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1. 直线 $y=kx+5(k≠0)$ 与 $x$ 轴交于点 $(-5,0)$。下列说法正确的是(
A.$k＜0$
B.已知直线上两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，若 $x_1＜x_2$，则 $y_1＞y_2$
C.直线经过第四象限
D.关于 $x$ 的方程 $kx+5=0$ 的解为 $x=-5$
D
)A.$k＜0$
B.已知直线上两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，若 $x_1＜x_2$，则 $y_1＞y_2$
C.直线经过第四象限
D.关于 $x$ 的方程 $kx+5=0$ 的解为 $x=-5$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先将已知交点坐标代入直线解析式求出k的值，再结合一次函数的增减性、过象限的规律逐一判断A、B、C选项，最后根据一次函数与一元一次方程的对应关系判断D选项即可。
【解析】
将交点$(-5,0)$代入直线解析式$y=kx+5$中：
$\quad 0=-5k+5$
解得$k=1$
对各选项逐一判断：
A选项：$k=1＞0$，该说法错误；
B选项：$k=1＞0$，一次函数$y$随$x$的增大而增大，因此若$x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$，该说法错误；
C选项：一次函数$y=x+5$中$k＞0$、$b=5＞0$，直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，该说法错误；
D选项：一次函数$y=kx+5$与$x$轴交点的横坐标就是方程$kx+5=0$的解，已知交点横坐标为$-5$，因此方程的解为$x=-5$，该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数基础题，需要熟练掌握一次函数参数$k$、$b$的几何意义，以及一次函数与对应一元一次方程的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先将已知交点坐标代入直线解析式求出k的值，再结合一次函数的增减性、过象限的规律逐一判断A、B、C选项，最后根据一次函数与一元一次方程的对应关系判断D选项即可。
【解析】
将交点$(-5,0)$代入直线解析式$y=kx+5$中：
$\quad 0=-5k+5$
解得$k=1$
对各选项逐一判断：
A选项：$k=1＞0$，该说法错误；
B选项：$k=1＞0$，一次函数$y$随$x$的增大而增大，因此若$x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$，该说法错误；
C选项：一次函数$y=x+5$中$k＞0$、$b=5＞0$，直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，该说法错误；
D选项：一次函数$y=kx+5$与$x$轴交点的横坐标就是方程$kx+5=0$的解，已知交点横坐标为$-5$，因此方程的解为$x=-5$，该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数基础题，需要熟练掌握一次函数参数$k$、$b$的几何意义，以及一次函数与对应一元一次方程的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.某游客爬上3 km高的山顶看日出。他先用1 h爬了2 km，休息0.5 h后，再用1 h到达山顶。下列图象中，能大致反映游客爬山过程中离地面的高度y(单位:km)与所用时间t(单位:h)之间的函数关系的是(
D
)答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先将游客的爬山过程拆分为3个阶段分析高度随时间的变化规律：①第一阶段0~1h，爬山高度随时间增加而上升，1h时高度达到2km；②第二阶段1~1.5h，游客休息，时间增加但高度不变，对应图像为水平线段；③第三阶段1.5~2.5h，游客继续爬山，高度随时间增加再次上升，2.5h时到达3km高的山顶，之后高度保持3km不再变化。再结合上述规律逐一对比选项，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们分阶段分析高度与时间的关系：
1. 0~1h：游客爬了2km，高度y随时间t增大而增大，t=1时y=2；
2. 1~1.5h：游客休息0.5h，高度保持2km不变，对应图像为水平线段，因此可排除无水平段的B、C选项；
3. 1.5~2.5h：游客再用1h爬到3km的山顶，此时t=2.5时y=3，到达山顶后高度不再上升，因此可排除到达3km后高度仍持续上升的A选项。
只有D选项完全符合所有阶段的变化规律。
