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1. 下列分式中，是最简分式的是()
A.$\frac{4}{2x}$
B.$\frac{2x}{x^2+1}$
C.$\frac{x+1}{x^2-1}$
D.$\frac{a^2}{a}$
A.$\frac{4}{2x}$
B.$\frac{2x}{x^2+1}$
C.$\frac{x+1}{x^2-1}$
D.$\frac{a^2}{a}$
答案
B
解析
【分析】
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题思路是逐个对每个选项的分子、分母进行因式分解，判断二者是否存在公因式，若存在公因式则不是最简分式，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\frac{4}{2x}$：分子4和分母$2x$有公因式2，约分可得$\frac{2}{x}$，不是最简分式，排除A；
B. $\frac{2x}{x^2+1}$：分子$2x$因式分解为$2· x$，分母$x^2+1$在实数范围内无法进一步因式分解，分子和分母没有公因式，是最简分式；
C. $\frac{x+1}{x^2-1}$：分母利用平方差公式因式分解为$(x+1)(x-1)$，和分子$x+1$有公因式$x+1$，约分可得$\frac{1}{x-1}$，不是最简分式，排除C；
D. $\frac{a^2}{a}$：分子$a^2$和分母$a$有公因式$a$，约分可得$a$（$a\ne0$），不是最简分式，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题是基础概念类题型，解题的关键是牢记最简分式的定义，能熟练对整式进行因式分解找到分子分母的公因式，属于分式章节的常规基础题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题思路是逐个对每个选项的分子、分母进行因式分解，判断二者是否存在公因式，若存在公因式则不是最简分式，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\frac{4}{2x}$：分子4和分母$2x$有公因式2，约分可得$\frac{2}{x}$，不是最简分式，排除A；
B. $\frac{2x}{x^2+1}$：分子$2x$因式分解为$2· x$，分母$x^2+1$在实数范围内无法进一步因式分解，分子和分母没有公因式，是最简分式；
C. $\frac{x+1}{x^2-1}$：分母利用平方差公式因式分解为$(x+1)(x-1)$，和分子$x+1$有公因式$x+1$，约分可得$\frac{1}{x-1}$，不是最简分式，排除C；
D. $\frac{a^2}{a}$：分子$a^2$和分母$a$有公因式$a$，约分可得$a$（$a\ne0$），不是最简分式，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题是基础概念类题型，解题的关键是牢记最简分式的定义，能熟练对整式进行因式分解找到分子分母的公因式，属于分式章节的常规基础题。
【难度系数】
0.8
2.已知三张卡片上面分别写有$6$，$x-1$，$x^2-1$，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为（写出一个分式即可）。
答案
解：$\frac{6}{x-1}$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先回忆相关概念：①分式的定义：分母中含有字母的代数式叫做分式；②最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。思考步骤：第一步，要组成分式，分母必须含字母，因此分母只能从$x-1$、$x^2-1$中选择，不能选常数6；第二步，先对可因式分解的式子变形，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，要满足最简分式的要求，分子和分母不能有公因式，因此若选$x-1$作为分母，分子可选常数6（6和$x-1$没有公因式），即可得到符合要求的最简分式。
【解析】
首先明确最简分式需满足两个条件：分母含字母，分子分母无公因式。
三张卡片对应的代数式分别为：常数6，一次整式$x-1$，二次整式$x^2-1=(x-1)(x+1)$。
若选择6作为分子，$x-1$作为分母，此时分母含有字母，且分子6与分母$x-1$不存在公因式，符合最简分式的要求，得到$\frac{6}{x-1}$（答案不唯一，$\frac{6}{x^2-1}$等也符合要求）。
【答案】
$\frac{6}{x-1}$（答案不唯一）
【知识点】
最简分式的定义、因式分解、分式的定义
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，需要准确掌握分式和最简分式的判定条件，同时要先对可分解的多项式因式分解，避免出现分子分母含公因式的错误，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相关概念：①分式的定义：分母中含有字母的代数式叫做分式；②最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。思考步骤：第一步，要组成分式，分母必须含字母，因此分母只能从$x-1$、$x^2-1$中选择，不能选常数6；第二步，先对可因式分解的式子变形，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，要满足最简分式的要求，分子和分母不能有公因式，因此若选$x-1$作为分母，分子可选常数6（6和$x-1$没有公因式），即可得到符合要求的最简分式。
