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11. 解方程.
(1) $\frac{x}{x+1} = \frac{2x}{3x+3} + 1$；
(2) $\frac{2}{x-2} - \frac{4}{x^2 -4} = \frac{1}{x+2}$。
(1) $\frac{x}{x+1} = \frac{2x}{3x+3} + 1$；
(2) $\frac{2}{x-2} - \frac{4}{x^2 -4} = \frac{1}{x+2}$。
答案
解：
(1) 方程两边同乘最简公分母$3(x+1)$，得：
$3x = 2x + 3(x+1)$
去括号，得：
$3x = 2x + 3x + 3$
移项、合并同类项，得：
$-2x = 3$
系数化为1，得：
$x = -\dfrac{3}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{3}{2}$时，$3(x+1) ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x = -\dfrac{3}{2}$。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2(x+2) - 4 = x - 2$
去括号，得：
$2x + 4 - 4 = x - 2$
移项、合并同类项，得：
$x = -2$
检验：当$x=-2$时，$(x+2)(x-2) = 0$，$x=-2$是原方程的增根，
所以原分式方程无解。
(1) 方程两边同乘最简公分母$3(x+1)$，得：
$3x = 2x + 3(x+1)$
去括号，得：
$3x = 2x + 3x + 3$
移项、合并同类项，得：
$-2x = 3$
系数化为1，得：
$x = -\dfrac{3}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{3}{2}$时，$3(x+1) ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x = -\dfrac{3}{2}$。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2(x+2) - 4 = x - 2$
去括号，得：
$2x + 4 - 4 = x - 2$
移项、合并同类项，得：
$x = -2$
检验：当$x=-2$时，$(x+2)(x-2) = 0$，$x=-2$是原方程的增根，
所以原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根是否符合原方程。对于(1)，先整理分母可得$3x+3=3(x+1)$，因此最简公分母为$3(x+1)$，方程两边同乘最简公分母即可去掉分母，转化为一元一次方程求解；对于(2)，先利用平方差公式分解$x^2-4=(x+2)(x-2)$，确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，同样去分母转化为整式方程求解。最后代入最简公分母检验：若公分母不为0，则是原方程的解；若公分母为0，该根就是增根，原方程无解。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$3(x+1)$，得：
$3x = 2x + 3(x+1)$
去括号，得：
$3x = 2x + 3x + 3$
移项、合并同类项，得：
$-2x = 3$
系数化为1，得：
$x = -\dfrac{3}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{3}{2}$时，$3(x+1) ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x = -\dfrac{3}{2}$。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2(x+2) - 4 = x - 2$
去括号，得：
$2x + 4 - 4 = x - 2$
移项、合并同类项，得：
$x = -2$
检验：当$x=-2$时，$(x+2)(x-2) = 0$，$x=-2$是原方程的增根，
所以原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=-\dfrac{3}{2}$；(2) 原分式方程无解
【知识点】
1.解分式方程 2.分式方程验根 3.平方差公式因式分解
【点评】
