1.在等号右边的括号内填上适当的项：
(1)$a + b - c + d = a + ($$);$
(2)$a - b + c - d = a - ($$);$
(3)$a - b - c - d = a - ($$);$
(4)$a + b + c + d = a - ($$);$
(5)$a - (b - c + d) = a - d + ($$).$

解：
(1) 括号前为正号，括入括号的各项符号不变，可得$a + b - c + d = a + (\boldsymbol{b - c + d})$；
(2) 括号前为负号，括入括号的各项符号全部改变，可得$a - b + c - d = a - (\boldsymbol{b - c + d})$；
(3) 括号前为负号，括入括号的各项符号全部改变，可得$a - b - c - d = a - (\boldsymbol{b + c + d})$；
(4) 括号前为负号，括入括号的各项符号全部改变，可得$a + b + c + d = a - (\boldsymbol{-b - c - d})$；
(5) 先去括号：$a-(b-c+d)=a - b + c - d$，整理得$a - b + c - d = a - d + (\boldsymbol{c - b})$。

【分析】
本题考查添括号与去括号法则的应用，解题思路如下：①先牢记核心法则：添括号时，若括号前为正号，括入括号内的所有项符号不变；若括号前为负号，括入括号内的所有项符号均要改变，去括号法则与添括号法则逻辑一致，可反向验证结果。②先观察每道题等号右侧括号前的符号，再将$a$以外的剩余项按符号要求调整后填入括号；第(5)小题可先去括号化简原式，再对比等号两边的项，将剩余项整理后填入括号即可。
【解析】
根据添括号、去括号法则逐一计算：
(1) 等号右侧括号前是“$+$”号，括入的各项符号不变，直接将$b - c + d$填入括号，得$a + b - c + d = a + (b - c + d)$；
(2) 等号右侧括号前是“$-$”号，括入的各项符号全部改变，$a$后原有项为$-b + c - d$，各项变号后为$b - c + d$，填入括号得$a - b + c - d = a - (b - c + d)$；
(3) 等号右侧括号前是“$-$”号，$a$后原有项为$-b - c - d$，各项变号后为$b + c + d$，填入括号得$a - b - c - d = a - (b + c + d)$；
(4) 等号右侧括号前是“$-$”号，$a$后原有项为$+b + c + d$，各项变号后为$-b - c - d$，填入括号得$a + b + c + d = a - (-b - c - d)$；
(5) 先去括号化简左边：$a - (b - c + d) = a - b + c - d$，对比等号右侧$a - d + ( )$，剩余项为$-b + c$，整理后填入括号得$a - b + c - d = a - d + (c - b)$。
【答案】
(1)$b - c + d$；(2)$b - c + d$；(3)$b + c + d$；(4)$-b - c - d$；(5)$c - b$
【知识点】
1.添括号法则；2.去括号法则；3.整式恒等变形
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查添、去括号时的符号变化规律，解题时要特别注意括号前为负号时，括号内所有项都要变号，完成后可通过反向去括号验证结果，减少符号类失误。
【难度系数】
0.7

2.计算:$(-x+2y)(-x-2y)=$.
.

解：
原式$=(-x)^2 - (2y)^2$
$=x^2 - 4y^2$

【分析】
首先观察待计算的式子结构，发现两个二项式中第一项$-x$完全相同，第二项$2y$和$-2y$互为相反数，符合平方差公式的结构特征。解题时先确定公式中的相同项为$-x$，相反项的绝对值为$2y$，再代入平方差公式展开，最后分别计算两项的平方即可得到结果。
【解析】
解：原式符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，将$a=-x$，$b=2y$代入公式得：
$\begin{aligned}原式&=(-x)^2 - (2y)^2 \\&=x^2 - 4y^2\end{aligned}$
【答案】
$x^2 - 4y^2$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是乘法公式应用的基础题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，正确区分相同项和相反项，计算时要注意项的系数也要同时平方，避免出现漏乘系数的错误。
【难度系数】
0.85

3.如果$(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63$，那么$(a+b)^2=$.