【解析】
首先明确最简分式需满足两个条件：分母含字母，分子分母无公因式。
三张卡片对应的代数式分别为：常数6，一次整式$x-1$，二次整式$x^2-1=(x-1)(x+1)$。
若选择6作为分子，$x-1$作为分母，此时分母含有字母，且分子6与分母$x-1$不存在公因式，符合最简分式的要求，得到$\frac{6}{x-1}$（答案不唯一，$\frac{6}{x^2-1}$等也符合要求）。
【答案】
$\frac{6}{x-1}$（答案不唯一）
【知识点】
最简分式的定义、因式分解、分式的定义
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，需要准确掌握分式和最简分式的判定条件，同时要先对可分解的多项式因式分解，避免出现分子分母含公因式的错误，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
3. 分式$\frac{2}{x-1}$与$\frac{3}{x-2}$的最简公分母是。
答案
解：
两个分式的分母分别为$x-1$和$x-2$，两个分母没有公因式，因此它们的最简公分母是$(x-1)(x-2)$（或$x^2-3x+2$）。
两个分式的分母分别为$x-1$和$x-2$，两个分母没有公因式，因此它们的最简公分母是$(x-1)(x-2)$（或$x^2-3x+2$）。
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，首先回忆最简公分母的确定方法：先分别分析每个分母的因式，若分母是多项式先判断是否能因式分解，再取所有不同因式的乘积即为最简公分母。首先明确本题两个分式的分母分别是$x-1$和$x-2$，二者都是一次多项式，先判断是否有公因式，若没有公因式，直接将两个分母相乘即可得到最简公分母。
【解析】
步骤1：确定两个分式的分母，分别为$x-1$和$x-2$；
步骤2：判断两个分母的公因式：$x-1$与$x-2$不存在公共的因式；
步骤3：计算最简公分母，无公因式的两个分母的乘积即为最简公分母，即$(x-1)(x-2)$，展开后也可表示为$x^2-3x+2$。
【答案】
$(x-1)(x-2)$（或$x^2-3x+2$）
【知识点】
最简公分母的确定，公因式的判断
【点评】
本题是分式相关的基础题型，重点考查最简公分母的找法，解题核心是先判断各分母是否存在公因式，无公因式时直接取各分母的乘积即可，掌握该知识点是后续学习分式通分、分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.9
要确定两个分式的最简公分母，首先回忆最简公分母的确定方法：先分别分析每个分母的因式，若分母是多项式先判断是否能因式分解，再取所有不同因式的乘积即为最简公分母。首先明确本题两个分式的分母分别是$x-1$和$x-2$，二者都是一次多项式，先判断是否有公因式，若没有公因式，直接将两个分母相乘即可得到最简公分母。
【解析】
步骤1：确定两个分式的分母，分别为$x-1$和$x-2$；
步骤2：判断两个分母的公因式：$x-1$与$x-2$不存在公共的因式；
步骤3：计算最简公分母，无公因式的两个分母的乘积即为最简公分母，即$(x-1)(x-2)$，展开后也可表示为$x^2-3x+2$。
【答案】
$(x-1)(x-2)$（或$x^2-3x+2$）
【知识点】
最简公分母的确定，公因式的判断
【点评】
本题是分式相关的基础题型，重点考查最简公分母的找法，解题核心是先判断各分母是否存在公因式，无公因式时直接取各分母的乘积即可，掌握该知识点是后续学习分式通分、分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.9
4.若分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$的值为零，则$x=$。
答案
解：
若分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$的值为0，则需满足
$\begin{cases}x^2 - 9 = 0 \\x - 3 ≠ 0\end{cases}$
由$x^2 -9=0$，因式分解得$(x+3)(x-3)=0$，解得$x=3$或$x=-3$。
由$x-3≠0$，得$x≠3$。
综上，$x=-3$。
若分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$的值为0，则需满足
$\begin{cases}x^2 - 9 = 0 \\x - 3 ≠ 0\end{cases}$
由$x^2 -9=0$，因式分解得$(x+3)(x-3)=0$，解得$x=3$或$x=-3$。
由$x-3≠0$，得$x≠3$。
综上，$x=-3$。