【答案】
D
【知识点】
函数图像的实际应用，分段函数，一次函数的图像
【点评】
本题是结合生活情境的函数图像识别题，核心是梳理不同时间段内因变量随自变量的变化特征，通过特征排除法即可快速锁定正确选项，这类题型是函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先将游客的爬山过程拆分为3个阶段分析高度随时间的变化规律：①第一阶段0~1h，爬山高度随时间增加而上升，1h时高度达到2km；②第二阶段1~1.5h，游客休息，时间增加但高度不变，对应图像为水平线段；③第三阶段1.5~2.5h，游客继续爬山，高度随时间增加再次上升，2.5h时到达3km高的山顶，之后高度保持3km不再变化。再结合上述规律逐一对比选项，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们分阶段分析高度与时间的关系：
1. 0~1h：游客爬了2km，高度y随时间t增大而增大，t=1时y=2；
2. 1~1.5h：游客休息0.5h，高度保持2km不变，对应图像为水平线段，因此可排除无水平段的B、C选项；
3. 1.5~2.5h：游客再用1h爬到3km的山顶，此时t=2.5时y=3，到达山顶后高度不再上升，因此可排除到达3km后高度仍持续上升的A选项。
只有D选项完全符合所有阶段的变化规律。
【答案】
D
【知识点】
函数图像的实际应用，分段函数，一次函数的图像
【点评】
本题是结合生活情境的函数图像识别题，核心是梳理不同时间段内因变量随自变量的变化特征，通过特征排除法即可快速锁定正确选项，这类题型是函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
3.若关于x的方程$ax+b=2$的解为$x=-5$，则一次函数$y=ax+b-2$的图象与x轴交点的坐标为
(-5,0)
。答案
3.$(-5,0)$
解析
【分析】
解题前先明确两个核心逻辑：一是一次函数图象与x轴交点的纵坐标恒为0，求交点坐标时可令y=0，将函数问题转化为方程问题；二是一元一次方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值。本题中已知方程$ax+b=2$的解为$x=-5$，我们只需将一次函数与x轴交点对应的方程和已知方程建立联系，即可快速得到答案。
【解析】
解：
∵ 一次函数图象与x轴交点的纵坐标为0，
∴ 令$y=ax+b-2=0$，整理可得$ax+b=2$。
∵ 关于x的方程$ax+b=2$的解为$x=-5$，
∴ 当$y=0$时，自变量x的取值为-5，
即一次函数$y=ax+b-2$的图象与x轴交点的坐标为$(-5,0)$。
【答案】
$(-5,0)$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象与坐标轴交点特征
【点评】
本题是一次函数和一元一次方程结合的基础题型，解题关键是理解一次函数与对应一元一次方程的内在联系，掌握坐标轴上点的坐标特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题前先明确两个核心逻辑：一是一次函数图象与x轴交点的纵坐标恒为0，求交点坐标时可令y=0，将函数问题转化为方程问题；二是一元一次方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值。本题中已知方程$ax+b=2$的解为$x=-5$，我们只需将一次函数与x轴交点对应的方程和已知方程建立联系，即可快速得到答案。
【解析】
解：
∵ 一次函数图象与x轴交点的纵坐标为0，
∴ 令$y=ax+b-2=0$，整理可得$ax+b=2$。
∵ 关于x的方程$ax+b=2$的解为$x=-5$，
∴ 当$y=0$时，自变量x的取值为-5，
即一次函数$y=ax+b-2$的图象与x轴交点的坐标为$(-5,0)$。
【答案】
$(-5,0)$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象与坐标轴交点特征
【点评】
本题是一次函数和一元一次方程结合的基础题型，解题关键是理解一次函数与对应一元一次方程的内在联系，掌握坐标轴上点的坐标特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.某品牌汽车油箱的容量为20 L。油箱中剩余油量 y(单位:L)与汽车行驶路程 x(单位:km)之间的关系如图所示。10 L汽油可供该汽车行驶
125
km。答案
4.125 km
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先从函数图像中提取已知信息：剩余油量y和行驶路程x满足一次函数关系，图像经过(0,20)和(100,12)两个点。我们既可以先通过已知路程对应的耗油量算出每升油可行驶的路程，再计算10L油的行驶路程；也可以用待定系数法求出一次函数解析式，得到油量和路程的对应关系，再计算10L汽油对应的行驶路程。
