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6. 如图，AD是$△ ABC$的中线，CE是$△ ACD$的中线，DF是$△ CDE$的中线. 若$S_{△ DEF}=2$，则$S_{△ ABC}$等于（）.
A.16
B.14
C.12
D.10
A.16
B.14
C.12
D.10
答案
A
解析
【分析】
本题可利用三角形中线的性质解题：三角形的中线将三角形分成两个等底同高的小三角形，二者面积相等。解题时从已知面积的最小△DEF出发，依次根据DF、CE、AD是对应三角形的中线，逐步推导得到更大三角形的面积，最终求出$S_{△ ABC}$。
【解析】
解：
1. 因为DF是△CDE的中线，所以F为CE中点，△DEF与△DCF等底同高，因此$S_{△ CDE}=2S_{△ DEF}$。
已知$S_{△ DEF}=2$，代入得$S_{△ CDE}=2×2=4$。
2. 因为CE是△ACD的中线，所以E为AD中点，△CDE与△CAE等底同高，因此$S_{△ ACD}=2S_{△ CDE}=2×4=8$。
3. 因为AD是△ABC的中线，所以D为BC中点，△ACD与△ABD等底同高，因此$S_{△ ABC}=2S_{△ ACD}=2×8=16$。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形面积相关的基础常考题，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，解题时按照从小到大的顺序逐层推导面积即可，难度不高，熟练掌握中线的面积性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题可利用三角形中线的性质解题：三角形的中线将三角形分成两个等底同高的小三角形，二者面积相等。解题时从已知面积的最小△DEF出发，依次根据DF、CE、AD是对应三角形的中线，逐步推导得到更大三角形的面积，最终求出$S_{△ ABC}$。
【解析】
解：
1. 因为DF是△CDE的中线，所以F为CE中点，△DEF与△DCF等底同高，因此$S_{△ CDE}=2S_{△ DEF}$。
已知$S_{△ DEF}=2$，代入得$S_{△ CDE}=2×2=4$。
2. 因为CE是△ACD的中线，所以E为AD中点，△CDE与△CAE等底同高，因此$S_{△ ACD}=2S_{△ CDE}=2×4=8$。
3. 因为AD是△ABC的中线，所以D为BC中点，△ACD与△ABD等底同高，因此$S_{△ ABC}=2S_{△ ACD}=2×8=16$。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形面积相关的基础常考题，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，解题时按照从小到大的顺序逐层推导面积即可，难度不高，熟练掌握中线的面积性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
7. (2025昆明五华区期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AC≠ AB,AD$是斜边$BC$上的高,$DE⊥ AC,DF⊥ AB$,垂足分别为$E,F$,则图中与$∠ C(∠ C$除外$)$相等的角有().
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
A
解析
【分析】
要找出图中与∠C（∠C除外）相等的角，可结合直角三角形两锐角互余的性质，利用“同角的余角相等”推导角的等量关系，也可通过垂直关系判断平行线，利用平行线的同位角相等找相等的角，逐一排查即可。
【解析】
解：①
∵∠BAC=90°，
∴∠B + ∠C = 90°，
∵AD是斜边BC上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠B + ∠BAD = 90°，根据同角的余角相等，可得∠C=∠BAD；
②
∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠B + ∠BDF = 90°，结合∠B + ∠C=90°，可得∠C=∠BDF；
③
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADE + ∠CDE =90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠C + ∠CDE =90°，根据同角的余角相等，可得∠C=∠ADE。
综上，与∠C相等的角有∠BAD、∠BDF、∠ADE，共3个。
【答案】
A
【知识点】
余角的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题核心是利用直角三角形中互余的角的关系推导相等角，解题时要注意逐一排查，避免多数或漏数，同时要注意题干要求排除∠C本身，是基础的角度等量关系判断题。
【难度系数】
0.7
要找出图中与∠C（∠C除外）相等的角，可结合直角三角形两锐角互余的性质，利用“同角的余角相等”推导角的等量关系，也可通过垂直关系判断平行线，利用平行线的同位角相等找相等的角，逐一排查即可。
【解析】
解：①
∵∠BAC=90°，
∴∠B + ∠C = 90°，
∵AD是斜边BC上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠B + ∠BAD = 90°，根据同角的余角相等，可得∠C=∠BAD；
②
∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠B + ∠BDF = 90°，结合∠B + ∠C=90°，可得∠C=∠BDF；
③
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADE + ∠CDE =90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠C + ∠CDE =90°，根据同角的余角相等，可得∠C=∠ADE。
综上，与∠C相等的角有∠BAD、∠BDF、∠ADE，共3个。
【答案】
A
【知识点】
余角的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题核心是利用直角三角形中互余的角的关系推导相等角，解题时要注意逐一排查，避免多数或漏数，同时要注意题干要求排除∠C本身，是基础的角度等量关系判断题。
【难度系数】
0.7
8.(易错题)如图，∠1,∠2,∠3,∠4恒满足的关系是().