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先需要明确分式值为0必须同时满足两个条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式本身有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列出方程求出x的可能取值，再根据分母不为0的限制排除不符合要求的取值，最终得到正确结果。
【解析】
若分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$的值为0，则需同时满足：
$\begin{cases}x^2 - 9 = 0 \\x - 3 ≠ 0\end{cases}$
对$x^2 -9=0$用平方差公式因式分解，得$(x+3)(x-3)=0$，解得$x=3$或$x=-3$。
由分母限制条件$x-3≠0$，可得$x≠3$。
综合两个条件，排除不符合要求的$x=3$，因此$x=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1.分式值为零的条件 2.平方差公式因式分解 3.分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的经典易错题，考查对分式相关性质的基础应用，易错点是仅考虑分子为0，忽略分母不能为0的限制从而误填3，解题时要注意对求出的结果进行检验，确保分式有意义。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先需要明确分式值为0必须同时满足两个条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式本身有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列出方程求出x的可能取值，再根据分母不为0的限制排除不符合要求的取值，最终得到正确结果。
【解析】
若分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$的值为0，则需同时满足：
$\begin{cases}x^2 - 9 = 0 \\x - 3 ≠ 0\end{cases}$
对$x^2 -9=0$用平方差公式因式分解，得$(x+3)(x-3)=0$，解得$x=3$或$x=-3$。
由分母限制条件$x-3≠0$，可得$x≠3$。
综合两个条件，排除不符合要求的$x=3$，因此$x=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1.分式值为零的条件 2.平方差公式因式分解 3.分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的经典易错题，考查对分式相关性质的基础应用，易错点是仅考虑分子为0，忽略分母不能为0的限制从而误填3，解题时要注意对求出的结果进行检验，确保分式有意义。
【难度系数】
0.7
5.我国某厂家于2025年官宣一款芯片D2000成功完成5 nm工艺验证.5 nm即0.000 000 005 m,用科学记数法表示为 m.
答案
$\boldsymbol{5× 10^{-9}}$
解析
【分析】
本题考查用科学记数法表示小于1的正数，解题思路如下：首先明确科学记数法表示较小数的形式为$a × 10^{-n}$，其中$1≤ a ＜ 10$，$n$为正整数；第一步确定$a$的值，将原数的小数点向右移动，直到得到一个大于等于1且小于10的数，即为$a$；第二步确定$n$的值，$n$等于原数左边起第一个非零数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），最终组合得到结果即可。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$，需满足$1≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。
对于$0.000000005$：
1. 确定$a$：将小数点向右移动9位，得到$a=5$，满足$1≤ 5 ＜ 10$；
2. 确定$n$：原数第一个非零数字5前面共有9个0，因此$n=9$，对应指数为$-9$。
综上，$0.000000005$用科学记数法表示为$5 × 10^{-9}$。
【答案】
$\boldsymbol{5× 10^{-9}}$
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题属于基础题，重点考查科学记数法的应用规则，解题关键是准确确定$a$的取值和负指数的数值，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查用科学记数法表示小于1的正数，解题思路如下：首先明确科学记数法表示较小数的形式为$a × 10^{-n}$，其中$1≤ a ＜ 10$，$n$为正整数；第一步确定$a$的值，将原数的小数点向右移动，直到得到一个大于等于1且小于10的数，即为$a$；第二步确定$n$的值，$n$等于原数左边起第一个非零数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），最终组合得到结果即可。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$，需满足$1≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。
