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基础知识·预习
问题1 用直接开平方法解一元二次方程时，方程必须是什么形式？
问题2 一元二次方程的根有哪几种情况？
问题3 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
问题1 用直接开平方法解一元二次方程时，方程必须是什么形式？
问题2 一元二次方程的根有哪几种情况？
问题3 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
答案
解：
问题1：用直接开平方法解一元二次方程时，方程必须化为形如$(mx+n)^2 = p$（$m≠0$，$p≥0$）的形式，即等号左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数。
问题2：一元二次方程的根有三种情况：
① 当方程整理为完全平方式等于常数的形式后，若右侧常数大于0，方程有两个不相等的实数根；
② 若右侧常数等于0，方程有两个相等的实数根；
③ 若右侧常数小于0，方程没有实数根。
问题3：用配方法解一元二次方程的一般步骤为：
① 化二次项系数为1：将方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1；
② 移项：把常数项移到方程的右侧，使方程左侧仅保留二次项和一次项；
③ 配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧改写为完全平方式，右侧合并计算常数项；
④ 开方：若方程右侧的常数为非负数，对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程；若右侧常数为负数，则原方程无实数根；
⑤ 求解得到的两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的根。
问题1：用直接开平方法解一元二次方程时，方程必须化为形如$(mx+n)^2 = p$（$m≠0$，$p≥0$）的形式，即等号左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数。
问题2：一元二次方程的根有三种情况：
① 当方程整理为完全平方式等于常数的形式后，若右侧常数大于0，方程有两个不相等的实数根；
② 若右侧常数等于0，方程有两个相等的实数根；
③ 若右侧常数小于0，方程没有实数根。
问题3：用配方法解一元二次方程的一般步骤为：
① 化二次项系数为1：将方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1；
② 移项：把常数项移到方程的右侧，使方程左侧仅保留二次项和一次项；
③ 配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧改写为完全平方式，右侧合并计算常数项；
④ 开方：若方程右侧的常数为非负数，对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程；若右侧常数为负数，则原方程无实数根；
⑤ 求解得到的两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的根。
解析
【分析】
这三道题均为一元二次方程配方法相关的基础概念类问题，可结合平方根的性质推导思考：①问题1中直接开平方法的本质是对等式两边开平方，只有等式左边为含未知数的完全平方式、右边为非负常数时，开平方才有意义，由此可推导对应方程形式；②问题2可结合平方数的非负性判断：完全平方式的结果不可能为负，因此根据完全平方式右侧常数的正负即可判断根的三种情况；③问题3配方法的核心是将一般形式的一元二次方程转化为可直接开平方的形式，按照转化的逻辑顺序即可梳理出步骤。
【解析】
我们对三个问题逐一解答：
问题1：用直接开平方法解一元二次方程时，方程必须化为形如$(mx+n)^2 = p$（$m≠0$，$p≥0$）的形式，即等号左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数。
问题2：一元二次方程的根有三种情况：
① 当方程整理为完全平方式等于常数的形式后，若右侧常数大于0，方程有两个不相等的实数根；
② 若右侧常数等于0，方程有两个相等的实数根；
③ 若右侧常数小于0，方程没有实数根。
问题3：用配方法解一元二次方程的一般步骤为：
① 化二次项系数为1：将方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1；
② 移项：把常数项移到方程的右侧，使方程左侧仅保留二次项和一次项；
③ 配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧改写为完全平方式，右侧合并计算常数项；
④ 开方：若方程右侧的常数为非负数，对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程；若右侧常数为负数，则原方程无实数根；
⑤ 求解得到的两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的根。
【答案】
问题1：方程必须化为形如$(mx+n)^2 = p$（$m≠0$，$p≥0$）的形式，即等号左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数。