【解析】
方法一（算术法）：
1. 观察图像可知，汽车行驶100km的耗油量为初始油量减去剩余油量：$20-12=8\ \mathrm{L}$；
2. 计算每升汽油可供汽车行驶的路程：$100÷8=12.5\ \mathrm{km/L}$；
3. 计算10L汽油可供行驶的路程：$12.5×10=125\ \mathrm{km}$。
方法二（一次函数法）：
1. 设剩余油量y与行驶路程x的函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$；
2. 将点$(0,20)$、$(100,12)$代入解析式：
当$x=0$时，$b=20$；
把$b=20$、$x=100$、$y=12$代入得$100k+20=12$，解得$k=-0.08$；
因此函数解析式为$y=-0.08x+20$；
3. 当20L油全部用完时$y=0$，代入解析式得$0=-0.08x+20$，解得$x=250$，即20L油可行驶250km；
4. 10L油的行驶路程为$250÷2=125\ \mathrm{km}$。
【答案】
125 km
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，图像信息提取
【点评】
本题结合汽车耗油的生活场景，考查学生从函数图像中提取有效信息、运用数学知识解决实际问题的能力，解题核心是理清油量和行驶路程的数量关系，既可以用算术方法快速计算，也可以通过一次函数知识求解，灵活性较强。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以先从函数图像中提取已知信息：剩余油量y和行驶路程x满足一次函数关系，图像经过(0,20)和(100,12)两个点。我们既可以先通过已知路程对应的耗油量算出每升油可行驶的路程，再计算10L油的行驶路程；也可以用待定系数法求出一次函数解析式，得到油量和路程的对应关系，再计算10L汽油对应的行驶路程。
【解析】
方法一（算术法）：
1. 观察图像可知，汽车行驶100km的耗油量为初始油量减去剩余油量：$20-12=8\ \mathrm{L}$；
2. 计算每升汽油可供汽车行驶的路程：$100÷8=12.5\ \mathrm{km/L}$；
3. 计算10L汽油可供行驶的路程：$12.5×10=125\ \mathrm{km}$。
方法二（一次函数法）：
1. 设剩余油量y与行驶路程x的函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$；
2. 将点$(0,20)$、$(100,12)$代入解析式：
当$x=0$时，$b=20$；
把$b=20$、$x=100$、$y=12$代入得$100k+20=12$，解得$k=-0.08$；
因此函数解析式为$y=-0.08x+20$；
3. 当20L油全部用完时$y=0$，代入解析式得$0=-0.08x+20$，解得$x=250$，即20L油可行驶250km；
4. 10L油的行驶路程为$250÷2=125\ \mathrm{km}$。
【答案】
125 km
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，图像信息提取
【点评】
本题结合汽车耗油的生活场景，考查学生从函数图像中提取有效信息、运用数学知识解决实际问题的能力，解题核心是理清油量和行驶路程的数量关系，既可以用算术方法快速计算，也可以通过一次函数知识求解，灵活性较强。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变。已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作。甲、乙两台机器人分拣快递的总数量$y$(单位:件)与乙机器人工作时间$x$(单位:min)之间的函数关系如图所示。
(1) 甲机器人停工保养的时间为
(2) 求AB所在直线对应的函数表达式。
(3) 若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人的工作时间为
(1) 甲机器人停工保养的时间为
20
min，$m=$ 3 800
。(2) 求AB所在直线对应的函数表达式。
(3) 若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人的工作时间为
110
min。答案
(1) 20，3800
(2)解:因为 $2\ 200÷40=55$(件/min),
所以甲、乙机器人同时工作的效率为55 件/min。
所以 AB 所在直线对应的函数表达式为 $y=2\ 700+55(x-60)=55x-600$。
(3) 110
解析
【分析】
解题前先明确分段函数每一段的实际意义：①0~40min：甲、乙两台机器人同时工作；②40~60min：甲停工保养，仅乙单独工作；③60min之后：甲保养结束，甲乙再次同时工作。
