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基础知识·预习
问题1 举例说明什么是最简分式.
问题2 分式怎样约分和通分？依据是什么？
问题3 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？
问题1 举例说明什么是最简分式.
问题2 分式怎样约分和通分？依据是什么？
问题3 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？
答案
解：
问题1
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
举例：分式$\frac{2}{3a}$、$\frac{x-1}{x^2+1}$的分子和分母都不存在除1以外的公因式，无法继续约分，它们都是最简分式。
问题2
约分的做法：先将分式的分子、分母分别分解因式，再约去分子与分母的所有公因式。
通分的做法：先确定各分式的最简公分母，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为最简公分母，再将各分式的分子、分母同乘适当的整式，使所有分式的分母都化为最简公分母。
约分和通分的依据都是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
问题3
1. 约分的逻辑一致：都是先找出分子、分母的公因式，再约去公因式得到最简形式；
2. 通分的逻辑一致：都是先确定所有分母的公分母，再将各个式子变形为分母相同的形式；
3. 两类运算都属于不改变自身数值的恒等变形，依据都是对应的基本性质（分数的基本性质、分式的基本性质）。
问题1
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
举例：分式$\frac{2}{3a}$、$\frac{x-1}{x^2+1}$的分子和分母都不存在除1以外的公因式，无法继续约分，它们都是最简分式。
问题2
约分的做法：先将分式的分子、分母分别分解因式，再约去分子与分母的所有公因式。
通分的做法：先确定各分式的最简公分母，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为最简公分母，再将各分式的分子、分母同乘适当的整式，使所有分式的分母都化为最简公分母。
约分和通分的依据都是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
问题3
1. 约分的逻辑一致：都是先找出分子、分母的公因式，再约去公因式得到最简形式；
2. 通分的逻辑一致：都是先确定所有分母的公分母，再将各个式子变形为分母相同的形式；
3. 两类运算都属于不改变自身数值的恒等变形，依据都是对应的基本性质（分数的基本性质、分式的基本性质）。
解析
【分析】
这三个问题均围绕分式约分、通分相关的基础概念设置，思考逻辑如下：1. 解决问题1需先明确“公因式”的概念，先阐述最简分式的核心特征，再列举分子、分母无除1外公因式的分式作为示例即可；2. 解决问题2时，可结合约分、通分的目的梳理步骤：约分是为了把分式化为最简形式，因此步骤围绕“分解因式找公因式、约去公因式”展开，通分是为了把异分母分式化为同分母分式，因此步骤围绕“找最简公分母、统一分母”展开，二者都是不改变分式值的变形，依据均为分式的基本性质；3. 解决问题3需类比小学阶段学习的分数约分、通分的规则，从操作逻辑、变形性质、理论依据三个维度梳理共同点即可。
【解析】
问题1解答
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
举例：分式$\frac{2}{3a}$、$\frac{x-1}{x^2+1}$的分子和分母都不存在除1以外的公因式，无法继续约分，它们都是最简分式。
问题2解答
约分的做法：先将分式的分子、分母分别分解因式，再约去分子与分母的所有公因式。
通分的做法：先确定各分式的最简公分母，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为最简公分母，再将各分式的分子、分母同乘适当的整式，使所有分式的分母都化为最简公分母。
依据：约分和通分的依据都是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
问题3解答
1. 约分逻辑一致：都是先找出分子、分母的公因式，再约去公因式得到最简形式；
2. 通分逻辑一致：都是先确定所有分母的公分母，再将各个式子变形为分母相同的形式；
3. 变形性质一致：两类运算都属于不改变自身数值的恒等变形，依据都是对应的基本性质（分数的基本性质、分式的基本性质）。
【答案】
问题1：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，例如$\frac{2}{3a}$、$\frac{x-1}{x^2+1}$都是最简分式；
问题2：约分步骤为分解分子分母因式、约去所有公因式，通分步骤为确定最简公分母、将各分式分母化为最简公分母，二者依据都是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；
问题3：约分通分的操作逻辑一致，均为恒等变形，依据都是对应数/式的基本性质。
【知识点】
最简分式的定义、分式的约分与通分、分式的基本性质
【点评】
本题属于分式运算的基础概念类题目，侧重考察对核心概念的理解和类比学习的能力，相关内容是后续学习分式四则运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
这三个问题均围绕分式约分、通分相关的基础概念设置，思考逻辑如下：1. 解决问题1需先明确“公因式”的概念，先阐述最简分式的核心特征，再列举分子、分母无除1外公因式的分式作为示例即可；2. 解决问题2时，可结合约分、通分的目的梳理步骤：约分是为了把分式化为最简形式，因此步骤围绕“分解因式找公因式、约去公因式”展开，通分是为了把异分母分式化为同分母分式，因此步骤围绕“找最简公分母、统一分母”展开，二者都是不改变分式值的变形，依据均为分式的基本性质；3. 解决问题3需类比小学阶段学习的分数约分、通分的规则，从操作逻辑、变形性质、理论依据三个维度梳理共同点即可。
