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【例1】通过悬挂实验,找出下列形状的匀质薄板的重心(用点P表示)位置.
答案
解：
1. 三角形匀质薄板：
选取三角形任意两个不同的顶点作为悬挂点，先后将薄板悬挂，待薄板静止后，分别沿悬线方向在薄板上画出两条直线，两条直线的交点即为该三角形薄板的重心，标记为点P。
2. 矩形匀质薄板：
选取矩形任意两个不同的顶点作为悬挂点，先后将薄板悬挂，待薄板静止后，分别沿悬线方向在薄板上画出两条不重合的直线，两条直线的交点即为该矩形薄板的重心，标记为点P，该点同时是矩形两条对角线的交点。
3. 平行四边形匀质薄板：
选取平行四边形任意两个不同的顶点作为悬挂点，先后将薄板悬挂，待薄板静止后，分别沿悬线方向在薄板上画出两条不重合的直线，两条直线的交点即为该平行四边形薄板的重心，标记为点P，该点同时是平行四边形两条对角线的交点。
最终三个匀质薄板的重心P均为对应图形的几何中心。
1. 三角形匀质薄板：
选取三角形任意两个不同的顶点作为悬挂点，先后将薄板悬挂，待薄板静止后，分别沿悬线方向在薄板上画出两条直线，两条直线的交点即为该三角形薄板的重心，标记为点P。
2. 矩形匀质薄板：
选取矩形任意两个不同的顶点作为悬挂点，先后将薄板悬挂，待薄板静止后，分别沿悬线方向在薄板上画出两条不重合的直线，两条直线的交点即为该矩形薄板的重心，标记为点P，该点同时是矩形两条对角线的交点。
3. 平行四边形匀质薄板：
选取平行四边形任意两个不同的顶点作为悬挂点，先后将薄板悬挂，待薄板静止后，分别沿悬线方向在薄板上画出两条不重合的直线，两条直线的交点即为该平行四边形薄板的重心，标记为点P，该点同时是平行四边形两条对角线的交点。
最终三个匀质薄板的重心P均为对应图形的几何中心。
解析
【分析】
解题的核心依据是悬挂法测重心的原理：匀质薄板悬挂静止时，受到的重力和悬线的拉力是一对平衡力，二力作用在同一直线上，因此悬线所在直线必然经过薄板的重心。我们只需要通过两次不同位置的悬挂，得到两条过重心的直线，两条直线的交点就是重心位置。对于三角形、矩形、平行四边形这类规则匀质平面图形，最终找到的重心同时也是图形的几何中心，可和几何结论互相验证。
【解析】
我们采用悬挂法分别确定三个薄板的重心：
1. 三角形匀质薄板：
选取三角形任意两个不同的顶点作为悬挂点，先后将薄板悬挂，待薄板静止后，分别沿悬线方向在薄板上画出两条直线，两条直线的交点即为该三角形薄板的重心，标记为点P。
2. 矩形匀质薄板：
选取矩形任意两个不同的顶点作为悬挂点，先后将薄板悬挂，待薄板静止后，分别沿悬线方向在薄板上画出两条不重合的直线，两条直线的交点即为该矩形薄板的重心，标记为点P，该点同时是矩形两条对角线的交点。
3. 平行四边形匀质薄板：
选取平行四边形任意两个不同的顶点作为悬挂点，先后将薄板悬挂，待薄板静止后，分别沿悬线方向在薄板上画出两条不重合的直线，两条直线的交点即为该平行四边形薄板的重心，标记为点P，该点同时是平行四边形两条对角线的交点。
【答案】
1. 三角形匀质薄板的重心P是两次悬挂悬线的交点，即三角形三条中线的交点；
2. 矩形匀质薄板的重心P是两次悬挂悬线的交点，即矩形两条对角线的交点；
3. 平行四边形匀质薄板的重心P是两次悬挂悬线的交点，即平行四边形两条对角线的交点；
三个匀质薄板的重心P均为对应图形的几何中心。
【知识点】
悬挂法测重心、二力平衡的应用、规则匀质物体重心
【点评】
本题考查了悬挂法测量匀质薄板重心的操作方法，结合了常见平面图形的几何特征，既可以通过实验操作得到重心位置，也可以通过几何规律直接确定重心，能够帮助理解重心的含义，掌握实际测量重心的实用方法。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是悬挂法测重心的原理：匀质薄板悬挂静止时，受到的重力和悬线的拉力是一对平衡力，二力作用在同一直线上，因此悬线所在直线必然经过薄板的重心。我们只需要通过两次不同位置的悬挂，得到两条过重心的直线，两条直线的交点就是重心位置。对于三角形、矩形、平行四边形这类规则匀质平面图形，最终找到的重心同时也是图形的几何中心，可和几何结论互相验证。
