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1. (2026泉州期末)下列抛物线的开口方向向下的是（
A.$y=x^2 - 6x$
B.$y=x^2 - 4x + 5$
C.$y=-3x^2 + 1$
D.$y=\frac{1}{4}x^2 - x + 4$
C
）A.$y=x^2 - 6x$
B.$y=x^2 - 4x + 5$
C.$y=-3x^2 + 1$
D.$y=\frac{1}{4}x^2 - x + 4$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断抛物线的开口方向，需回忆二次函数的性质：二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），其开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。因此本题只需逐一判断每个选项中二次项系数的符号，找到$a$为负数的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；
当$a＜0$时，抛物线开口向下。
逐一分析选项：
A选项：$y=x^2-6x$中$a=1＞0$，开口向上，不符合题意；
B选项：$y=x^2-4x+5$中$a=1＞0$，开口向上，不符合题意；
C选项：$y=-3x^2+1$中$a=-3＜0$，开口向下，符合题意；
D选项：$y=\frac{1}{4}x^2 -x +4$中$a=\frac{1}{4}＞0$，开口向上，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 二次项系数的意义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数开口方向与二次项系数符号的对应关系，牢记相关性质即可快速得出答案，是二次函数部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
要判断抛物线的开口方向，需回忆二次函数的性质：二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），其开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。因此本题只需逐一判断每个选项中二次项系数的符号，找到$a$为负数的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；
当$a＜0$时，抛物线开口向下。
逐一分析选项：
A选项：$y=x^2-6x$中$a=1＞0$，开口向上，不符合题意；
B选项：$y=x^2-4x+5$中$a=1＞0$，开口向上，不符合题意；
C选项：$y=-3x^2+1$中$a=-3＜0$，开口向下，符合题意；
D选项：$y=\frac{1}{4}x^2 -x +4$中$a=\frac{1}{4}＞0$，开口向上，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 二次项系数的意义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数开口方向与二次项系数符号的对应关系，牢记相关性质即可快速得出答案，是二次函数部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
2.已知二次函数$y=x^2+2x-1$，当$y$随$x$的增大而减小时，$x$的取值范围是（
A.$x≥1$
B.$x≤1$
C.$x≥-1$
D.$x≤-1$
D
）A.$x≥1$
B.$x≤1$
C.$x≥-1$
D.$x≤-1$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合二次函数的图像性质分析：首先根据二次项系数判断抛物线的开口方向，再求出抛物线的对称轴，最后根据开口方向和对称轴确定y随x增大而减小的x取值范围。二次函数开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；开口向下时则相反。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+2x-1$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=2$，得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$；
3. 判断增减性：因为抛物线开口向上，所以在对称轴左侧即$x≤-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算；二次函数开口方向判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，熟练运用对称轴公式或配方法求对称轴即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要结合二次函数的图像性质分析：首先根据二次项系数判断抛物线的开口方向，再求出抛物线的对称轴，最后根据开口方向和对称轴确定y随x增大而减小的x取值范围。二次函数开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；开口向下时则相反。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+2x-1$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=2$，得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$；
3. 判断增减性：因为抛物线开口向上，所以在对称轴左侧即$x≤-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算；二次函数开口方向判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，熟练运用对称轴公式或配方法求对称轴即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. (开放性题)若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于点(0,5)，则该抛物线的表达式可能是