(1) 甲停工保养的时间就是仅乙工作的时长，即两段时间的差；求m时，先算出甲乙同时工作的效率，再算60~80min两人的总工作量，加2700即可得到m的值。
(2) 求AB段函数表达式，可先确定AB段两个端点的坐标，用待定系数法求解，也可结合60min后甲乙的总效率直接列函数式。
(3) 总数量5450件大于3800件，说明工作时间在AB段范围内，将y=5450代入AB段的函数表达式，求解x即可。
【解析】
(1) 甲停工保养的时间为$60-40=20$（min）；
0~40min甲乙共分拣2200件，因此甲乙同时工作的效率为$2200÷40=55$（件/min）；
60~80min甲乙同时工作20min，分拣总量为$55×20=1100$（件），因此$m=2700+1100=3800$。
(2) 设AB所在直线的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
由题意得A点坐标为$(60,2700)$，B点坐标为$(80,3800)$，代入得：
$\begin{cases}60k+b=2700\\80k+b=3800\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子得：$20k=1100$，解得$k=55$，
将$k=55$代入$60k+b=2700$，得$60×55+b=2700$，解得$b=-600$，
因此AB所在直线的函数表达式为$y=55x-600$（$x≥60$）。
(3) 当总数量为5450件时，将$y=5450$代入$y=55x-600$，得：
$55x-600=5450$
$55x=6050$
解得$x=110$，即乙机器人的工作时间为110min。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20}$，$\boldsymbol{3800}$
(2) $\boldsymbol{y=55x-600}$（$x≥60$）
(3) $\boldsymbol{110}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；分段函数应用
【点评】
本题以快递分拣为实际背景考查一次函数的相关应用，解题核心是读懂分段函数图像每一段对应的实际工作场景，结合工作量、工作效率、工作时间三者的关系计算，是一次函数与实际结合的典型题型。
【难度系数】
0.65
解题前先明确分段函数每一段的实际意义：①0~40min：甲、乙两台机器人同时工作；②40~60min：甲停工保养，仅乙单独工作；③60min之后：甲保养结束，甲乙再次同时工作。
(1) 甲停工保养的时间就是仅乙工作的时长，即两段时间的差；求m时，先算出甲乙同时工作的效率，再算60~80min两人的总工作量，加2700即可得到m的值。
(2) 求AB段函数表达式，可先确定AB段两个端点的坐标，用待定系数法求解，也可结合60min后甲乙的总效率直接列函数式。
(3) 总数量5450件大于3800件，说明工作时间在AB段范围内，将y=5450代入AB段的函数表达式，求解x即可。
【解析】
(1) 甲停工保养的时间为$60-40=20$（min）；
0~40min甲乙共分拣2200件，因此甲乙同时工作的效率为$2200÷40=55$（件/min）；
60~80min甲乙同时工作20min，分拣总量为$55×20=1100$（件），因此$m=2700+1100=3800$。
(2) 设AB所在直线的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
由题意得A点坐标为$(60,2700)$，B点坐标为$(80,3800)$，代入得：
$\begin{cases}60k+b=2700\\80k+b=3800\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子得：$20k=1100$，解得$k=55$，
将$k=55$代入$60k+b=2700$，得$60×55+b=2700$，解得$b=-600$，
因此AB所在直线的函数表达式为$y=55x-600$（$x≥60$）。
(3) 当总数量为5450件时，将$y=5450$代入$y=55x-600$，得：
$55x-600=5450$
$55x=6050$
解得$x=110$，即乙机器人的工作时间为110min。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20}$，$\boldsymbol{3800}$
(2) $\boldsymbol{y=55x-600}$（$x≥60$）
(3) $\boldsymbol{110}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；分段函数应用
【点评】
本题以快递分拣为实际背景考查一次函数的相关应用，解题核心是读懂分段函数图像每一段对应的实际工作场景，结合工作量、工作效率、工作时间三者的关系计算，是一次函数与实际结合的典型题型。
【难度系数】
0.65