【解析】
我们采用悬挂法分别确定三个薄板的重心：
1. 三角形匀质薄板：
选取三角形任意两个不同的顶点作为悬挂点，先后将薄板悬挂，待薄板静止后，分别沿悬线方向在薄板上画出两条直线，两条直线的交点即为该三角形薄板的重心，标记为点P。
2. 矩形匀质薄板：
选取矩形任意两个不同的顶点作为悬挂点，先后将薄板悬挂，待薄板静止后，分别沿悬线方向在薄板上画出两条不重合的直线，两条直线的交点即为该矩形薄板的重心，标记为点P，该点同时是矩形两条对角线的交点。
3. 平行四边形匀质薄板：
选取平行四边形任意两个不同的顶点作为悬挂点，先后将薄板悬挂，待薄板静止后，分别沿悬线方向在薄板上画出两条不重合的直线，两条直线的交点即为该平行四边形薄板的重心，标记为点P，该点同时是平行四边形两条对角线的交点。
【答案】
1. 三角形匀质薄板的重心P是两次悬挂悬线的交点，即三角形三条中线的交点；
2. 矩形匀质薄板的重心P是两次悬挂悬线的交点，即矩形两条对角线的交点；
3. 平行四边形匀质薄板的重心P是两次悬挂悬线的交点，即平行四边形两条对角线的交点；
三个匀质薄板的重心P均为对应图形的几何中心。
【知识点】
悬挂法测重心、二力平衡的应用、规则匀质物体重心
【点评】
本题考查了悬挂法测量匀质薄板重心的操作方法，结合了常见平面图形的几何特征，既可以通过实验操作得到重心位置，也可以通过几何规律直接确定重心，能够帮助理解重心的含义，掌握实际测量重心的实用方法。
【难度系数】
0.8
1. 通过查资料及例1中的实验,确定下面平面图形的重心(用点P表示)位置.
答案
解：
1. 三角形：作出该三角形任意两条中线，两条中线的交点就是三角形的重心，标记为点P。
2. 矩形：作出该矩形的两条对角线，两条对角线的交点就是矩形的重心，标记为点P。
3. 平行四边形：作出该平行四边形的两条对角线，两条对角线的交点就是平行四边形的重心，标记为点P。
1. 三角形：作出该三角形任意两条中线，两条中线的交点就是三角形的重心，标记为点P。
2. 矩形：作出该矩形的两条对角线，两条对角线的交点就是矩形的重心，标记为点P。
3. 平行四边形：作出该平行四边形的两条对角线，两条对角线的交点就是平行四边形的重心，标记为点P。
解析
【分析】
要确定这三个匀质规则平面图形的重心，首先明确：形状规则、质量均匀的平面薄板，重心与它的几何中心重合，因此只需找到各图形的几何中心即可。
①对于三角形：我们学过三角形的重心就是它三条中线的交点，因此只需作出任意两条中线，交点就是重心；
②对于矩形和平行四边形：二者都属于中心对称图形，它们的对称中心是两条对角线的交点，这个对称中心就是对应的几何中心，即重心，因此只需作出各自的两条对角线，交点就是重心。
【解析】
1. 三角形：作出该三角形任意两条中线，两条中线的交点就是三角形的重心，标记为点P。
2. 矩形：作出该矩形的两条对角线，两条对角线的交点就是矩形的重心，标记为点P。
3. 平行四边形：作出该平行四边形的两条对角线，两条对角线的交点就是平行四边形的重心，标记为点P。
【答案】
三角形重心为任意两条中线的交点P；矩形重心为两条对角线的交点P；平行四边形重心为两条对角线的交点P。
【知识点】
三角形重心性质；中心对称图形特征；规则图形重心确定
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查规则平面图形的重心确定方法，解题关键是牢记匀质规则图形的重心与几何中心重合，只要熟练掌握三角形、矩形、平行四边形的几何中心的找法即可快速解决问题，注意不要混淆不同图形的找点方法。
【难度系数】
0.9
要确定这三个匀质规则平面图形的重心，首先明确：形状规则、质量均匀的平面薄板，重心与它的几何中心重合，因此只需找到各图形的几何中心即可。
①对于三角形：我们学过三角形的重心就是它三条中线的交点，因此只需作出任意两条中线，交点就是重心；
②对于矩形和平行四边形：二者都属于中心对称图形，它们的对称中心是两条对角线的交点，这个对称中心就是对应的几何中心，即重心，因此只需作出各自的两条对角线，交点就是重心。
【解析】
1. 三角形：作出该三角形任意两条中线，两条中线的交点就是三角形的重心，标记为点P。
2. 矩形：作出该矩形的两条对角线，两条对角线的交点就是矩形的重心，标记为点P。
