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15. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在$BC$上,$∠ ADB = ∠ BAC$,$BE$平分$∠ ABC$,交$AD$于点$H$,交$AC$于点$E$.过点$E$作$EF // AD$,交$BC$于点$F$.
(1)求证:$∠ BAD = ∠ C$;
(2)若$∠ C = 20°$,$∠ BAC = 110°$,求$∠ BEF$的度数.
(1)求证:$∠ BAD = ∠ C$;
(2)若$∠ C = 20°$,$∠ BAC = 110°$,求$∠ BEF$的度数.
答案
(1)证明：
在△ABD中，∠ADB + ∠BAD + ∠ABD = 180°，
在△ABC中，∠BAC + ∠C + ∠ABD = 180°，
∵∠ADB = ∠BAC，
∴∠BAD = ∠C。
(2)解：
在△ABC中，
∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠C = 180° - 110° - 20° = 50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 25°，
由题意得∠ADB = ∠BAC = 110°，
∵EF//AD，
∴∠EFB = ∠ADB = 110°，
在△BEF中，
∠BEF = 180° - ∠EBC - ∠EFB = 180° - 25° - 110° = 45°。
答：∠BEF的度数为45°。
在△ABD中，∠ADB + ∠BAD + ∠ABD = 180°，
在△ABC中，∠BAC + ∠C + ∠ABD = 180°，
∵∠ADB = ∠BAC，
∴∠BAD = ∠C。
(2)解：
在△ABC中，
∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠C = 180° - 110° - 20° = 50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 25°，
由题意得∠ADB = ∠BAC = 110°，
∵EF//AD，
∴∠EFB = ∠ADB = 110°，
在△BEF中，
∠BEF = 180° - ∠EBC - ∠EFB = 180° - 25° - 110° = 45°。
答：∠BEF的度数为45°。
解析
【分析】
(1)要证明∠BAD=∠C，可利用三角形内角和为180°的性质，观察发现△ABD和△ABC含有公共角∠ABD，且已知∠ADB=∠BAC，两个三角形的内角和分别减去公共角和相等的角后，剩余的角必然相等，即可完成证明。
(2)要求∠BEF的度数，首先在△ABC中利用内角和定理算出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠EBC的度数；接着由EF//AD，结合平行线的同位角相等性质可得∠EFB=∠ADB，结合已知∠ADB=∠BAC即可得到∠EFB的度数；最后在△BEF中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠BEF的度数。
【解析】
(1)证明：
在△ABD中，∠ADB + ∠BAD + ∠ABD = 180°，
在△ABC中，∠BAC + ∠C + ∠ABD = 180°，
∵∠ADB = ∠BAC，
∴∠BAD = ∠C。
(2)解：
在△ABC中，
∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠C = 180° - 110° - 20° = 50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 25°，
由题意得∠ADB = ∠BAC = 110°，
∵EF//AD，
∴∠EFB = ∠ADB = 110°，
在△BEF中，
∠BEF = 180° - ∠EBC - ∠EFB = 180° - 25° - 110° = 45°。
【答案】
(1)证明成立；(2)$\boxed{45°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是结合已知条件，按逻辑顺序依次运用三角形内角和、角平分线、平行线的相关性质推导所求量，思路连贯，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1)要证明∠BAD=∠C，可利用三角形内角和为180°的性质，观察发现△ABD和△ABC含有公共角∠ABD，且已知∠ADB=∠BAC，两个三角形的内角和分别减去公共角和相等的角后，剩余的角必然相等，即可完成证明。
(2)要求∠BEF的度数，首先在△ABC中利用内角和定理算出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠EBC的度数；接着由EF//AD，结合平行线的同位角相等性质可得∠EFB=∠ADB，结合已知∠ADB=∠BAC即可得到∠EFB的度数；最后在△BEF中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠BEF的度数。
【解析】
(1)证明：
在△ABD中，∠ADB + ∠BAD + ∠ABD = 180°，
在△ABC中，∠BAC + ∠C + ∠ABD = 180°，
∵∠ADB = ∠BAC，
∴∠BAD = ∠C。
(2)解：
在△ABC中，
∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠C = 180° - 110° - 20° = 50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 25°，
由题意得∠ADB = ∠BAC = 110°，
∵EF//AD，
∴∠EFB = ∠ADB = 110°，
在△BEF中，
∠BEF = 180° - ∠EBC - ∠EFB = 180° - 25° - 110° = 45°。
【答案】
(1)证明成立；(2)$\boxed{45°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是结合已知条件，按逻辑顺序依次运用三角形内角和、角平分线、平行线的相关性质推导所求量，思路连贯，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
16. 在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$AE$是$△ ABC$的高.
(1) 如图(1)，若$∠ B = 40°$，$∠ C = 60°$，求$∠ DAE$的度数；
(2) 如图(2)（$∠ B ＜ ∠ C$），试说明$∠ DAE$与$∠ B$，$∠ C$的数量关系.
