意，排除；
B选项：边长比a:b:c=2:3:4，说明三条边的长度均不相等，因此不存在相等的边，也不存在相等的内角，不能判定△ABC是等腰三角形，符合题意；
C选项：根据三角形内角和为180°，可得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°，即∠A=∠B，有两个内角相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意，排除；
D选项：设∠A=x，∠B=x，∠C=2x，根据内角和定理得x+x+2x=180°，解得x=45°，即∠A=∠B=45°，有两个内角相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意，排除。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类考题，解题时只要熟练掌握等腰三角形的两种判定方法，结合三角形内角和定理逐一验证选项即可快速得出答案，注意做题时要细心计算角度、比对边长关系，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$∠ B=∠ C=36°$, $∠ ADE=∠ AED=72°$, 则图中的等腰三角形有().
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是利用等腰三角形“等角对等边”的判定定理，先结合已知角的度数，借助三角形内角和为180°、邻补角和为180°的性质，算出图中所有三角形的各个内角度数，再按顺序逐个判断是否为等腰三角形，避免漏数或重复计数。
【解析】
已知点B、D、E、C在同一直线上，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，逐个分析三角形：
1. △ABC：∠B=∠C=36°，满足等角对等边，是等腰三角形；
2. △ADE：∠ADE=∠AED=72°，满足等角对等边，是等腰三角形；
3. △ABD：∠ADB=180°-∠ADE=108°，由三角形内角和得∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-36°-108°=36°，所以∠BAD=∠B，满足等角对等边，是等腰三角形；
4. △AEC：∠AEC=180°-∠AED=108°，由三角形内角和得∠EAC=180°-∠C-∠AEC=180°-36°-108°=36°，所以∠EAC=∠C，满足等角对等边，是等腰三角形；
5. △ABE：∠AEB=∠AED=72°，由三角形内角和得∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-36°-72°=72°，所以∠BAE=∠AEB，满足等角对等边，是等腰三角形；
6. △ADC：∠ADC=∠ADE=72°，由三角形内角和得∠DAC=180°-∠C-∠ADC=180°-36°-72°=72°，所以∠DAC=∠ADC，满足等角对等边，是等腰三角形。
综上，共有6个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是有序排查所有三角形，通过计算内角度数判断是否存在等角，注意不要漏数大三角形和由小三角形组合成的三角形，掌握角度计算相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.6
解题的核心是利用等腰三角形“等角对等边”的判定定理，先结合已知角的度数，借助三角形内角和为180°、邻补角和为180°的性质，算出图中所有三角形的各个内角度数，再按顺序逐个判断是否为等腰三角形，避免漏数或重复计数。
【解析】
已知点B、D、E、C在同一直线上，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，逐个分析三角形：
1. △ABC：∠B=∠C=36°，满足等角对等边，是等腰三角形；
2. △ADE：∠ADE=∠AED=72°，满足等角对等边，是等腰三角形；
3. △ABD：∠ADB=180°-∠ADE=108°，由三角形内角和得∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-36°-108°=36°，所以∠BAD=∠B，满足等角对等边，是等腰三角形；
4. △AEC：∠AEC=180°-∠AED=108°，由三角形内角和得∠EAC=180°-∠C-∠AEC=180°-36°-108°=36°，所以∠EAC=∠C，满足等角对等边，是等腰三角形；
5. △ABE：∠AEB=∠AED=72°，由三角形内角和得∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-36°-72°=72°，所以∠BAE=∠AEB，满足等角对等边，是等腰三角形；
6. △ADC：∠ADC=∠ADE=72°，由三角形内角和得∠DAC=180°-∠C-∠ADC=180°-36°-72°=72°，所以∠DAC=∠ADC，满足等角对等边，是等腰三角形。
综上，共有6个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是有序排查所有三角形，通过计算内角度数判断是否存在等角，注意不要漏数大三角形和由小三角形组合成的三角形，掌握角度计算相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.6
3. (2025昆明官渡区期中)如图,在△ABC中,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,过点D作直线EF平行于BC,分别交AB,AC于点E,F,若BE=4,CF=6,则线段EF的长为().
A.4
B.6
C.8
D.10
A.4
B.6
C.8
D.10
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：存在角平分线和平行线，这两个条件组合是等腰三角形的典型判定模型。首先利用角平分线的定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等性质做等量代换得到等角，进而判定等腰三角形、得到相等的线段，最后将EF拆分为两条线段的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∵EF//BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，根据等角对等边，得ED=BE=4。
同理，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠BCD，
∵EF//BC，
∴∠FDC=∠BCD，
∴∠FCD=∠FDC，根据等角对等边，得FD=CF=6。
∴EF=ED+FD=4+6=10。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的综合应用，核心是掌握“角平分线+平行线”构造等腰三角形的常见模型，熟练运用相关性质和判定即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：存在角平分线和平行线，这两个条件组合是等腰三角形的典型判定模型。首先利用角平分线的定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等性质做等量代换得到等角，进而判定等腰三角形、得到相等的线段，最后将EF拆分为两条线段的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∵EF//BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，根据等角对等边，得ED=BE=4。
同理，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠BCD，
∵EF//BC，
∴∠FDC=∠BCD，
∴∠FCD=∠FDC，根据等角对等边，得FD=CF=6。
∴EF=ED+FD=4+6=10。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的综合应用，核心是掌握“角平分线+平行线”构造等腰三角形的常见模型，熟练运用相关性质和判定即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,$AC=8\ \mathrm{cm}$,点$E$为$BC$上一点,连接$AE$,且$∠ C = ∠ EAC$.若$△ ABE$的周长为$12\ \mathrm{cm}$,则$△ ABC$的周长为 $\mathrm{cm}$. 