这两道题是分式方程求解的常规基础题，核心考查解分式方程的标准步骤，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，同时必须养成验根的习惯，明确增根的意义及出现增根时原方程无解的结论。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根是否符合原方程。对于(1)，先整理分母可得$3x+3=3(x+1)$，因此最简公分母为$3(x+1)$，方程两边同乘最简公分母即可去掉分母，转化为一元一次方程求解；对于(2)，先利用平方差公式分解$x^2-4=(x+2)(x-2)$，确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，同样去分母转化为整式方程求解。最后代入最简公分母检验：若公分母不为0，则是原方程的解；若公分母为0，该根就是增根，原方程无解。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$3(x+1)$，得：
$3x = 2x + 3(x+1)$
去括号，得：
$3x = 2x + 3x + 3$
移项、合并同类项，得：
$-2x = 3$
系数化为1，得：
$x = -\dfrac{3}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{3}{2}$时，$3(x+1) ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x = -\dfrac{3}{2}$。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2(x+2) - 4 = x - 2$
去括号，得：
$2x + 4 - 4 = x - 2$
移项、合并同类项，得：
$x = -2$
检验：当$x=-2$时，$(x+2)(x-2) = 0$，$x=-2$是原方程的增根，
所以原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=-\dfrac{3}{2}$；(2) 原分式方程无解
【知识点】
1.解分式方程 2.分式方程验根 3.平方差公式因式分解
【点评】
这两道题是分式方程求解的常规基础题，核心考查解分式方程的标准步骤，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，同时必须养成验根的习惯，明确增根的意义及出现增根时原方程无解的结论。
【难度系数】
0.7
12.小华在复习分式方程，由于印刷问题，方程中有一个数“？”看不清楚：
$\frac{?}{x-2} + 3 = \frac{1}{2-x}$
(1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程。
(2)小华的妈妈说：“我看到参考答案是‘原分式方程无解’。”请你根据参考答案求出原分式方程中“？”代表的数。
$\frac{?}{x-2} + 3 = \frac{1}{2-x}$
(1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程。
(2)小华的妈妈说：“我看到参考答案是‘原分式方程无解’。”请你根据参考答案求出原分式方程中“？”代表的数。
答案
解：(1) 当“？”为5时，原方程为：
$\frac{5}{x-2} + 3 = \frac{1}{2-x}$
方程两边同乘$(x-2)$，得：
$5 + 3(x-2) = -1$
去括号，得：$5 + 3x -6 = -1$
移项、合并同类项，得：$3x = 0$
系数化为1，得：$x=0$
检验：当$x=0$时，$x-2=-2≠0$，
所以原分式方程的解为$x=0$。
(2) 设“？”代表的数为$m$，则原方程为：
$\frac{m}{x-2} + 3 = \frac{1}{2-x}$
方程两边同乘$(x-2)$，得：
$m + 3(x-2) = -1$
整理得：$3x = 5 - m$
解得：$x = \frac{5 - m}{3}$
因为原分式方程无解，所以该整式方程的解是原分式方程的增根，
该分式方程的增根为$x=2$，
将$x=2$代入$x = \frac{5 - m}{3}$，得：
$2 = \frac{5 - m}{3}$
解得：$m = -1$
即原分式方程中“？”代表的数为$-1$。
$\frac{5}{x-2} + 3 = \frac{1}{2-x}$
方程两边同乘$(x-2)$，得：
$5 + 3(x-2) = -1$
去括号，得：$5 + 3x -6 = -1$
移项、合并同类项，得：$3x = 0$
系数化为1，得：$x=0$
检验：当$x=0$时，$x-2=-2≠0$，
所以原分式方程的解为$x=0$。
(2) 设“？”代表的数为$m$，则原方程为：
$\frac{m}{x-2} + 3 = \frac{1}{2-x}$
方程两边同乘$(x-2)$，得：
$m + 3(x-2) = -1$
整理得：$3x = 5 - m$
解得：$x = \frac{5 - m}{3}$
因为原分式方程无解，所以该整式方程的解是原分式方程的增根，
该分式方程的增根为$x=2$，
将$x=2$代入$x = \frac{5 - m}{3}$，得：
$2 = \frac{5 - m}{3}$
解得：$m = -1$
即原分式方程中“？”代表的数为$-1$。
解析
【分析】