问题2：共三种情况：①右侧常数大于0时，有两个不相等的实数根；②右侧常数等于0时，有两个相等的实数根；③右侧常数小于0时，没有实数根。
问题3：步骤为①化二次项系数为1；②移项；③配方凑完全平方式；④开平方；⑤解一元一次方程得根。
【知识点】
直接开平方法适用条件；一元二次方程根的分类；配方法解方程步骤
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础概念题，是后续灵活运用配方法及其他方法解一元二次方程的核心前提，需要准确记忆并理解相关结论，为后续解方程运算及应用类问题打好基础。
【难度系数】
0.85
这三道题均为一元二次方程配方法相关的基础概念类问题，可结合平方根的性质推导思考：①问题1中直接开平方法的本质是对等式两边开平方，只有等式左边为含未知数的完全平方式、右边为非负常数时，开平方才有意义，由此可推导对应方程形式；②问题2可结合平方数的非负性判断：完全平方式的结果不可能为负，因此根据完全平方式右侧常数的正负即可判断根的三种情况；③问题3配方法的核心是将一般形式的一元二次方程转化为可直接开平方的形式，按照转化的逻辑顺序即可梳理出步骤。
【解析】
我们对三个问题逐一解答：
问题1：用直接开平方法解一元二次方程时，方程必须化为形如$(mx+n)^2 = p$（$m≠0$，$p≥0$）的形式，即等号左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数。
问题2：一元二次方程的根有三种情况：
① 当方程整理为完全平方式等于常数的形式后，若右侧常数大于0，方程有两个不相等的实数根；
② 若右侧常数等于0，方程有两个相等的实数根；
③ 若右侧常数小于0，方程没有实数根。
问题3：用配方法解一元二次方程的一般步骤为：
① 化二次项系数为1：将方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1；
② 移项：把常数项移到方程的右侧，使方程左侧仅保留二次项和一次项；
③ 配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧改写为完全平方式，右侧合并计算常数项；
④ 开方：若方程右侧的常数为非负数，对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程；若右侧常数为负数，则原方程无实数根；
⑤ 求解得到的两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的根。
【答案】
问题1：方程必须化为形如$(mx+n)^2 = p$（$m≠0$，$p≥0$）的形式，即等号左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数。
问题2：共三种情况：①右侧常数大于0时，有两个不相等的实数根；②右侧常数等于0时，有两个相等的实数根；③右侧常数小于0时，没有实数根。
问题3：步骤为①化二次项系数为1；②移项；③配方凑完全平方式；④开平方；⑤解一元一次方程得根。
【知识点】
直接开平方法适用条件；一元二次方程根的分类；配方法解方程步骤
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础概念题，是后续灵活运用配方法及其他方法解一元二次方程的核心前提，需要准确记忆并理解相关结论，为后续解方程运算及应用类问题打好基础。
【难度系数】
0.85
【典型例题1】用直接开平方法解下列方程.
(1)$4x^2 -9=0$.
(2)$(x-1)^2 -49=0$.
(3)$2(x+5)^2=\frac{1}{2}$.
【解】(1)移项,并将二次项系数化为1,得$x^2=\frac{9}{4}$.
由此可得$x=\pm\frac{3}{2}$,
即$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(2)移项,得$(x-1)^2=49$.
由此可得$x-1=\pm7$,
$x-1=7$,或$x-1=-7$,
即$x_1=8,x_2=-6$.
(3)方程两边都除以2,得$(x+5)^2=\frac{1}{4}$.
由此可得$x+5=\pm\frac{1}{2}$,
$x+5=\frac{1}{2}$,或$x+5=-\frac{1}{2}$,
即$x_1=-\frac{9}{2},x_2=-\frac{11}{2}$.
(1)$4x^2 -9=0$.
(2)$(x-1)^2 -49=0$.
(3)$2(x+5)^2=\frac{1}{2}$.
【解】(1)移项,并将二次项系数化为1,得$x^2=\frac{9}{4}$.
由此可得$x=\pm\frac{3}{2}$,
即$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(2)移项,得$(x-1)^2=49$.
由此可得$x-1=\pm7$,
$x-1=7$,或$x-1=-7$,
即$x_1=8,x_2=-6$.
(3)方程两边都除以2,得$(x+5)^2=\frac{1}{4}$.
由此可得$x+5=\pm\frac{1}{2}$,
$x+5=\frac{1}{2}$,或$x+5=-\frac{1}{2}$,
即$x_1=-\frac{9}{2},x_2=-\frac{11}{2}$.