A.∠1+∠2=∠3+∠4
B.∠1+∠2=∠4−∠3
C.∠1+∠4=∠2+∠3
D.∠1+∠4=∠2−∠3
A.∠1+∠2=∠3+∠4
B.∠1+∠2=∠4−∠3
C.∠1+∠4=∠2+∠3
D.∠1+∠4=∠2−∠3
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用三角形外角的性质推导四个角的关系。首先回忆三角形外角的核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。解题时先把∠2看作某个小三角形的外角，找到它对应的两个不相邻内角，一个是∠1，另一个是我们设的中间角∠5；接着再把中间角∠5看作另一个三角形的外角，找到它对应的两个不相邻内角∠3和∠4，最后通过代入和等式变形就能得到四个角的关系。
【解析】
解：设∠2所在的小三角形中，与∠1不相邻的内角为∠5。
根据三角形外角的性质：
1. ∠2是包含∠1和∠5的三角形的外角，因此可得：$∠ 2 = ∠ 1 + ∠ 5$ ①；
2. ∠5是下方包含∠3、∠4的三角形的外角，因此可得：$∠ 5 = ∠ 3 + ∠ 4$ ②；
将②代入①得：$∠ 2 = ∠ 1 + ∠ 3 + ∠ 4$，
移项变形可得：$∠ 1 + ∠ 4 = ∠ 2 - ∠ 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形外角的性质 2.等式的变形
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是准确识别两次用到的外角及其对应的不相邻内角，很容易因找错内外角的对应关系推导错误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以利用三角形外角的性质推导四个角的关系。首先回忆三角形外角的核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。解题时先把∠2看作某个小三角形的外角，找到它对应的两个不相邻内角，一个是∠1，另一个是我们设的中间角∠5；接着再把中间角∠5看作另一个三角形的外角，找到它对应的两个不相邻内角∠3和∠4，最后通过代入和等式变形就能得到四个角的关系。
【解析】
解：设∠2所在的小三角形中，与∠1不相邻的内角为∠5。
根据三角形外角的性质：
1. ∠2是包含∠1和∠5的三角形的外角，因此可得：$∠ 2 = ∠ 1 + ∠ 5$ ①；
2. ∠5是下方包含∠3、∠4的三角形的外角，因此可得：$∠ 5 = ∠ 3 + ∠ 4$ ②；
将②代入①得：$∠ 2 = ∠ 1 + ∠ 3 + ∠ 4$，
移项变形可得：$∠ 1 + ∠ 4 = ∠ 2 - ∠ 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形外角的性质 2.等式的变形
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是准确识别两次用到的外角及其对应的不相邻内角，很容易因找错内外角的对应关系推导错误。
【难度系数】
0.6
二、填空题
9. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形支架，这是因为三角形具有性.
9. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形支架，这是因为三角形具有性.
答案
解：稳定
解析
【分析】
解题时先理解题目场景的需求：自行车的车架需要保持结构稳固，使用过程中不易变形。再回忆三角形的相关特性：三角形与容易变形的四边形不同，当三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，不会轻易发生形变，这一性质就是三角形的稳定性，结合题目中空格后已经给出“性”字，即可确定空格处应填的内容。
【解析】
三角形具有稳定性，即三边确定的三角形形状、大小固定，不易发生形变。生活中需要结构稳固的设计常利用三角形的这一特性，自行车将几根梁做成三角形支架，就是为了让车架更牢固、不易变形。由于题干中空格后已有“性”字，因此空格处填写“稳定”即可。
【答案】
稳定
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题考查三角形特性的实际应用，属于基础题，结合生活需求和所学的三角形性质就能轻松解答，体现了数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.9
解题时先理解题目场景的需求：自行车的车架需要保持结构稳固，使用过程中不易变形。再回忆三角形的相关特性：三角形与容易变形的四边形不同，当三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，不会轻易发生形变，这一性质就是三角形的稳定性，结合题目中空格后已经给出“性”字，即可确定空格处应填的内容。
【解析】
三角形具有稳定性，即三边确定的三角形形状、大小固定，不易发生形变。生活中需要结构稳固的设计常利用三角形的这一特性，自行车将几根梁做成三角形支架，就是为了让车架更牢固、不易变形。由于题干中空格后已有“性”字，因此空格处填写“稳定”即可。
【答案】
稳定
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题考查三角形特性的实际应用，属于基础题，结合生活需求和所学的三角形性质就能轻松解答，体现了数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.9
10.如图,点D在△ABC的边BC的延长线上,CE平分∠ACD,∠A=80°,∠B=40°,则∠ACE的大小是. 
