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7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D.若 $∠ C=72°$,求证:$△ BCD$为等腰三角形.
答案
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC = ∠C = 72°，
∴ ∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 72° - 72° = 36°。
∵ MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴ AD = BD，
∴ ∠ABD = ∠A = 36°，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 36° + 36° = 72°，
∴ ∠BDC = ∠C = 72°，
∴ BD = BC，
∴ △BCD为等腰三角形。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC = ∠C = 72°，
∴ ∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 72° - 72° = 36°。
∵ MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴ AD = BD，
∴ ∠ABD = ∠A = 36°，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 36° + 36° = 72°，
∴ ∠BDC = ∠C = 72°，
∴ BD = BC，
∴ △BCD为等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△BCD为等腰三角形，可通过证明该三角形存在两个相等的内角或两条相等的边推导。首先根据AB=AC可知△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合已知∠C的度数可求出∠A的度数；再根据MN是AB的垂直平分线，利用垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，得到AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；接下来利用三角形外角的性质计算出∠BDC的度数，将其与∠C的度数对比，若二者相等即可推出BD=BC，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC = ∠C = 72°，
∴ ∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 72° - 72° = 36°。
∵ MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴ AD = BD，
∴ ∠ABD = ∠A = 36°，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 36° + 36° = 72°，
∴ ∠BDC = ∠C = 72°，
∴ BD = BC，
∴ △BCD为等腰三角形。
【答案】
△BCD为等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础证明题，解题核心是灵活运用线段垂直平分线的性质完成边角的等量转换，通过角度计算得到等角即可判定等腰三角形，解题时要注意证明步骤的逻辑连贯性和规范性。
【难度系数】
0.8
要证明△BCD为等腰三角形，可通过证明该三角形存在两个相等的内角或两条相等的边推导。首先根据AB=AC可知△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合已知∠C的度数可求出∠A的度数；再根据MN是AB的垂直平分线，利用垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，得到AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；接下来利用三角形外角的性质计算出∠BDC的度数，将其与∠C的度数对比，若二者相等即可推出BD=BC，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC = ∠C = 72°，
∴ ∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 72° - 72° = 36°。
∵ MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴ AD = BD，
∴ ∠ABD = ∠A = 36°，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 36° + 36° = 72°，
∴ ∠BDC = ∠C = 72°，
∴ BD = BC，
∴ △BCD为等腰三角形。
【答案】
△BCD为等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础证明题，解题核心是灵活运用线段垂直平分线的性质完成边角的等量转换，通过角度计算得到等角即可判定等腰三角形，解题时要注意证明步骤的逻辑连贯性和规范性。
【难度系数】
0.8
8. 如图，D是$△ ABC$的边$BC$上的一点，$∠ B=40°,∠ ADC=80°$.
(1)求证:$AD=BD$;
(2)若$∠ BAC=70°$,判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
(1)求证:$AD=BD$;
(2)若$∠ BAC=70°$,判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
答案
(1) 证明：