$\boldsymbol{16}$

【分析】
首先观察等式左边的式子结构，两个因式中都含有相同的部分$2a+2b$，剩余部分分别为$+1$和$-1$，刚好符合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$的结构特征。我们可以先将$2a+2b$看作一个整体，利用平方差公式简化等式，再将$2a+2b$变形为$2(a+b)$，整理后即可求出$(a+b)^2$的值。
【解析】
解：将$2a+2b$看作整体，利用平方差公式展开等式左边：
$\begin{aligned}(2a+2b+1)(2a+2b-1)&=(2a+2b)^2 - 1^2\\\end{aligned}$
结合已知等式得：
$(2a+2b)^2 - 1 = 63$
移项计算得：
$(2a+2b)^2 = 63 + 1 = 64$
将$2a+2b$提取公因式2，得$2a+2b=2(a+b)$，代入上式：
$[2(a+b)]^2 = 64$
计算左边得：
$4(a+b)^2 = 64$
两边同时除以4，得：
$(a+b)^2 = 16$
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
平方差公式，整体代入法，代数式求值
【点评】
本题是乘法公式应用的基础题型，解题关键是识别出式子符合平方差公式的结构特征，通过整体代入简化计算，避免了分别求解$a$、$b$的繁琐步骤，是乘法公式应用中的常考题型。
【难度系数】
0.8

4.计算:
(1)$(a+2b-c)(a-2b-c)$;
(2)$(a+b+c)^2$.

解：
(1) 原式$=[(a - c) + 2b][(a - c) - 2b]$
$=(a - c)^2 - (2b)^2$
$=a^2 - 2ac + c^2 - 4b^2$
(2) 原式$=[(a + b) + c]^2$
$=(a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2$
$=a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2$

【分析】
(1) 观察两个相乘的多项式，可发现两项中都有相同的部分$(a-c)$，相反的部分$+2b$和$-2b$，因此可以把$(a-c)$看作一个整体，将原式转化为平方差公式的标准形式，先套用平方差公式计算，再展开完全平方即可化简；
(2) 三个数的和的平方，可先将其中两个数的和看作一个整体，比如把$(a+b)$看作整体，将原式转化为二项式的完全平方形式，套用完全平方公式展开后，再进一步展开整理得到最终结果。
【解析】
(1) 先对原式分组构造平方差公式的形式：
原式$=[(a - c) + 2b][(a - c) - 2b]$
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$（其中$m=a-c$，$n=2b$）计算得：
$=(a - c)^2 - (2b)^2$
再展开完全平方、计算乘方：
$=a^2 - 2ac + c^2 - 4b^2$
(2) 先分组构造完全平方公式的形式：
原式$=[(a + b) + c]^2$
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$（其中$m=a+b$，$n=c$）计算得：
$=(a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2$
再展开完全平方、去括号整理：
$=a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2$
【答案】
(1) $a^2 - 2ac + c^2 - 4b^2$
(2) $a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 整体代换思想
【点评】
本题是整式乘法的基础常考题型，核心考查乘法公式的灵活运用，解题关键是通过合理分组构造出符合公式的结构，利用整体思想简化运算，展开时要注意项数和符号，避免漏项、错号。
【难度系数】
0.7

5. 已知 $ a + b + c = 0, a^2 + b^2 + c^2 = 4 $，求 $ a^4 + b^4 + c^4 $ 的值.

解：
∵ $a + b + c = 0$，
∴ $(a + b + c)^2 = 0$，
展开得 $a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$，
把$a^2 + b^2 + c^2 = 4$代入上式，得：
$4 + 2(ab + bc + ca) = 0$，
解得 $ab + bc + ca = -2$。
将$ab + bc + ca = -2$两边同时平方，得：
$(ab + bc + ca)^2 = (-2)^2 = 4$，
展开左边得 $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2ab· bc + 2bc· ca + 2ca· ab = 4$，
整理得 $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc(a + b + c) = 4$，
又∵ $a + b + c = 0$，
∴ $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = 4$。
将$a^2 + b^2 + c^2 = 4$两边同时平方，得：
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = 4^2 = 16$，
展开左边得 $a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) = 16$，
把$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = 4$代入上式，得：
$a^4 + b^4 + c^4 + 2×4 = 16$，
∴ $a^4 + b^4 + c^4 = 8$。