对于$0.000000005$：
1. 确定$a$：将小数点向右移动9位，得到$a=5$，满足$1≤ 5 ＜ 10$；
2. 确定$n$：原数第一个非零数字5前面共有9个0，因此$n=9$，对应指数为$-9$。
综上，$0.000000005$用科学记数法表示为$5 × 10^{-9}$。
【答案】
$\boldsymbol{5× 10^{-9}}$
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题属于基础题，重点考查科学记数法的应用规则，解题关键是准确确定$a$的取值和负指数的数值，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
6.某单位全体员工在植树节义务植树240棵.原计划每小时植树m棵,实际每小时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10棵,那么实际比原计划提前了h完成任务.(用含m的代数式表示)
答案
$\frac{2400}{m^2+10m}$（或$\frac{2400}{m(m+10)}$）
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。要求实际比原计划提前的时间，只需用原计划完成任务的时间减去实际完成任务的时间即可。第一步先根据已知条件分别表示出原计划和实际的工作时间，第二步对两个时间作差，再通过分式的加减运算化简得到最终结果。
【解析】
解：已知植树总棵数为240棵，原计划每小时植树$m$棵，
根据工作时间的计算公式，可得原计划完成任务的时间为：$\frac{240}{m}$ h；
实际每小时比原计划多植树10棵，即实际每小时植树$(m+10)$棵，
则实际完成任务的时间为：$\frac{240}{m+10}$ h；
实际比原计划提前的时间为原计划时间减去实际时间，计算如下：
$\begin{aligned}&\frac{240}{m} - \frac{240}{m+10}\\=&\frac{240(m+10)}{m(m+10)} - \frac{240m}{m(m+10)}\\=&\frac{240m + 2400 - 240m}{m(m+10)}\\=&\frac{2400}{m(m+10)}\\=&\frac{2400}{m^2+10m}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2400}{m(m+10)}$（或$\frac{2400}{m^2+10m}$）
【知识点】
1. 工程问题数量关系 2. 列代数式 3. 分式加减运算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是准确把握工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，正确表示出原计划和实际的工作时间，再通过分式通分化简得到结果，计算过程中要注意通分的正确性，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先要明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。要求实际比原计划提前的时间，只需用原计划完成任务的时间减去实际完成任务的时间即可。第一步先根据已知条件分别表示出原计划和实际的工作时间，第二步对两个时间作差，再通过分式的加减运算化简得到最终结果。
【解析】
解：已知植树总棵数为240棵，原计划每小时植树$m$棵，
根据工作时间的计算公式，可得原计划完成任务的时间为：$\frac{240}{m}$ h；
实际每小时比原计划多植树10棵，即实际每小时植树$(m+10)$棵，
则实际完成任务的时间为：$\frac{240}{m+10}$ h；
实际比原计划提前的时间为原计划时间减去实际时间，计算如下：
$\begin{aligned}&\frac{240}{m} - \frac{240}{m+10}\\=&\frac{240(m+10)}{m(m+10)} - \frac{240m}{m(m+10)}\\=&\frac{240m + 2400 - 240m}{m(m+10)}\\=&\frac{2400}{m(m+10)}\\=&\frac{2400}{m^2+10m}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2400}{m(m+10)}$（或$\frac{2400}{m^2+10m}$）
【知识点】
1. 工程问题数量关系 2. 列代数式 3. 分式加减运算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是准确把握工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，正确表示出原计划和实际的工作时间，再通过分式通分化简得到结果，计算过程中要注意通分的正确性，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.7
7.若关于$x$的分式方程$\dfrac{3x - m}{x + 1}=2$的解为负数，则$m$的取值范围为 .