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD。
∵ ∠B = 40°，∠ADC = 80°，
∴ ∠BAD = ∠ADC - ∠B = 80° - 40° = 40°，
∴ ∠BAD = ∠B，
∴ AD = BD（等角对等边）。
(2) 解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
在△ABC中，∠B = 40°，∠BAC = 70°，
由三角形内角和为180°得：
∠C = 180° - ∠B - ∠BAC = 180° - 40° - 70° = 70°，
∴ ∠C = ∠BAC，
∴ BA = BC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD。
∵ ∠B = 40°，∠ADC = 80°，
∴ ∠BAD = ∠ADC - ∠B = 80° - 40° = 40°，
∴ ∠BAD = ∠B，
∴ AD = BD（等角对等边）。
(2) 解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
在△ABC中，∠B = 40°，∠BAC = 70°，
由三角形内角和为180°得：
∠C = 180° - ∠B - ∠BAC = 180° - 40° - 70° = 70°，
∴ ∠C = ∠BAC，
∴ BA = BC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
解析
【分析】
(1) 要证明AD=BD，可利用等腰三角形“等角对等边”的判定，目标是证∠BAD=∠B。已知∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可求出∠BAD的度数，验证角相等后即可推出边相等；
(2) 判断△ABC的形状时，已知两个内角的度数，可先根据三角形内角和为180°求出第三个角∠C的度数，观察是否有相等的内角，再结合等腰三角形的判定即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD。
∵ ∠B = 40°，∠ADC = 80°，
∴ ∠BAD = ∠ADC - ∠B = 80° - 40° = 40°，
∴ ∠BAD = ∠B，
∴ AD = BD（等角对等边）。
(2) 解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
在△ABC中，∠B = 40°，∠BAC = 70°，
由三角形内角和为180°得：
∠C = 180° - ∠B - ∠BAC = 180° - 40° - 70° = 70°，
∴ ∠C = ∠BAC，
∴ BA = BC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明成立，AD=BD；
(2) △ABC是等腰三角形。
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，侧重考查三角形基础性质和等腰三角形的判定，解题核心是准确梳理角之间的数量关系，灵活运用相关定理推导，对基础运算和简单逻辑推理能力有要求。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明AD=BD，可利用等腰三角形“等角对等边”的判定，目标是证∠BAD=∠B。已知∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可求出∠BAD的度数，验证角相等后即可推出边相等；
(2) 判断△ABC的形状时，已知两个内角的度数，可先根据三角形内角和为180°求出第三个角∠C的度数，观察是否有相等的内角，再结合等腰三角形的判定即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD。
∵ ∠B = 40°，∠ADC = 80°，
∴ ∠BAD = ∠ADC - ∠B = 80° - 40° = 40°，
∴ ∠BAD = ∠B，
∴ AD = BD（等角对等边）。
(2) 解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
在△ABC中，∠B = 40°，∠BAC = 70°，
由三角形内角和为180°得：
∠C = 180° - ∠B - ∠BAC = 180° - 40° - 70° = 70°，
∴ ∠C = ∠BAC，
∴ BA = BC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明成立，AD=BD；
(2) △ABC是等腰三角形。
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，侧重考查三角形基础性质和等腰三角形的判定，解题核心是准确梳理角之间的数量关系，灵活运用相关定理推导，对基础运算和简单逻辑推理能力有要求。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D,E,F$分别在$AB,BC,AC$边上,且$BE=CF,BD=CE$.
(1)求证:$△ DEF$是等腰三角形;
(2)当$∠ A=40°$时,求$∠ DEF$的度数.
(1)求证:$△ DEF$是等腰三角形;
(2)当$∠ A=40°$时,求$∠ DEF$的度数.
答案
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
在$△ BDE$和$△ CEF$中，
$\begin{cases}BD=CE,\\∠ B=∠ C,\\BE=CF,\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CEF(\mathrm{SAS})$。
∴ $DE=EF$，
∴ $△ DEF$是等腰三角形。
---
(2) 解：
∵ $∠ A=40°$，$AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C=\dfrac{180°-40°}{2}=70°$。
由$△ BDE ≌ △ CEF$，得$∠ BDE=∠ CEF$。