答案
$\boldsymbol{60°}$
解析
【分析】
拿到题目后，首先梳理所求角和已知条件的关联：要求∠ACE的大小，已知CE平分∠ACD，因此只需先求出∠ACD的度数即可。∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可先通过已知的∠A、∠B的度数计算出∠ACD，再结合角平分线的定义求出∠ACE。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角
∴$∠ ACD=∠ A+∠ B$
已知$∠ A=80°$，$∠ B=40°$，代入得：
$∠ ACD=80°+40°=120°$
又
∵CE平分$∠ ACD$
∴$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×120°=60°$
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
三角形外角的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础题，重点考查核心性质的直接应用，解题关键是理清所求角与已知角之间的数量关系，分步计算即可，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
拿到题目后，首先梳理所求角和已知条件的关联：要求∠ACE的大小，已知CE平分∠ACD，因此只需先求出∠ACD的度数即可。∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可先通过已知的∠A、∠B的度数计算出∠ACD，再结合角平分线的定义求出∠ACE。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角
∴$∠ ACD=∠ A+∠ B$
已知$∠ A=80°$，$∠ B=40°$，代入得：
$∠ ACD=80°+40°=120°$
又
∵CE平分$∠ ACD$
∴$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×120°=60°$
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
三角形外角的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础题，重点考查核心性质的直接应用，解题关键是理清所求角与已知角之间的数量关系，分步计算即可，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
11.三角形的三边长分别为2,7,a,则奇数a的值是.
答案
7
解析
【分析】
遇到已知三角形两边长求第三边的问题，首先要联想到三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题第一步先根据三边关系求出a的取值范围，第二步再结合a是奇数的限制条件，从取值范围内筛选出符合要求的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系，第三边a的取值满足：
$\begin{cases}a ＜ 2+7 \\ a ＞ 7-2 \end{cases}$
计算可得：$5 ＜ a ＜ 9$
由于a是奇数，在$5 ＜ a ＜ 9$的范围内，仅存在奇数7，因此a的值为7。
【答案】
7
【知识点】
三角形三边关系、奇数的概念
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查三角形三边关系的应用，解题时需先准确确定未知边的取值范围，再结合题干给出的限制条件筛选结果，注意不要忽略三边关系的双向约束，避免取值范围判定错误。
【难度系数】
0.8
遇到已知三角形两边长求第三边的问题，首先要联想到三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题第一步先根据三边关系求出a的取值范围，第二步再结合a是奇数的限制条件，从取值范围内筛选出符合要求的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系，第三边a的取值满足：
$\begin{cases}a ＜ 2+7 \\ a ＞ 7-2 \end{cases}$
计算可得：$5 ＜ a ＜ 9$
由于a是奇数，在$5 ＜ a ＜ 9$的范围内，仅存在奇数7，因此a的值为7。
【答案】
7
【知识点】
三角形三边关系、奇数的概念
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查三角形三边关系的应用，解题时需先准确确定未知边的取值范围，再结合题干给出的限制条件筛选结果，注意不要忽略三边关系的双向约束，避免取值范围判定错误。
【难度系数】
0.8
12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,$AC=4$,$AD$为边$BC$的中线.若$△ ACD$的周长为$10$,则$△ ABD$的周长是.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
解题时首先根据AD是BC的中线，可得BD=CD；再分别写出△ABD和△ACD的周长表达式，对比发现两个周长的差异仅在AB和AC的长度，其余部分（BD与CD、公共边AD）都相等，因此只需先算出两个三角形的周长差，结合已知△ACD的周长即可求出△ABD的周长。
【解析】
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
△ACD的周长为$AC + CD + AD = 10$，
△ABD的周长为$AB + BD + AD$，
将两个周长相减可得：
$(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC$，
已知$AB=6$，$AC=4$，
∴△ABD的周长$-$△ACD的周长$= 6 - 4 = 2$，
又
∵△ACD的周长为10，
∴△ABD的周长$= 10 + 2 = 12$。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
三角形中线的定义；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是利用三角形中线得到相等的边，通过对比两个三角形的周长表达式消去相同的部分，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据AD是BC的中线，可得BD=CD；再分别写出△ABD和△ACD的周长表达式，对比发现两个周长的差异仅在AB和AC的长度，其余部分（BD与CD、公共边AD）都相等，因此只需先算出两个三角形的周长差，结合已知△ACD的周长即可求出△ABD的周长。
【解析】
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
△ACD的周长为$AC + CD + AD = 10$，
△ABD的周长为$AB + BD + AD$，
将两个周长相减可得：
$(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC$，
已知$AB=6$，$AC=4$，
∴△ABD的周长$-$△ACD的周长$= 6 - 4 = 2$，
又
∵△ACD的周长为10，
∴△ABD的周长$= 10 + 2 = 12$。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
三角形中线的定义；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是利用三角形中线得到相等的边，通过对比两个三角形的周长表达式消去相同的部分，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
三、解答题
13. 如图，在$△ ABC$中，$D$是边$BC$上一点，$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，$∠ BAC=63°$. 求$∠ DAC$的度数.