答案
$\boldsymbol{20}$
解析
【分析】
首先从已知条件∠C=∠EAC入手，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，可推出AE=CE；再结合△ABE的周长的表达式，将其中的AE用等量CE替换，即可得到AB+BC的长度，最后加上已知的AC的长度，就能求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵ ∠C = ∠EAC，
∴ AE = CE（等角对等边），
∵ △ABE的周长为12 cm，
∴ $AB + BE + AE = 12\ \mathrm{cm}$，
将AE替换为CE，可得：
$AB + BE + CE = AB + BC = 12\ \mathrm{cm}$，
又已知$AC = 8\ \mathrm{cm}$，
∴ △ABC的周长为$AB + BC + AC = 12 + 8 = 20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用等腰三角形的判定实现线段的等量代换，将未知的线段和转化为已知的周长值，掌握等角对等边的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件∠C=∠EAC入手，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，可推出AE=CE；再结合△ABE的周长的表达式，将其中的AE用等量CE替换，即可得到AB+BC的长度，最后加上已知的AC的长度，就能求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵ ∠C = ∠EAC，
∴ AE = CE（等角对等边），
∵ △ABE的周长为12 cm，
∴ $AB + BE + AE = 12\ \mathrm{cm}$，
将AE替换为CE，可得：
$AB + BE + CE = AB + BC = 12\ \mathrm{cm}$，
又已知$AC = 8\ \mathrm{cm}$，
∴ △ABC的周长为$AB + BC + AC = 12 + 8 = 20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用等腰三角形的判定实现线段的等量代换，将未知的线段和转化为已知的周长值，掌握等角对等边的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. (2025昆明东川区期中)如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,点D是BC的中点,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F.求证:$△ ABC$是等腰三角形.
答案
证明：
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ 点D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} DE = DF \\ BD = CD \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC（等角对等边）。
∴ △ABC是等腰三角形。
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ 点D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} DE = DF \\ BD = CD \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC（等角对等边）。
∴ △ABC是等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，需先证∠B=∠C或AB=AC。首先由AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，根据角平分线的性质可得DE=DF；再结合D是BC中点可知BD=CD，可通过HL定理证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，得到∠B=∠C，最后根据等角对等边即可证明△ABC为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ 点D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} DE = DF \\ BD = CD \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC（等角对等边）。
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等判定、等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合证明题，将角平分线性质、全等三角形判定、等腰三角形判定三个知识点结合考查，解题逻辑链条清晰，从已知条件出发逐步推导等角，即可完成等腰三角形的判定。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC是等腰三角形，需先证∠B=∠C或AB=AC。首先由AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，根据角平分线的性质可得DE=DF；再结合D是BC中点可知BD=CD，可通过HL定理证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，得到∠B=∠C，最后根据等角对等边即可证明△ABC为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ 点D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} DE = DF \\ BD = CD \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC（等角对等边）。
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等判定、等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合证明题，将角平分线性质、全等三角形判定、等腰三角形判定三个知识点结合考查，解题逻辑链条清晰，从已知条件出发逐步推导等角，即可完成等腰三角形的判定。
【难度系数】
0.8
6.如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,OA与x轴正半轴的夹角为$60°$,点P是x轴上一动点,若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有().
A.2个
B.3个
C.4个
D.6个
A.2个
B.3个
C.4个
D.6个
答案
A
解析
【分析】
要找出x轴上使得以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形的点P，需按等腰三角形的腰的三种情况分类讨论：①OA=OP；②OA=AP；③OP=AP。结合OA与x轴正半轴夹角为60°的特殊条件，判断是否存在点重合的情况，同时排除点P与原点重合、无法构成三角形的情况，最终统计符合条件的点的个数。
【解析】
我们分三类情况讨论：
1. OA为腰，O为顶角顶点（OA=OP）：以O为圆心、OA长为半径画弧，与x轴交于两个点：x正半轴的点$P_1$，x负半轴的点$P_2$，两点均满足OP=OA，可构成等腰三角形。
2. OA为腰，A为顶角顶点（OA=AP）：以A为圆心、OA长为半径画弧，与x轴交于原点O和点$P_1$，O点无法构成三角形，仅$P_1$符合条件，和第一种情况的$P_1$重合。
3. OA为底，P为顶角顶点（OP=AP）：作OA的垂直平分线，与x轴仅交于点$P_1$，和前两种情况的$P_1$重合。
综上，符合条件的点P共有2个。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题关键是对等腰三角形的腰进行分类讨论，同时要注意特殊角度下不同情况的点会重合，避免多算不符合要求的点。
【难度系数】
0.3
要找出x轴上使得以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形的点P，需按等腰三角形的腰的三种情况分类讨论：①OA=OP；②OA=AP；③OP=AP。结合OA与x轴正半轴夹角为60°的特殊条件，判断是否存在点重合的情况，同时排除点P与原点重合、无法构成三角形的情况，最终统计符合条件的点的个数。
【解析】
我们分三类情况讨论：
1. OA为腰，O为顶角顶点（OA=OP）：以O为圆心、OA长为半径画弧，与x轴交于两个点：x正半轴的点$P_1$，x负半轴的点$P_2$，两点均满足OP=OA，可构成等腰三角形。
2. OA为腰，A为顶角顶点（OA=AP）：以A为圆心、OA长为半径画弧，与x轴交于原点O和点$P_1$，O点无法构成三角形，仅$P_1$符合条件，和第一种情况的$P_1$重合。
3. OA为底，P为顶角顶点（OP=AP）：作OA的垂直平分线，与x轴仅交于点$P_1$，和前两种情况的$P_1$重合。
综上，符合条件的点P共有2个。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题关键是对等腰三角形的腰进行分类讨论，同时要注意特殊角度下不同情况的点会重合，避免多算不符合要求的点。
【难度系数】
0.3