(1) 如图(1)，若$∠ B = 40°$，$∠ C = 60°$，求$∠ DAE$的度数；
(2) 如图(2)（$∠ B ＜ ∠ C$），试说明$∠ DAE$与$∠ B$，$∠ C$的数量关系.
答案
解：
(1) 在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°，
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = 40°，
∵ AE是△ABC的高，
∴ ∠AEC = 90°，
在Rt△AEC中，∠EAC = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°，
∴ ∠DAE = ∠DAC - ∠EAC = 40° - 30° = 10°。
(2) 在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C)$，
∵ AE是△ABC的高，
∴ ∠AEC = 90°，
在Rt△AEC中，∠EAC = 90° - ∠C，
∴ ∠DAE = ∠DAC - ∠EAC
= $\frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C) - (90° - ∠ C)$
= $90° - \frac{1}{2}∠ B - \frac{1}{2}∠ C - 90° + ∠ C$
= $\frac{1}{2}(∠ C - ∠ B)$，
即$\boldsymbol{∠ DAE = \frac{1}{2}(∠ C - ∠ B)}$。
(1) 在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°，
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = 40°，
∵ AE是△ABC的高，
∴ ∠AEC = 90°，
在Rt△AEC中，∠EAC = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°，
∴ ∠DAE = ∠DAC - ∠EAC = 40° - 30° = 10°。
(2) 在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C)$，
∵ AE是△ABC的高，
∴ ∠AEC = 90°，
在Rt△AEC中，∠EAC = 90° - ∠C，
∴ ∠DAE = ∠DAC - ∠EAC
= $\frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C) - (90° - ∠ C)$
= $90° - \frac{1}{2}∠ B - \frac{1}{2}∠ C - 90° + ∠ C$
= $\frac{1}{2}(∠ C - ∠ B)$，
即$\boldsymbol{∠ DAE = \frac{1}{2}(∠ C - ∠ B)}$。
解析
【分析】
(1) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠DAC的度数；然后由高的定义得△AEC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠EAC的度数，最后通过∠DAE=∠DAC-∠EAC计算即可。
(2) 沿用第一问的思路，将具体的角度替换为∠B、∠C，通过代数式的化简推导∠DAE与∠B、∠C的数量关系即可。
【解析】
(1) 在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°，
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = 40°，
∵ AE是△ABC的高，
∴ ∠AEC = 90°，
在Rt△AEC中，∠EAC = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°，
∴ ∠DAE = ∠DAC - ∠EAC = 40° - 30° = 10°。
(2) 在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C)$，
∵ AE是△ABC的高，
∴ ∠AEC = 90°，
在Rt△AEC中，∠EAC = 90° - ∠C，
∴ ∠DAE = ∠DAC - ∠EAC
= $\frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C) - (90° - ∠ C)$
= $90° - \frac{1}{2}∠ B - \frac{1}{2}∠ C - 90° + ∠ C$
= $\frac{1}{2}(∠ C - ∠ B)$，
即$\boldsymbol{∠ DAE = \frac{1}{2}(∠ C - ∠ B)}$。
【答案】
(1) $\boxed{10°}$；(2) $\boxed{∠DAE=\frac{1}{2}(∠C-∠B)}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题将三角形的高、角平分线与内角和定理结合考查，解题的关键是理清各角之间的和差关系，既考查了角度计算能力，也考查了从特殊到一般的规律推导能力，属于基础的几何综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠DAC的度数；然后由高的定义得△AEC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠EAC的度数，最后通过∠DAE=∠DAC-∠EAC计算即可。
(2) 沿用第一问的思路，将具体的角度替换为∠B、∠C，通过代数式的化简推导∠DAE与∠B、∠C的数量关系即可。
【解析】
(1) 在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°，
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = 40°，
∵ AE是△ABC的高，
∴ ∠AEC = 90°，
在Rt△AEC中，∠EAC = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°，
∴ ∠DAE = ∠DAC - ∠EAC = 40° - 30° = 10°。
(2) 在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C)$，
∵ AE是△ABC的高，
∴ ∠AEC = 90°，
在Rt△AEC中，∠EAC = 90° - ∠C，
∴ ∠DAE = ∠DAC - ∠EAC
= $\frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C) - (90° - ∠ C)$
= $90° - \frac{1}{2}∠ B - \frac{1}{2}∠ C - 90° + ∠ C$
= $\frac{1}{2}(∠ C - ∠ B)$，
即$\boldsymbol{∠ DAE = \frac{1}{2}(∠ C - ∠ B)}$。
【答案】
(1) $\boxed{10°}$；(2) $\boxed{∠DAE=\frac{1}{2}(∠C-∠B)}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题将三角形的高、角平分线与内角和定理结合考查，解题的关键是理清各角之间的和差关系，既考查了角度计算能力，也考查了从特殊到一般的规律推导能力，属于基础的几何综合题。
【难度系数】
0.7