13. 如图，在$△ ABC$中，$D$是边$BC$上一点，$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，$∠ BAC=63°$. 求$∠ DAC$的度数.
答案
解：
∵ ∠3是△ABD的外角，
∴ ∠3 = ∠1 + ∠2，
又∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠3 = 2∠2，
∵ ∠3 = ∠4，
∴ ∠4 = 2∠2，
在△ABC中，∠BAC + ∠2 + ∠4 = 180°，
∵ ∠BAC = 63°，
∴ ∠2 + ∠4 = 180° - 63° = 117°，
把∠4=2∠2代入得：∠2 + 2∠2 = 117°，
即3∠2 = 117°，
解得∠2 = 39°，
∴ ∠1 = ∠2 = 39°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠1 = 63° - 39° = 24°。
∵ ∠3是△ABD的外角，
∴ ∠3 = ∠1 + ∠2，
又∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠3 = 2∠2，
∵ ∠3 = ∠4，
∴ ∠4 = 2∠2，
在△ABC中，∠BAC + ∠2 + ∠4 = 180°，
∵ ∠BAC = 63°，
∴ ∠2 + ∠4 = 180° - 63° = 117°，
把∠4=2∠2代入得：∠2 + 2∠2 = 117°，
即3∠2 = 117°，
解得∠2 = 39°，
∴ ∠1 = ∠2 = 39°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠1 = 63° - 39° = 24°。
解析
【分析】
要计算∠DAC的度数，已知∠BAC=63°，因此只需求出∠1的度数即可。首先观察图形，∠3是△ABD的外角，根据三角形外角的性质可建立∠3与∠1、∠2的关系，结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，可将∠4用∠2表示；再利用三角形内角和为180°，代入∠BAC的度数列式求出∠2的度数，即可得到∠1的度数，最后通过角的和差关系算出∠DAC。
【解析】
∵ ∠3是△ABD的外角，
∴ ∠3 = ∠1 + ∠2，
又
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠3 = 2∠2，
∵ ∠3 = ∠4，
∴ ∠4 = 2∠2，
在△ABC中，∠BAC + ∠2 + ∠4 = 180°，
∵ ∠BAC = 63°，
∴ ∠2 + ∠4 = 180° - 63° = 117°，
把∠4=2∠2代入得：∠2 + 2∠2 = 117°，
即3∠2 = 117°，
解得∠2 = 39°，
∴ ∠1 = ∠2 = 39°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠1 = 63° - 39° = 24°。
【答案】
24°
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，等量代换
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题型，核心是利用三角形外角性质梳理角之间的数量关系，再结合内角和定理求解，能较好地检验对三角形基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要计算∠DAC的度数，已知∠BAC=63°，因此只需求出∠1的度数即可。首先观察图形，∠3是△ABD的外角，根据三角形外角的性质可建立∠3与∠1、∠2的关系，结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，可将∠4用∠2表示；再利用三角形内角和为180°，代入∠BAC的度数列式求出∠2的度数，即可得到∠1的度数，最后通过角的和差关系算出∠DAC。
【解析】
∵ ∠3是△ABD的外角，
∴ ∠3 = ∠1 + ∠2，
又
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠3 = 2∠2，
∵ ∠3 = ∠4，
∴ ∠4 = 2∠2，
在△ABC中，∠BAC + ∠2 + ∠4 = 180°，
∵ ∠BAC = 63°，
∴ ∠2 + ∠4 = 180° - 63° = 117°，
把∠4=2∠2代入得：∠2 + 2∠2 = 117°，
即3∠2 = 117°，
解得∠2 = 39°，
∴ ∠1 = ∠2 = 39°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠1 = 63° - 39° = 24°。
【答案】
24°
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，等量代换
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题型，核心是利用三角形外角性质梳理角之间的数量关系，再结合内角和定理求解，能较好地检验对三角形基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
14. 已知等腰三角形的周长为18 cm,其中两边之差为3 cm. 求三角形的三边长.