【解析】
问题1解答
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
举例：分式$\frac{2}{3a}$、$\frac{x-1}{x^2+1}$的分子和分母都不存在除1以外的公因式，无法继续约分，它们都是最简分式。
问题2解答
约分的做法：先将分式的分子、分母分别分解因式，再约去分子与分母的所有公因式。
通分的做法：先确定各分式的最简公分母，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为最简公分母，再将各分式的分子、分母同乘适当的整式，使所有分式的分母都化为最简公分母。
依据：约分和通分的依据都是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
问题3解答
1. 约分逻辑一致：都是先找出分子、分母的公因式，再约去公因式得到最简形式；
2. 通分逻辑一致：都是先确定所有分母的公分母，再将各个式子变形为分母相同的形式；
3. 变形性质一致：两类运算都属于不改变自身数值的恒等变形，依据都是对应的基本性质（分数的基本性质、分式的基本性质）。
【答案】
问题1：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，例如$\frac{2}{3a}$、$\frac{x-1}{x^2+1}$都是最简分式；
问题2：约分步骤为分解分子分母因式、约去所有公因式，通分步骤为确定最简公分母、将各分式分母化为最简公分母，二者依据都是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；
问题3：约分通分的操作逻辑一致，均为恒等变形，依据都是对应数/式的基本性质。
【知识点】
最简分式的定义、分式的约分与通分、分式的基本性质
【点评】
本题属于分式运算的基础概念类题目，侧重考察对核心概念的理解和类比学习的能力，相关内容是后续学习分式四则运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
1. 化简下列分式：
(1)$\frac{-35a^4b}{21a^2b^3}$；(2)$\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}$。
(1)$\frac{-35a^4b}{21a^2b^3}$；(2)$\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}$。
答案
1.【解】(1)$\frac{-35a^4b}{21a^2b^3}=-\frac{7a^2b · 5a^2}{7a^2b · 3b^2}=-\frac{5a^2}{3b^2}.$
(2)$\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}=\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}.$
(2)$\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}=\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}.$
解析
【分析】
分式化简的核心是利用分式的基本性质进行约分，约去分子分母的公因式得到最简分式。
（1）针对分子分母均为单项式的分式，先确定公因式：先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者组合即为公因式，约去公因式时注意处理好符号即可。
（2）针对分子分母为多项式的分式，先利用因式分解公式把分子、分母分别转化为乘积形式，再找出公因式约去即可，约分默认分式有意义，即约去的公因式不为0。
【解析】
(1) $\frac{-35a^4b}{21a^2b^3}=-\frac{7a^2b · 5a^2}{7a^2b · 3b^2}=-\frac{5a^2}{3b^2}$
(2) $\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}=\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}$
【答案】
(1)$-\dfrac{5a^2}{3b^2}$；(2)$\dfrac{x+3}{x-3}$
【知识点】
分式的基本性质，分式的约分，因式分解
【点评】
本题是分式约分的基础题型，需掌握单项式、多项式两类分式的约分方法，多项式形式的分子分母要先因式分解再找公因式约分，计算时注意符号处理，是后续分式四则运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
分式化简的核心是利用分式的基本性质进行约分，约去分子分母的公因式得到最简分式。
（1）针对分子分母均为单项式的分式，先确定公因式：先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者组合即为公因式，约去公因式时注意处理好符号即可。
（2）针对分子分母为多项式的分式，先利用因式分解公式把分子、分母分别转化为乘积形式，再找出公因式约去即可，约分默认分式有意义，即约去的公因式不为0。
【解析】
(1) $\frac{-35a^4b}{21a^2b^3}=-\frac{7a^2b · 5a^2}{7a^2b · 3b^2}=-\frac{5a^2}{3b^2}$
(2) $\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}=\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}$
【答案】
(1)$-\dfrac{5a^2}{3b^2}$；(2)$\dfrac{x+3}{x-3}$
【知识点】
分式的基本性质，分式的约分，因式分解
【点评】
本题是分式约分的基础题型，需掌握单项式、多项式两类分式的约分方法，多项式形式的分子分母要先因式分解再找公因式约分，计算时注意符号处理，是后续分式四则运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