3. 平行四边形：作出该平行四边形的两条对角线，两条对角线的交点就是平行四边形的重心，标记为点P。
【答案】
三角形重心为任意两条中线的交点P；矩形重心为两条对角线的交点P；平行四边形重心为两条对角线的交点P。
【知识点】
三角形重心性质；中心对称图形特征；规则图形重心确定
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查规则平面图形的重心确定方法，解题关键是牢记匀质规则图形的重心与几何中心重合，只要熟练掌握三角形、矩形、平行四边形的几何中心的找法即可快速解决问题，注意不要混淆不同图形的找点方法。
【难度系数】
0.9
【例2】用一块如图所示的匀质薄板，通过画线分割成两部分，并找出各部分的重心位置（用点$P_1$和点$P_2$表示），再通过实验，找到整块薄板的重心位置（用点$P$表示），过两部分的重心画一条线段，你有什么发现？整块薄板的重心离哪部分的重心更近？约是这条线段的几分之几？请你再计算一下这两部分的面积及总面积，你有什么发现？
答案
解：
1. 分割与重心标记：将该匀质薄板分割为两个矩形，下方为长30cm、宽10cm的矩形，上方为边长10cm的正方形。矩形的重心为其对角线交点，标记下方矩形的重心为$P_1$，上方正方形的重心为$P_2$。
2. 连线观察结论：整块薄板的重心$P$在$P_1$、$P_2$两点的连线上。
整块薄板的重心离面积更大的下方部分的重心$P_1$更近，约为线段$P_1P_2$总长的$\frac{1}{4}$。
3. 面积计算：
下方部分面积：$S_1 = 30×10 = 300\ \mathrm{cm}^2$
上方部分面积：$S_2 = 10×10 = 100\ \mathrm{cm}^2$
总面积：$S = S_1 + S_2 = 300 + 100 = 400\ \mathrm{cm}^2$
4. 最终发现：匀质薄板的总重心到两个分割部分重心的距离，与对应两部分的面积成反比，面积越大的分割部分，其重心到整块薄板总重心的距离越小，满足$S_1· PP_1 = S_2· PP_2$。
1. 分割与重心标记：将该匀质薄板分割为两个矩形，下方为长30cm、宽10cm的矩形，上方为边长10cm的正方形。矩形的重心为其对角线交点，标记下方矩形的重心为$P_1$，上方正方形的重心为$P_2$。
2. 连线观察结论：整块薄板的重心$P$在$P_1$、$P_2$两点的连线上。
整块薄板的重心离面积更大的下方部分的重心$P_1$更近，约为线段$P_1P_2$总长的$\frac{1}{4}$。
3. 面积计算：
下方部分面积：$S_1 = 30×10 = 300\ \mathrm{cm}^2$
上方部分面积：$S_2 = 10×10 = 100\ \mathrm{cm}^2$
总面积：$S = S_1 + S_2 = 300 + 100 = 400\ \mathrm{cm}^2$
4. 最终发现：匀质薄板的总重心到两个分割部分重心的距离，与对应两部分的面积成反比，面积越大的分割部分，其重心到整块薄板总重心的距离越小，满足$S_1· PP_1 = S_2· PP_2$。
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，该不规则匀质薄板可分割为两个规则矩形：下方长30cm、宽10cm的大矩形，上方边长10cm的正方形。我们已知矩形的重心是其对角线交点，可先分别确定两个分割部分的重心；由于匀质薄板的重量和面积成正比，通过实验找到整块板的总重心后，观察它和两个分重心的位置关系，再计算两部分的面积，就能总结出总重心、分重心与两部分面积之间的规律。
【解析】
1. 分割图形与标记分重心：将薄板分割为两部分，一是下方长30cm、宽10cm的矩形，二是上方边长10cm的正方形。矩形的重心为对角线交点，标记下方矩形的重心为$P_1$，上方正方形的重心为$P_2$。
2. 观察总重心位置：通过实验得到整块薄板的重心$P$，连接$P_1$、$P_2$，可发现整块薄板的重心$P$在$P_1$与$P_2$的连线上；总重心离面积更大的下方部分重心$P_1$更近，距离约为线段$P_1P_2$总长的$\frac{1}{4}$。