(1) 第一问已知“？”为5，解题时先替换得到完整分式方程，按照分式方程的求解步骤：先去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程得到x的值，最后检验x是否使原方程分母不为0，确认是否为原方程的解。
(2) 第二问已知原分式方程无解，先设“？”代表的数为m，先去分母得到关于x的整式方程；分式方程无解说明整式方程的解是原分式方程的增根，即令原方程分母为0的x值x=2，将x=2代入整式方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 当“？”为5时，原方程为：
$\frac{5}{x-2} + 3 = \frac{1}{2-x}$
方程两边同乘$(x-2)$，得：
$5 + 3(x-2) = -1$
去括号，得：$5 + 3x -6 = -1$
移项、合并同类项，得：$3x = 0$
系数化为1，得：$x=0$
检验：当$x=0$时，$x-2=-2≠0$，所以$x=0$是原分式方程的解。
(2) 设“？”代表的数为$m$，则原方程为：
$\frac{m}{x-2} + 3 = \frac{1}{2-x}$
方程两边同乘$(x-2)$，得：
$m + 3(x-2) = -1$
整理得：$3x = 5 - m$
解得：$x = \frac{5 - m}{3}$
因为原分式方程无解，所以该整式方程的解是原分式方程的增根，该分式方程的增根为$x=2$，
将$x=2$代入$x = \frac{5 - m}{3}$，得：
$2 = \frac{5 - m}{3}$
解得：$m = -1$
【答案】
(1) $x=0$；(2) $-1$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；含参分式方程求解
【点评】
本题是分式方程章节的典型习题，第一问侧重基础解法的考察，提醒学生解分式方程必须验根；第二问侧重增根的应用，需要学生理解分式方程无解和增根的对应关系，整体难度适中，能有效检验学生对分式方程核心知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知“？”为5，解题时先替换得到完整分式方程，按照分式方程的求解步骤：先去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程得到x的值，最后检验x是否使原方程分母不为0，确认是否为原方程的解。
(2) 第二问已知原分式方程无解，先设“？”代表的数为m，先去分母得到关于x的整式方程；分式方程无解说明整式方程的解是原分式方程的增根，即令原方程分母为0的x值x=2，将x=2代入整式方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 当“？”为5时，原方程为：
$\frac{5}{x-2} + 3 = \frac{1}{2-x}$
方程两边同乘$(x-2)$，得：
$5 + 3(x-2) = -1$
去括号，得：$5 + 3x -6 = -1$
移项、合并同类项，得：$3x = 0$
系数化为1，得：$x=0$
检验：当$x=0$时，$x-2=-2≠0$，所以$x=0$是原分式方程的解。
(2) 设“？”代表的数为$m$，则原方程为：
$\frac{m}{x-2} + 3 = \frac{1}{2-x}$
方程两边同乘$(x-2)$，得：
$m + 3(x-2) = -1$
整理得：$3x = 5 - m$
解得：$x = \frac{5 - m}{3}$
因为原分式方程无解，所以该整式方程的解是原分式方程的增根，该分式方程的增根为$x=2$，
将$x=2$代入$x = \frac{5 - m}{3}$，得：
$2 = \frac{5 - m}{3}$
解得：$m = -1$
【答案】
(1) $x=0$；(2) $-1$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；含参分式方程求解
【点评】
本题是分式方程章节的典型习题，第一问侧重基础解法的考察，提醒学生解分式方程必须验根；第二问侧重增根的应用，需要学生理解分式方程无解和增根的对应关系，整体难度适中，能有效检验学生对分式方程核心知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.7
13. 提升题＞春节档的电影上映后非常火爆，某电影中人物形象(A,B)造型的玩偶深受大众喜爱.某商家发现商机，花费4000元购买了一批A玩偶和B玩偶，已知商家购买A玩偶的费用是B玩偶费用的2倍少500元.
(1)商家购买A玩偶和B玩偶各花费多少钱？
(2)已知每个B玩偶的进价比A玩偶的进价贵5元，且购进的A玩偶的数量是B玩偶数量的2.5倍，则每个B玩偶的进价为多少元？
(1)商家购买A玩偶和B玩偶各花费多少钱？
(2)已知每个B玩偶的进价比A玩偶的进价贵5元，且购进的A玩偶的数量是B玩偶数量的2.5倍，则每个B玩偶的进价为多少元？
答案
解：(1) 设商家购买B玩偶花费x元，则购买A玩偶花费$(2x-500)$元。
依题意列方程：
$x + 2x - 500 = 4000$
解得：$x = 1500$
购买A玩偶的费用为：$2×1500 - 500 = 2500$（元）