答案
$\boldsymbol{m ＜ -2且m ≠ -3}$
解析
【分析】
要解决这道题，可按三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用含m的代数式表示的方程的解；第二步，根据“解为负数”的条件，列出关于m的不等式，求出m的初步范围；第三步，牢记分式方程分母不能为0的隐含要求，排除使分母为0的m的取值，最终得到m的完整取值范围。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘$(x+1)$去分母，得：
$3x - m = 2(x + 1)$
去括号：$3x - m = 2x + 2$
移项、合并同类项得：$x = m + 2$
∵ 方程的解为负数
∴ $x ＜ 0$，即$m + 2 ＜ 0$，解得$m ＜ -2$
又
∵ 分式分母不为0，即$x + 1 ≠ 0$，得$x ≠ -1$
∴ $m + 2 ≠ -1$，解得$m ≠ -3$
综上，m的取值范围为$m ＜ -2$且$m ≠ -3$
【答案】
$m ＜ -2且m ≠ -3$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程结合不等式的典型题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含限制，导致漏写$m≠-3$的条件，解题时要注意求出解后代入分母检验。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，可按三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用含m的代数式表示的方程的解；第二步，根据“解为负数”的条件，列出关于m的不等式，求出m的初步范围；第三步，牢记分式方程分母不能为0的隐含要求，排除使分母为0的m的取值，最终得到m的完整取值范围。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘$(x+1)$去分母，得：
$3x - m = 2(x + 1)$
去括号：$3x - m = 2x + 2$
移项、合并同类项得：$x = m + 2$
∵ 方程的解为负数
∴ $x ＜ 0$，即$m + 2 ＜ 0$，解得$m ＜ -2$
又
∵ 分式分母不为0，即$x + 1 ≠ 0$，得$x ≠ -1$
∴ $m + 2 ≠ -1$，解得$m ≠ -3$
综上，m的取值范围为$m ＜ -2$且$m ≠ -3$
【答案】
$m ＜ -2且m ≠ -3$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程结合不等式的典型题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含限制，导致漏写$m≠-3$的条件，解题时要注意求出解后代入分母检验。
【难度系数】
0.6
8.某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成.设慢车间每天生产茶具x套，则可列方程为$\frac{5400}{x} - \frac{5400}{1.5x} = 10$。
答案
解：
慢车间每天生产茶具x套，则快车间每天生产茶具1.5x套。
慢车间单独完成全部生产任务所需时间为$\frac{5400}{x}$天，
快车间单独完成全部生产任务所需时间为$\frac{5400}{1.5x}$天。
根据快车间单独生产比慢车间单独生产提前10天完成，可列方程：
$\frac{5400}{x} - \frac{5400}{1.5x} = 10$
慢车间每天生产茶具x套，则快车间每天生产茶具1.5x套。
慢车间单独完成全部生产任务所需时间为$\frac{5400}{x}$天，
快车间单独完成全部生产任务所需时间为$\frac{5400}{1.5x}$天。
根据快车间单独生产比慢车间单独生产提前10天完成，可列方程：
$\frac{5400}{x} - \frac{5400}{1.5x} = 10$
解析
【分析】
本题为分式方程的实际应用题，解题可按以下思路思考：首先明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率；其次结合已知条件，慢车间效率为x套/天，快车间效率是慢车间的1.5倍，即可表示出快车间每天生产1.5x套；再分别用总工作量5400除以两个车间的效率，得到两个车间单独完成任务的用时；最后根据“快车间单独生产比慢车间提前10天完成”的等量关系，即慢车间用时减去快车间用时等于10天，代入对应的代数式即可列出方程。
【解析】
已知慢车间每天生产茶具x套，则快车间每天生产茶具1.5x套。
慢车间单独完成全部生产任务所需时间为$\frac{5400}{x}$天，
快车间单独完成全部生产任务所需时间为$\frac{5400}{1.5x}$天。
根据快车间单独生产比慢车间单独生产提前10天完成，可列方程：
$\frac{5400}{x} - \frac{5400}{1.5x} = 10$
【答案】
$\frac{5400}{x} - \frac{5400}{1.5x} = 10$
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；列代数式
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查从实际问题中提取等量关系、列分式方程的能力，解题的核心是熟练掌握工程问题的基本公式，准确表示两个对象的工作时间，是分式方程应用模块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