3. 面积计算：
下方矩形面积：$S_1=30×10=300\ \mathrm{cm}^2$
上方正方形面积：$S_2=10×10=100\ \mathrm{cm}^2$
整块薄板总面积：$S=S_1+S_2=300+100=400\ \mathrm{cm}^2$
4. 规律总结：匀质薄板的总重心到两个分割部分重心的距离，与对应部分的面积成反比，满足关系$S_1· PP_1 = S_2· PP_2$，即面积越大的分割部分，其重心到整块薄板总重心的距离越小。
【答案】
1. 分割方式：分为下方长30cm宽10cm的矩形、上方边长10cm的正方形，两部分重心为各自对角线交点$P_1$、$P_2$；
2. 总重心$P$在$P_1$、$P_2$的连线上，离$P_1$更近，约为线段$P_1P_2$总长的$\frac{1}{4}$；
3. 下方部分面积为$300\ \mathrm{cm}^2$，上方部分面积为$100\ \mathrm{cm}^2$，总面积为$400\ \mathrm{cm}^2$；
4. 规律：匀质薄板总重心到两部分重心的距离与对应部分面积成反比，满足$S_1· PP_1 = S_2· PP_2$。
【知识点】
矩形重心确定、组合图形面积计算、匀质物体重心规律
【点评】
本题将图形分割、动手实验与面积计算相结合，既巩固了规则图形面积计算的基础方法，又能让学生直观理解组合匀质物体的重心分布规律，有助于提升动手操作能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，该不规则匀质薄板可分割为两个规则矩形：下方长30cm、宽10cm的大矩形，上方边长10cm的正方形。我们已知矩形的重心是其对角线交点，可先分别确定两个分割部分的重心；由于匀质薄板的重量和面积成正比，通过实验找到整块板的总重心后，观察它和两个分重心的位置关系，再计算两部分的面积，就能总结出总重心、分重心与两部分面积之间的规律。
【解析】
1. 分割图形与标记分重心：将薄板分割为两部分，一是下方长30cm、宽10cm的矩形，二是上方边长10cm的正方形。矩形的重心为对角线交点，标记下方矩形的重心为$P_1$，上方正方形的重心为$P_2$。
2. 观察总重心位置：通过实验得到整块薄板的重心$P$，连接$P_1$、$P_2$，可发现整块薄板的重心$P$在$P_1$与$P_2$的连线上；总重心离面积更大的下方部分重心$P_1$更近，距离约为线段$P_1P_2$总长的$\frac{1}{4}$。
3. 面积计算：
下方矩形面积：$S_1=30×10=300\ \mathrm{cm}^2$
上方正方形面积：$S_2=10×10=100\ \mathrm{cm}^2$
整块薄板总面积：$S=S_1+S_2=300+100=400\ \mathrm{cm}^2$
4. 规律总结：匀质薄板的总重心到两个分割部分重心的距离，与对应部分的面积成反比，满足关系$S_1· PP_1 = S_2· PP_2$，即面积越大的分割部分，其重心到整块薄板总重心的距离越小。
【答案】
1. 分割方式：分为下方长30cm宽10cm的矩形、上方边长10cm的正方形，两部分重心为各自对角线交点$P_1$、$P_2$；
2. 总重心$P$在$P_1$、$P_2$的连线上，离$P_1$更近，约为线段$P_1P_2$总长的$\frac{1}{4}$；
3. 下方部分面积为$300\ \mathrm{cm}^2$，上方部分面积为$100\ \mathrm{cm}^2$，总面积为$400\ \mathrm{cm}^2$；
4. 规律：匀质薄板总重心到两部分重心的距离与对应部分面积成反比，满足$S_1· PP_1 = S_2· PP_2$。
【知识点】
矩形重心确定、组合图形面积计算、匀质物体重心规律
【点评】
本题将图形分割、动手实验与面积计算相结合，既巩固了规则图形面积计算的基础方法，又能让学生直观理解组合匀质物体的重心分布规律，有助于提升动手操作能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
2. 已知一个“L”形的平面图形如图,请用不同的方法,把它分割成两部分,并找出这两部分的重心位置.