在$△ BDE$中，$∠ BDE + ∠ BED = 180° - ∠ B = 110°$，
∴ $∠ CEF + ∠ BED = 110°$，
∴ $∠ DEF = 180° - (∠ CEF + ∠ BED) = 180° - 110° = 70°$。
最终$∠ DEF$的度数为$\boldsymbol{70°}$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
在$△ BDE$和$△ CEF$中，
$\begin{cases}BD=CE,\\∠ B=∠ C,\\BE=CF,\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CEF(\mathrm{SAS})$。
∴ $DE=EF$，
∴ $△ DEF$是等腰三角形。
---
(2) 解：
∵ $∠ A=40°$，$AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C=\dfrac{180°-40°}{2}=70°$。
由$△ BDE ≌ △ CEF$，得$∠ BDE=∠ CEF$。
在$△ BDE$中，$∠ BDE + ∠ BED = 180° - ∠ B = 110°$，
∴ $∠ CEF + ∠ BED = 110°$，
∴ $∠ DEF = 180° - (∠ CEF + ∠ BED) = 180° - 110° = 70°$。
最终$∠ DEF$的度数为$\boldsymbol{70°}$。
解析
【分析】
（1）要证明△DEF是等腰三角形，核心是证明它有两条边相等，观察图形可尝试证明DE=EF，只需证DE、EF所在的△BDE与△CEF全等即可。已知AB=AC，由等腰三角形性质可得∠B=∠C，结合题目给出的BD=CE、BE=CF，满足SAS全等判定条件，即可证得两三角形全等，得到DE=EF。
（2）要求∠DEF的度数，首先根据等腰△ABC的顶角∠A=40°，先算出底角∠B的度数；再利用（1）中全等三角形的对应角相等，得到∠BDE=∠CEF，结合三角形内角和定理，将∠BDE与∠BED的和转化为∠CEF与∠BED的和，最后根据平角为180°，即可求出∠DEF的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
在$△ BDE$和$△ CEF$中，
$\begin{cases}BD=CE,\\∠ B=∠ C,\\BE=CF,\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CEF(\mathrm{SAS})$。
∴ $DE=EF$，
∴ $△ DEF$是等腰三角形。
(2) 解：
∵ $∠ A=40°$，$AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C=\dfrac{180°-40°}{2}=70°$。
由$△ BDE ≌ △ CEF$，得$∠ BDE=∠ CEF$。
在$△ BDE$中，$∠ BDE + ∠ BED = 180° - ∠ B = 110°$，
∴ $∠ CEF + ∠ BED = 110°$，
∴ $∠ DEF = 180° - (∠ CEF + ∠ BED) = 180° - 110° = 70°$。
【答案】
(1) 已证△DEF是等腰三角形；(2) $\boldsymbol{70°}$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形结合的基础常考题，解题的关键是通过全等三角形实现边角的等量转化，计算角度时要灵活运用三角形内角和与平角的性质，需要熟练掌握SAS全等判定方法和等腰三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△DEF是等腰三角形，核心是证明它有两条边相等，观察图形可尝试证明DE=EF，只需证DE、EF所在的△BDE与△CEF全等即可。已知AB=AC，由等腰三角形性质可得∠B=∠C，结合题目给出的BD=CE、BE=CF，满足SAS全等判定条件，即可证得两三角形全等，得到DE=EF。
（2）要求∠DEF的度数，首先根据等腰△ABC的顶角∠A=40°，先算出底角∠B的度数；再利用（1）中全等三角形的对应角相等，得到∠BDE=∠CEF，结合三角形内角和定理，将∠BDE与∠BED的和转化为∠CEF与∠BED的和，最后根据平角为180°，即可求出∠DEF的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
在$△ BDE$和$△ CEF$中，
$\begin{cases}BD=CE,\\∠ B=∠ C,\\BE=CF,\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CEF(\mathrm{SAS})$。
∴ $DE=EF$，
∴ $△ DEF$是等腰三角形。
(2) 解：
∵ $∠ A=40°$，$AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C=\dfrac{180°-40°}{2}=70°$。
由$△ BDE ≌ △ CEF$，得$∠ BDE=∠ CEF$。
在$△ BDE$中，$∠ BDE + ∠ BED = 180° - ∠ B = 110°$，
∴ $∠ CEF + ∠ BED = 110°$，
∴ $∠ DEF = 180° - (∠ CEF + ∠ BED) = 180° - 110° = 70°$。
【答案】
(1) 已证△DEF是等腰三角形；(2) $\boldsymbol{70°}$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形结合的基础常考题，解题的关键是通过全等三角形实现边角的等量转化，计算角度时要灵活运用三角形内角和与平角的性质，需要熟练掌握SAS全等判定方法和等腰三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
10. 如图,已知点A,B的坐标分别为$(3,0)$和$(0,5)$,在坐标轴上确定一点C,使$△ ABC$是等腰三角形,则符合条件的点C共有().