【分析】
本题要求$a^4+b^4+c^4$的值，已知$a+b+c$和$a^2+b^2+c^2$的取值，可通过完全平方公式的变形逐步推导求解。第一步，先利用三个数和的完全平方公式，将$(a+b+c)^2$展开，代入已知的$a^2+b^2+c^2$的值，求出$ab+bc+ca$的值；第二步，将$ab+bc+ca$平方展开，结合$a+b+c=0$的条件，求出$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$的值；第三步，将$a^2+b^2+c^2$平方展开，代入已求出的$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$的值，即可得到$a^4+b^4+c^4$的结果，整个过程运用整体代入的思想简化计算。
【解析】
∵ $a + b + c = 0$，
∴ $(a + b + c)^2 = 0$，
展开得 $a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$，
把$a^2 + b^2 + c^2 = 4$代入上式，得：
$4 + 2(ab + bc + ca) = 0$，
解得 $ab + bc + ca = -2$。
将$ab + bc + ca = -2$两边同时平方，得：
$(ab + bc + ca)^2 = (-2)^2 = 4$，
展开左边得 $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2ab· bc + 2bc· ca + 2ca· ab = 4$，
整理得 $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc(a + b + c) = 4$，
又
∵ $a + b + c = 0$，
∴ $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = 4$。
将$a^2 + b^2 + c^2 = 4$两边同时平方，得：
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = 4^2 = 16$，
展开左边得 $a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) = 16$，
把$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = 4$代入上式，得：
$a^4 + b^4 + c^4 + 2×4 = 16$，
∴ $a^4 + b^4 + c^4 = 8$。
【答案】
$8$
【知识点】
完全平方公式；代数式变形；整体代入求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活应用，通过多次对代数式进行平方变形，结合已知条件整体代入简化计算，解题时需准确记忆完全平方公式的展开形式，避免漏项，熟练掌握整体代入的思想可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6

6. 提升题▶对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式，例如，图①可以得到$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。请解答下列问题：

(1)写出图②中所表示的等式： .
(2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式.
(3)若$a+b+c=10$，$ab+ac+bc=35$，则$a^2+b^2+c^2=$.
(4)若小明同学用图③中$x$张边长为$a$的正方形纸片，$y$张边长为$b$的正方形纸片，$z$张边长分别为$a,b$的长方形纸片拼出了一个面积为$(5a+7b)(9a+4b)$的长方形，则$x+y+z=$.

(3) $\boldsymbol{30}$
(4) $\boldsymbol{156}$

【分析】
(1) 推导图②的代数等式可通过两种面积计算方法：①整体法：大正方形边长为$a+b+c$，面积为边长的平方；②分割法：将大正方形拆分为9个小图形，分别计算各小图形面积求和，两种方法所得面积相等即可得到对应等式。
(2) 验证等式时，可将$a+b+c$看作$(a+b)+c$，先利用两数和的完全平方公式展开，再进一步去括号整理，将结果和(1)中分割法得到的面积表达式对比，即可完成验证。
(3) 利用(1)得到的三数和的完全平方公式变形，将$a^2+b^2+c^2$用$a+b+c$和$ab+ac+bc$表示，代入已知数值计算即可。
(4) 先根据多项式乘多项式法则展开$(5a+7b)(9a+4b)$，拼出的长方形面积等于$xa^2+yb^2+zab$，对应展开式中各项的系数即可得到x、y、z的值，相加即可求解。
【解析】
(1) 整体计算大正方形面积：$(a+b+c)^2$；
分割计算面积和：$a^2 + b^2 + c^2 + ab + ab + ac + ac + bc + bc = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$；
因此等式为：$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。
(2) 验证：
$\begin{aligned}(a+b+c)^2&=[(a+b)+c]^2\\&=(a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2\\&=a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2\\&=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\end{aligned}$
和(1)中等式右边相等，验证成立。
(3) 由(1)的等式变形可得：
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2 - 2(ab+ac+bc)$
将$a+b+c=10$，$ab+ac+bc=35$代入得：
$a^2+b^2+c^2=10^2 - 2×35 = 100 - 70 = 30$。
(4) 先展开$(5a+7b)(9a+4b)$：
$\begin{aligned}(5a+7b)(9a+4b)&=5a·9a + 5a·4b + 7b·9a + 7b·4b\\&=45a^2 + 20ab + 63ab + 28b^2\\&=45a^2 + 83ab + 28b^2\end{aligned}$
由题意得：$xa^2 + yb^2 + zab = 45a^2 + 83ab + 28b^2$，
因此$x=45$，$y=28$，$z=83$，
则$x+y+z=45+28+83=156$。
【答案】
(1) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2) 验证过程见上述解析
(3) $\boldsymbol{30}$
(4) $\boldsymbol{156}$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，面积法推导恒等式
【点评】
本题结合几何图形考查乘法公式的推导与应用，渗透数形结合的思想，既需要掌握面积法推导代数等式的方法，也需要熟练运用乘法公式和多项式乘法法则进行计算、变形求值，是乘法公式部分的典型综合题。
【难度系数】
0.65