本题为分式方程的实际应用题，解题可按以下思路思考：首先明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率；其次结合已知条件，慢车间效率为x套/天，快车间效率是慢车间的1.5倍，即可表示出快车间每天生产1.5x套；再分别用总工作量5400除以两个车间的效率，得到两个车间单独完成任务的用时；最后根据“快车间单独生产比慢车间提前10天完成”的等量关系，即慢车间用时减去快车间用时等于10天，代入对应的代数式即可列出方程。
【解析】
已知慢车间每天生产茶具x套，则快车间每天生产茶具1.5x套。
慢车间单独完成全部生产任务所需时间为$\frac{5400}{x}$天，
快车间单独完成全部生产任务所需时间为$\frac{5400}{1.5x}$天。
根据快车间单独生产比慢车间单独生产提前10天完成，可列方程：
$\frac{5400}{x} - \frac{5400}{1.5x} = 10$
【答案】
$\frac{5400}{x} - \frac{5400}{1.5x} = 10$
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；列代数式
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查从实际问题中提取等量关系、列分式方程的能力，解题的核心是熟练掌握工程问题的基本公式，准确表示两个对象的工作时间，是分式方程应用模块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
9.计算：
(1)$a^{-2}b^2 · (a^2b^{-2})^{-3}$；
(2)$( \frac{3}{a+1} + a - 3 ) ÷ \frac{a^2 -4a +4}{a+1}$。
(1)$a^{-2}b^2 · (a^2b^{-2})^{-3}$；
(2)$( \frac{3}{a+1} + a - 3 ) ÷ \frac{a^2 -4a +4}{a+1}$。
答案
解：
(1) 原式$=a^{-2}b^2 · a^{-6}b^{6}$
$=a^{-2-6}b^{2+6}$
$=a^{-8}b^8$
$=\frac{b^8}{a^8}$
(2) 原式$=[\frac{3}{a+1} + \frac{(a-3)(a+1)}{a+1}] · \frac{a+1}{a^2-4a+4}$
$=\frac{3 + a^2 -2a -3}{a+1} · \frac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a^2 - 2a}{a+1} · \frac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a(a-2)}{a+1} · \frac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a}{a-2}$
(1) 原式$=a^{-2}b^2 · a^{-6}b^{6}$
$=a^{-2-6}b^{2+6}$
$=a^{-8}b^8$
$=\frac{b^8}{a^8}$
(2) 原式$=[\frac{3}{a+1} + \frac{(a-3)(a+1)}{a+1}] · \frac{a+1}{a^2-4a+4}$
$=\frac{3 + a^2 -2a -3}{a+1} · \frac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a^2 - 2a}{a+1} · \frac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a(a-2)}{a+1} · \frac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a}{a-2}$
解析
【分析】
(1) 本题是负整数指数幂的运算题，解题思路为：第一步先利用积的乘方与幂的乘方法则计算$(a^2b^{-2})^{-3}$，给括号内每个因式分别乘方，底数不变、指数相乘；第二步利用同底数幂的乘法法则，底数不变、指数相加合并同类项；最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式即可。
(2) 本题是分式混合运算题，解题思路为：第一步先处理括号内的加法，把整式$a-3$通分转化为分母为$a+1$的分式，再和$\frac{3}{a+1}$相加合并分子；第二步根据分式除法法则，将除法转化为乘除数的倒数；第三步对分子、分母分别因式分解，约去公因式即可得到最简结果。
【解析】
(1) 原式$=a^{-2}b^2 · a^{-6}b^{6}$
$=a^{-2-6}b^{2+6}$
$=a^{-8}b^8$
$=\frac{b^8}{a^8}$
(2) 原式$=[\frac{3}{a+1} + \frac{(a-3)(a+1)}{a+1}] · \frac{a+1}{a^2-4a+4}$
$=\frac{3 + a^2 -2a -3}{a+1} · \frac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a^2 - 2a}{a+1} · \frac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a(a-2)}{a+1} · \frac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a}{a-2}$
【答案】
(1) $\dfrac{b^8}{a^8}$；(2) $\dfrac{a}{a-2}$
【知识点】
幂的运算性质、分式混合运算、因式分解
【点评】