答案
解：设等腰三角形的腰长为$x\ \mathrm{cm}$，底边长为$y\ \mathrm{cm}$，分两种情况求解：
1. 当腰长比底边长3 cm时，列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 18 \\x - y = 3\end{cases}$
解得：$\begin{cases} x=7 \\ y=4 \end{cases}$
三边长为7 cm，7 cm，4 cm，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合要求。
2. 当底边长比腰长3 cm时，列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 18 \\y - x = 3\end{cases}$
解得：$\begin{cases} x=5 \\ y=8 \end{cases}$
三边长为5 cm，5 cm，8 cm，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合要求。
答：这个三角形的三边长为7 cm、7 cm、4 cm或5 cm、5 cm、8 cm。
1. 当腰长比底边长3 cm时，列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 18 \\x - y = 3\end{cases}$
解得：$\begin{cases} x=7 \\ y=4 \end{cases}$
三边长为7 cm，7 cm，4 cm，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合要求。
2. 当底边长比腰长3 cm时，列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 18 \\y - x = 3\end{cases}$
解得：$\begin{cases} x=5 \\ y=8 \end{cases}$
三边长为5 cm，5 cm，8 cm，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合要求。
答：这个三角形的三边长为7 cm、7 cm、4 cm或5 cm、5 cm、8 cm。
解析
【分析】
等腰三角形两条腰长度相等，题目仅给出两边之差为3 cm，但未明确是腰比底长还是底比腰长，因此需要分两种情况讨论。我们可以设腰长为$x\ \mathrm{cm}$，底边长为$y\ \mathrm{cm}$，结合周长公式（2倍腰长+底边长=周长）和两边的差值列二元一次方程组求解，得到边长后还要验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不符合要求的结果。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$x\ \mathrm{cm}$，底边长为$y\ \mathrm{cm}$，分两种情况求解：
1. 当腰长比底边长3 cm时，列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 18 \\x - y = 3\end{cases}$
两式相加消去$y$得$3x=21$，解得$x=7$，代入$x-y=3$得$y=4$。
此时三边长为7 cm，7 cm，4 cm，验证：$7+4＞7$，$7+7＞4$，满足三角形三边关系，符合要求。
2. 当底边长比腰长3 cm时，列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 18 \\y - x = 3\end{cases}$
将$y=x+3$代入第一个方程得$3x+3=18$，解得$x=5$，则$y=8$。
此时三边长为5 cm，5 cm，8 cm，验证：$5+5＞8$，$5+8＞5$，满足三角形三边关系，符合要求。
【答案】
这个三角形的三边长为7 cm、7 cm、4 cm或5 cm、5 cm、8 cm。
【知识点】
等腰三角形的性质；二元一次方程组的应用；三角形三边关系
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的运用，解题时要考虑到边长差的两种可能性，避免漏解，同时求解后必须验证三边关系，防止出现无法构成三角形的错误。
【难度系数】
0.7
等腰三角形两条腰长度相等，题目仅给出两边之差为3 cm，但未明确是腰比底长还是底比腰长，因此需要分两种情况讨论。我们可以设腰长为$x\ \mathrm{cm}$，底边长为$y\ \mathrm{cm}$，结合周长公式（2倍腰长+底边长=周长）和两边的差值列二元一次方程组求解，得到边长后还要验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不符合要求的结果。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$x\ \mathrm{cm}$，底边长为$y\ \mathrm{cm}$，分两种情况求解：
1. 当腰长比底边长3 cm时，列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 18 \\x - y = 3\end{cases}$
两式相加消去$y$得$3x=21$，解得$x=7$，代入$x-y=3$得$y=4$。
此时三边长为7 cm，7 cm，4 cm，验证：$7+4＞7$，$7+7＞4$，满足三角形三边关系，符合要求。
2. 当底边长比腰长3 cm时，列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 18 \\y - x = 3\end{cases}$
将$y=x+3$代入第一个方程得$3x+3=18$，解得$x=5$，则$y=8$。
此时三边长为5 cm，5 cm，8 cm，验证：$5+5＞8$，$5+8＞5$，满足三角形三边关系，符合要求。
【答案】
这个三角形的三边长为7 cm、7 cm、4 cm或5 cm、5 cm、8 cm。
【知识点】
等腰三角形的性质；二元一次方程组的应用；三角形三边关系
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的运用，解题时要考虑到边长差的两种可能性，避免漏解，同时求解后必须验证三边关系，防止出现无法构成三角形的错误。
【难度系数】
0.7