答案
解：
(1) 移项，得$4x^2=9$，
二次项系数化为1，得$x^2=\frac{9}{4}$，
直接开平方，得$x=\pm\frac{3}{2}$，
即$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{3}{2}$。
(2) 移项，得$(x-1)^2=49$，
直接开平方，得$x-1=\pm7$，
即$x-1=7$或$x-1=-7$，
解得$x_1=8$，$x_2=-6$。
(3) 方程两边同时除以2，得$(x+5)^2=\frac{1}{4}$，
直接开平方，得$x+5=\pm\frac{1}{2}$，
即$x+5=\frac{1}{2}$或$x+5=-\frac{1}{2}$，
解得$x_1=-\frac{9}{2}$，$x_2=-\frac{11}{2}$。
(1) 移项，得$4x^2=9$，
二次项系数化为1，得$x^2=\frac{9}{4}$，
直接开平方，得$x=\pm\frac{3}{2}$，
即$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{3}{2}$。
(2) 移项，得$(x-1)^2=49$，
直接开平方，得$x-1=\pm7$，
即$x-1=7$或$x-1=-7$，
解得$x_1=8$，$x_2=-6$。
(3) 方程两边同时除以2，得$(x+5)^2=\frac{1}{4}$，
直接开平方，得$x+5=\pm\frac{1}{2}$，
即$x+5=\frac{1}{2}$或$x+5=-\frac{1}{2}$，
解得$x_1=-\frac{9}{2}$，$x_2=-\frac{11}{2}$。
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程变形为“左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数”的形式，再根据平方根的定义将二次方程降次为两个一元一次方程求解。具体解题思路：(1)属于$ax^2+b=0$（$a,b$异号）类型，先移项、将二次项系数化为1，得到$x^2=$常数的形式再开平方；(2)(3)属于含未知数的整体完全平方等于常数的类型，先通过移项、系数化为1把完全平方式单独放在等号左侧，再把括号内的式子看作整体开平方，最后解一元一次方程即可得到方程的根。
【解析】
(1) 移项，得$4x^2=9$，
二次项系数化为1，得$x^2=\frac{9}{4}$，
直接开平方，得$x=\pm\frac{3}{2}$，
即$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{3}{2}$。
(2) 移项，得$(x-1)^2=49$，
直接开平方，得$x-1=\pm7$，
即$x-1=7$或$x-1=-7$，
解得$x_1=8$，$x_2=-6$。
(3) 方程两边同时除以2，得$(x+5)^2=\frac{1}{4}$，
直接开平方，得$x+5=\pm\frac{1}{2}$，
即$x+5=\frac{1}{2}$或$x+5=-\frac{1}{2}$，
解得$x_1=-\frac{9}{2}$，$x_2=-\frac{11}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；
(2) $x_1=8,x_2=-6$；
(3) $x_1=-\frac{9}{2},x_2=-\frac{11}{2}$。
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方根的性质
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是熟练掌握直接开平方法的方程变形要求，注意开平方后所得的两个根互为相反数，避免漏解；对于含整体完全平方的方程，运用整体思想可快速简化求解过程。
【难度系数】
0.8
用直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程变形为“左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数”的形式，再根据平方根的定义将二次方程降次为两个一元一次方程求解。具体解题思路：(1)属于$ax^2+b=0$（$a,b$异号）类型，先移项、将二次项系数化为1，得到$x^2=$常数的形式再开平方；(2)(3)属于含未知数的整体完全平方等于常数的类型，先通过移项、系数化为1把完全平方式单独放在等号左侧，再把括号内的式子看作整体开平方，最后解一元一次方程即可得到方程的根。
【解析】
(1) 移项，得$4x^2=9$，
二次项系数化为1，得$x^2=\frac{9}{4}$，
直接开平方，得$x=\pm\frac{3}{2}$，
即$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{3}{2}$。
(2) 移项，得$(x-1)^2=49$，
直接开平方，得$x-1=\pm7$，
即$x-1=7$或$x-1=-7$，
解得$x_1=8$，$x_2=-6$。
(3) 方程两边同时除以2，得$(x+5)^2=\frac{1}{4}$，
直接开平方，得$x+5=\pm\frac{1}{2}$，
即$x+5=\frac{1}{2}$或$x+5=-\frac{1}{2}$，
解得$x_1=-\frac{9}{2}$，$x_2=-\frac{11}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；
(2) $x_1=8,x_2=-6$；
(3) $x_1=-\frac{9}{2},x_2=-\frac{11}{2}$。
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方根的性质
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是熟练掌握直接开平方法的方程变形要求，注意开平方后所得的两个根互为相反数，避免漏解；对于含整体完全平方的方程，运用整体思想可快速简化求解过程。
【难度系数】
0.8