本题属于代数运算基础题型，重点考察运算规则的掌握程度，计算时要注意负指数幂的转化规则，分式通分、约分的正确性，因式分解要彻底才能准确约去公因式，降低出错率。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是负整数指数幂的运算题，解题思路为：第一步先利用积的乘方与幂的乘方法则计算$(a^2b^{-2})^{-3}$，给括号内每个因式分别乘方，底数不变、指数相乘；第二步利用同底数幂的乘法法则，底数不变、指数相加合并同类项；最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式即可。
(2) 本题是分式混合运算题，解题思路为：第一步先处理括号内的加法，把整式$a-3$通分转化为分母为$a+1$的分式，再和$\frac{3}{a+1}$相加合并分子；第二步根据分式除法法则，将除法转化为乘除数的倒数；第三步对分子、分母分别因式分解，约去公因式即可得到最简结果。
【解析】
(1) 原式$=a^{-2}b^2 · a^{-6}b^{6}$
$=a^{-2-6}b^{2+6}$
$=a^{-8}b^8$
$=\frac{b^8}{a^8}$
(2) 原式$=[\frac{3}{a+1} + \frac{(a-3)(a+1)}{a+1}] · \frac{a+1}{a^2-4a+4}$
$=\frac{3 + a^2 -2a -3}{a+1} · \frac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a^2 - 2a}{a+1} · \frac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a(a-2)}{a+1} · \frac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a}{a-2}$
【答案】
(1) $\dfrac{b^8}{a^8}$；(2) $\dfrac{a}{a-2}$
【知识点】
幂的运算性质、分式混合运算、因式分解
【点评】
本题属于代数运算基础题型，重点考察运算规则的掌握程度，计算时要注意负指数幂的转化规则，分式通分、约分的正确性，因式分解要彻底才能准确约去公因式，降低出错率。
【难度系数】
0.8
10. 已知 $ a + b - 2 = 0 $，求代数式 $\frac{3(a + 2b) - 3b}{a^2 + 2ab + b^2}$ 的值。
答案
解：
先对代数式化简：
$\begin{aligned}\frac{3(a+2b)-3b}{a^2+2ab+b^2}&=\frac{3a+6b-3b}{(a+b)^2}\\&=\frac{3a+3b}{(a+b)^2}\\&=\frac{3(a+b)}{(a+b)^2}\\&=\frac{3}{a+b}\end{aligned}$
由$a+b-2=0$，可得$a+b=2$。
将$a+b=2$代入$\frac{3}{a+b}$，得原式$=\frac{3}{2}$。
先对代数式化简：
$\begin{aligned}\frac{3(a+2b)-3b}{a^2+2ab+b^2}&=\frac{3a+6b-3b}{(a+b)^2}\\&=\frac{3a+3b}{(a+b)^2}\\&=\frac{3(a+b)}{(a+b)^2}\\&=\frac{3}{a+b}\end{aligned}$
由$a+b-2=0$，可得$a+b=2$。
将$a+b=2$代入$\frac{3}{a+b}$，得原式$=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
本题已知a+b的相关等式，要求代数式的值，无需单独求解a、b的具体数值，解题思路为：首先化简所求代数式，第一步对分子去括号、合并同类项，第二步利用完全平方公式对分母因式分解，第三步约分化简得到仅含a+b的最简式，再根据已知条件求出a+b的值，最后整体代入最简式计算即可。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}\frac{3(a+2b)-3b}{a^2+2ab+b^2}&=\frac{3a+6b-3b}{(a+b)^2}\\&=\frac{3a+3b}{(a+b)^2}\\&=\frac{3(a+b)}{(a+b)^2}\\&=\frac{3}{a+b}\end{aligned}$
由$a + b - 2 = 0$，可得$a + b = 2$。
将$a + b = 2$代入$\frac{3}{a+b}$，得原式$=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是通过化简将代数式转化为只含已知整体式的形式，利用整体代入思想计算，避免了求解单个未知数的繁琐，简化了运算过程。
【难度系数】
0.8
本题已知a+b的相关等式，要求代数式的值，无需单独求解a、b的具体数值，解题思路为：首先化简所求代数式，第一步对分子去括号、合并同类项，第二步利用完全平方公式对分母因式分解，第三步约分化简得到仅含a+b的最简式，再根据已知条件求出a+b的值，最后整体代入最简式计算即可。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}\frac{3(a+2b)-3b}{a^2+2ab+b^2}&=\frac{3a+6b-3b}{(a+b)^2}\\&=\frac{3a+3b}{(a+b)^2}\\&=\frac{3(a+b)}{(a+b)^2}\\&=\frac{3}{a+b}\end{aligned}$
由$a + b - 2 = 0$，可得$a + b = 2$。
将$a + b = 2$代入$\frac{3}{a+b}$，得原式$=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是通过化简将代数式转化为只含已知整体式的形式，利用整体代入思想计算，避免了求解单个未知数的繁琐，简化了运算过程。
【难度系数】
0.8