(2) 设每个B玩偶的进价为y元，则每个A玩偶的进价为$(y-5)$元。
依题意列方程：
$\frac{2500}{y-5} = 2.5 × \frac{1500}{y}$
方程两边同乘$y(y-5)$去分母得：
$2500y = 3750(y-5)$
解得：$y = 15$
检验：当$y=15$时，$y(y-5)≠0$，故$y=15$是原分式方程的解，且符合题意。
答：商家购买A玩偶花费2500元，购买B玩偶花费1500元；每个B玩偶的进价为15元。
依题意列方程：
$x + 2x - 500 = 4000$
解得：$x = 1500$
购买A玩偶的费用为：$2×1500 - 500 = 2500$（元）
(2) 设每个B玩偶的进价为y元，则每个A玩偶的进价为$(y-5)$元。
依题意列方程：
$\frac{2500}{y-5} = 2.5 × \frac{1500}{y}$
方程两边同乘$y(y-5)$去分母得：
$2500y = 3750(y-5)$
解得：$y = 15$
检验：当$y=15$时，$y(y-5)≠0$，故$y=15$是原分式方程的解，且符合题意。
答：商家购买A玩偶花费2500元，购买B玩偶花费1500元；每个B玩偶的进价为15元。
解析
【分析】
(1) 第一问属于和差倍分类的一元一次方程应用，解题时先找等量关系：购买A玩偶的费用+购买B玩偶的费用=总花费4000元。已知A玩偶费用是B玩偶费用的2倍少500元，因此设B玩偶花费为x元，即可用含x的式子表示A玩偶的花费，代入等量关系列方程求解即可。
(2) 第二问是分式方程的实际应用，核心等量关系为：购进A玩偶的数量=2.5×购进B玩偶的数量，而数量=总花费÷单个进价。结合第一问求出的A、B玩偶的总花费，设每个B玩偶进价为y元，即可表示出A玩偶的进价，进而分别表示出A、B的购进数量，代入等量关系列分式方程，求解后要检验根是否满足分母不为0且符合实际意义。
【解析】
(1) 设商家购买B玩偶花费x元，则购买A玩偶花费$(2x-500)$元。
依题意列方程：
$x + 2x - 500 = 4000$
解得：$x = 1500$
购买A玩偶的费用为：$2×1500 - 500 = 2500$（元）
(2) 设每个B玩偶的进价为y元，则每个A玩偶的进价为$(y-5)$元。
依题意列方程：
$\frac{2500}{y-5} = 2.5 × \frac{1500}{y}$
方程两边同乘$y(y-5)$去分母得：
$2500y = 3750(y-5)$
解得：$y = 15$
检验：当$y=15$时，$y(y-5)≠0$，故$y=15$是原分式方程的解，且符合题意。
【答案】
商家购买A玩偶花费2500元，购买B玩偶花费1500元；每个B玩偶的进价为15元。
【知识点】
1.一元一次方程的应用 2.分式方程的应用 3.分式方程的验根
【点评】
本题以生活中热门的周边玩偶销售为背景，贴合实际容易理解，分两小问梯度设置，第一问考察基础的一元一次方程列式求解能力，第二问需要结合总价、单价、数量的关系列分式方程，特别注意分式方程求解后要检验根的合理性，整体侧重考察学生将实际问题转化为数学方程模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于和差倍分类的一元一次方程应用，解题时先找等量关系：购买A玩偶的费用+购买B玩偶的费用=总花费4000元。已知A玩偶费用是B玩偶费用的2倍少500元，因此设B玩偶花费为x元，即可用含x的式子表示A玩偶的花费，代入等量关系列方程求解即可。
(2) 第二问是分式方程的实际应用，核心等量关系为：购进A玩偶的数量=2.5×购进B玩偶的数量，而数量=总花费÷单个进价。结合第一问求出的A、B玩偶的总花费，设每个B玩偶进价为y元，即可表示出A玩偶的进价，进而分别表示出A、B的购进数量，代入等量关系列分式方程，求解后要检验根是否满足分母不为0且符合实际意义。
【解析】
(1) 设商家购买B玩偶花费x元，则购买A玩偶花费$(2x-500)$元。
依题意列方程：
$x + 2x - 500 = 4000$
解得：$x = 1500$
购买A玩偶的费用为：$2×1500 - 500 = 2500$（元）
(2) 设每个B玩偶的进价为y元，则每个A玩偶的进价为$(y-5)$元。
依题意列方程：
$\frac{2500}{y-5} = 2.5 × \frac{1500}{y}$
方程两边同乘$y(y-5)$去分母得：
$2500y = 3750(y-5)$
解得：$y = 15$
检验：当$y=15$时，$y(y-5)≠0$，故$y=15$是原分式方程的解，且符合题意。
【答案】
商家购买A玩偶花费2500元，购买B玩偶花费1500元；每个B玩偶的进价为15元。
【知识点】
1.一元一次方程的应用 2.分式方程的应用 3.分式方程的验根
【点评】
本题以生活中热门的周边玩偶销售为背景，贴合实际容易理解，分两小问梯度设置，第一问考察基础的一元一次方程列式求解能力，第二问需要结合总价、单价、数量的关系列分式方程，特别注意分式方程求解后要检验根的合理性，整体侧重考察学生将实际问题转化为数学方程模型的能力。
【难度系数】
0.7