A.4个
B.6个
C.8个
D.10个
A.4个
B.6个
C.8个
D.10个
答案
C
解析
【分析】
要确定坐标轴上使△ABC为等腰三角形的点C，需分三种情况分类讨论，避免漏解：①以A为顶角顶点，AB为腰；②以B为顶角顶点，AB为腰；③以C为顶角顶点，AB为底。分别找出三种情况下符合条件的点，排除无法构成三角形的无效点后统计总数即可。
【解析】
首先由点A(3,0)、B(0,5)，根据勾股定理得AB的长度为：$AB=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$。
情况1：以A为顶角顶点，AB=AC。
以A为圆心，AB长为半径画圆，与坐标轴相交：
与x轴交点：A在x轴上，左右各1个，为$(3+\sqrt{34},0)$、$(3-\sqrt{34},0)$，均有效；
与y轴交点：设交点为$(0,y)$，由$AC=AB=\sqrt{34}$得$(0-3)^2+y^2=34$，解得$y=\pm5$，$y=5$对应点B，舍去，得有效交点$(0,-5)$。
本类共3个有效点。
情况2：以B为顶角顶点，AB=BC。
以B为圆心，AB长为半径画圆，与坐标轴相交：
与y轴交点：B在y轴上，上下各1个，为$(0,5+\sqrt{34})$、$(0,5-\sqrt{34})$，均有效；
与x轴交点：设交点为$(x,0)$，由$BC=AB=\sqrt{34}$得$x^2+(0-5)^2=34$，解得$x=\pm3$，$x=3$对应点A，舍去，得有效交点$(-3,0)$。
本类共3个有效点。
情况3：以C为顶角顶点，AC=BC。
此时点C在AB的垂直平分线上，求垂直平分线与坐标轴的交点：
垂直平分线与x轴交点：设为$(x,0)$，由$AC=BC$得$(x-3)^2=x^2+5^2$，解得$x=-\frac{8}{3}$，即点$(-\frac{8}{3},0)$，有效；
垂直平分线与y轴交点：设为$(0,y)$，由$AC=BC$得$3^2+y^2=(y-5)^2$，解得$y=\frac{8}{5}$，即点$(0,\frac{8}{5})$，有效。
本类共2个有效点。
综上，符合条件的点C共有$3+3+2=8$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题的易错点是分类讨论不全面导致漏解，或是未排除和A、B重合的无效点，解题时可按照“两圆一线”的方法逐一排查所有可能的情况，确保不重不漏。
【难度系数】
0.6
要确定坐标轴上使△ABC为等腰三角形的点C，需分三种情况分类讨论，避免漏解：①以A为顶角顶点，AB为腰；②以B为顶角顶点，AB为腰；③以C为顶角顶点，AB为底。分别找出三种情况下符合条件的点，排除无法构成三角形的无效点后统计总数即可。
【解析】
首先由点A(3,0)、B(0,5)，根据勾股定理得AB的长度为：$AB=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$。
情况1：以A为顶角顶点，AB=AC。
以A为圆心，AB长为半径画圆，与坐标轴相交：
与x轴交点：A在x轴上，左右各1个，为$(3+\sqrt{34},0)$、$(3-\sqrt{34},0)$，均有效；
与y轴交点：设交点为$(0,y)$，由$AC=AB=\sqrt{34}$得$(0-3)^2+y^2=34$，解得$y=\pm5$，$y=5$对应点B，舍去，得有效交点$(0,-5)$。
本类共3个有效点。
情况2：以B为顶角顶点，AB=BC。
以B为圆心，AB长为半径画圆，与坐标轴相交：
与y轴交点：B在y轴上，上下各1个，为$(0,5+\sqrt{34})$、$(0,5-\sqrt{34})$，均有效；
与x轴交点：设交点为$(x,0)$，由$BC=AB=\sqrt{34}$得$x^2+(0-5)^2=34$，解得$x=\pm3$，$x=3$对应点A，舍去，得有效交点$(-3,0)$。
本类共3个有效点。
情况3：以C为顶角顶点，AC=BC。
此时点C在AB的垂直平分线上，求垂直平分线与坐标轴的交点：
垂直平分线与x轴交点：设为$(x,0)$，由$AC=BC$得$(x-3)^2=x^2+5^2$，解得$x=-\frac{8}{3}$，即点$(-\frac{8}{3},0)$，有效；
垂直平分线与y轴交点：设为$(0,y)$，由$AC=BC$得$3^2+y^2=(y-5)^2$，解得$y=\frac{8}{5}$，即点$(0,\frac{8}{5})$，有效。
本类共2个有效点。
综上，符合条件的点C共有$3+3+2=8$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题的易错点是分类讨论不全面导致漏解，或是未排除和A、B重合的无效点，解题时可按照“两圆一线”的方法逐一排查所有可能的情况，确保不重不漏。
【难度系数】
0.6