答案
解：
方法一
过L形的内凹顶点作竖直分割线，将原图形分割为左右两个长方形。
分别作出两个长方形的两条对角线，每条长方形两条对角线的交点就是该长方形的重心，由此得到分割后两部分的重心位置。
方法二
过L形的内凹顶点作水平分割线，将原图形分割为上下两个长方形。
分别作出两个长方形的两条对角线，每条长方形两条对角线的交点就是该长方形的重心，由此得到分割后两部分的重心位置。
方法一
过L形的内凹顶点作竖直分割线，将原图形分割为左右两个长方形。
分别作出两个长方形的两条对角线，每条长方形两条对角线的交点就是该长方形的重心，由此得到分割后两部分的重心位置。
方法二
过L形的内凹顶点作水平分割线，将原图形分割为上下两个长方形。
分别作出两个长方形的两条对角线，每条长方形两条对角线的交点就是该长方形的重心，由此得到分割后两部分的重心位置。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用“规则匀质图形的重心容易确定”的特点来思考：我们已经知道长方形的重心是它两条对角线的交点，因此可以先把不规则的L形分割成两个长方形，再分别找两个长方形的重心即可。观察L形的结构，内凹的顶点是合适的分割起点，我们可以过这个顶点分别作竖直或水平的分割线，实现将L形拆分为两个长方形的目标。
【解析】
方法一：过L形的内凹顶点作竖直分割线，将原图形分割为左右两个长方形。分别作出两个长方形的两条对角线，每个长方形两条对角线的交点就是该长方形的重心，即分割后对应部分的重心位置。
方法二：过L形的内凹顶点作水平分割线，将原图形分割为上下两个长方形。分别作出两个长方形的两条对角线，每个长方形两条对角线的交点就是该长方形的重心，即分割后对应部分的重心位置。
【答案】
1. 过内凹顶点作竖直分割线将图形分为左右两个长方形，两部分的重心分别为对应长方形对角线的交点；
2. 过内凹顶点作水平分割线将图形分为上下两个长方形，两部分的重心分别为对应长方形对角线的交点。
【知识点】
图形的分割、矩形重心确定、重心的概念
【点评】
本题考查转化思想的应用，需要学生将陌生的不规则图形转化为熟悉的规则图形解决问题，注重对动手作图能力和知识迁移运用能力的考查，解题关键是找到正确的分割方式将L形拆分为两个矩形。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以利用“规则匀质图形的重心容易确定”的特点来思考：我们已经知道长方形的重心是它两条对角线的交点，因此可以先把不规则的L形分割成两个长方形，再分别找两个长方形的重心即可。观察L形的结构，内凹的顶点是合适的分割起点，我们可以过这个顶点分别作竖直或水平的分割线，实现将L形拆分为两个长方形的目标。
【解析】
方法一：过L形的内凹顶点作竖直分割线，将原图形分割为左右两个长方形。分别作出两个长方形的两条对角线，每个长方形两条对角线的交点就是该长方形的重心，即分割后对应部分的重心位置。
方法二：过L形的内凹顶点作水平分割线，将原图形分割为上下两个长方形。分别作出两个长方形的两条对角线，每个长方形两条对角线的交点就是该长方形的重心，即分割后对应部分的重心位置。
【答案】
1. 过内凹顶点作竖直分割线将图形分为左右两个长方形，两部分的重心分别为对应长方形对角线的交点；
2. 过内凹顶点作水平分割线将图形分为上下两个长方形，两部分的重心分别为对应长方形对角线的交点。
【知识点】
图形的分割、矩形重心确定、重心的概念
【点评】
本题考查转化思想的应用，需要学生将陌生的不规则图形转化为熟悉的规则图形解决问题，注重对动手作图能力和知识迁移运用能力的考查，解题关键是找到正确的分割方式将L形拆分为两个矩形。
【难度系数】
0.7