$y=-x^2+5$(答案不唯一)
。答案
3. $y=-x^2+5$(答案不唯一)
解析
【分析】
我们可以结合二次函数的性质逐步推导符合要求的表达式：首先抛物线对应的是二次函数，一般形式为$y = ax^2 + bx + c$（$a ≠ 0$）。第一步，根据“开口向下”的条件，可知二次项系数$a$必须小于0；第二步，根据“与y轴交于点$(0,5)$”，把$x=0$、$y=5$代入一般式，可直接得出常数项$c=5$；第三步，一次项系数$b$没有限制，可任意取值，我们可以选取最简单的$b=0$，再选一个小于0的$a$值（比如$a=-1$），就能得到符合要求的表达式。
【解析】
设抛物线的解析式为$y = ax^2 + bx + c$（$a ≠ 0$）。
1. 由抛物线开口向下可得$a ＜ 0$，这里取$a=-1$（任意负数均可）；
2. 将交点$(0,5)$代入解析式，得$5 = a×0 + b×0 + c$，解得$c=5$；
3. 一次项系数$b$无额外限制，这里取$b=0$，代入可得解析式为$y=-x^2+5$，只要满足$a＜0$、$c=5$的二次函数解析式均符合要求。
【答案】
$y=-x^2+5$（答案不唯一）
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 二次函数解析式确定
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查二次函数系数与图象特征的对应关系，只要掌握开口方向、与y轴交点分别和$a$、$c$的关联就能快速作答，解题时可优先取最简单的系数值简化表达式。
【难度系数】
0.8
我们可以结合二次函数的性质逐步推导符合要求的表达式：首先抛物线对应的是二次函数，一般形式为$y = ax^2 + bx + c$（$a ≠ 0$）。第一步，根据“开口向下”的条件，可知二次项系数$a$必须小于0；第二步，根据“与y轴交于点$(0,5)$”，把$x=0$、$y=5$代入一般式，可直接得出常数项$c=5$；第三步，一次项系数$b$没有限制，可任意取值，我们可以选取最简单的$b=0$，再选一个小于0的$a$值（比如$a=-1$），就能得到符合要求的表达式。
【解析】
设抛物线的解析式为$y = ax^2 + bx + c$（$a ≠ 0$）。
1. 由抛物线开口向下可得$a ＜ 0$，这里取$a=-1$（任意负数均可）；
2. 将交点$(0,5)$代入解析式，得$5 = a×0 + b×0 + c$，解得$c=5$；
3. 一次项系数$b$无额外限制，这里取$b=0$，代入可得解析式为$y=-x^2+5$，只要满足$a＜0$、$c=5$的二次函数解析式均符合要求。
【答案】
$y=-x^2+5$（答案不唯一）
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 二次函数解析式确定
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查二次函数系数与图象特征的对应关系，只要掌握开口方向、与y轴交点分别和$a$、$c$的关联就能快速作答，解题时可优先取最简单的系数值简化表达式。
【难度系数】
0.8
4. (2026上海一模)二次函数$y=3x^2 -2x +1$的图象在其对称轴右侧的部分是
上升
的(填“上升”或“下降”).答案
4. 上升
解析
【分析】
要判断二次函数图象在对称轴右侧的升降情况，需结合二次函数的增减性规律分析：首先确定二次项系数a的符号，判断抛物线开口方向；再根据开口方向推导对称轴两侧的图象升降规律：若a＞0，抛物线开口向上，对称轴左侧图象下降、右侧图象上升；若a＜0则规律相反。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2 -2x +1$，二次项系数$a=3＞0$，因此该抛物线开口向上。
根据二次函数的增减性，开口向上的抛物线，在对称轴右侧的区域内，y随x的增大而增大，对应图象是上升的。
【答案】
上升
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是基础类题型，核心考查二次函数开口方向与增减性的对应关系，熟记二次项系数符号和图象升降的对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断二次函数图象在对称轴右侧的升降情况，需结合二次函数的增减性规律分析：首先确定二次项系数a的符号，判断抛物线开口方向；再根据开口方向推导对称轴两侧的图象升降规律：若a＞0，抛物线开口向上，对称轴左侧图象下降、右侧图象上升；若a＜0则规律相反。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2 -2x +1$，二次项系数$a=3＞0$，因此该抛物线开口向上。
根据二次函数的增减性，开口向上的抛物线，在对称轴右侧的区域内，y随x的增大而增大，对应图象是上升的。
【答案】
上升
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是基础类题型，核心考查二次函数开口方向与增减性的对应关系，熟记二次项系数符号和图象升降的对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 写出二次函数 $y=x^2 -4x +3$ 图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它的图象.
答案
5. 解:二次函数 $y=x^2-4x+3$ 图象的对称轴是直线 $x=2$,顶点坐标是$(2,-1)$,开口向上,图象如图：
解析
【分析】
解决本题可以按照二次函数的性质逐步推导：1. 先通过二次项系数a的正负判断开口方向，a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；2. 求对称轴可以用公式法：对于一般式$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，也可以通过配方将一般式转化为顶点式直接得到对称轴；3. 顶点坐标既可以将对称轴对应的x值代入函数求y得到，也可以从顶点式中直接读取；4. 画图时选取顶点、与坐标轴交点、对称点等特殊点，描点后用平滑曲线连接即可得到函数图象。
【解析】
1. 判断开口方向：
二次函数$y=x^2-4x+3$的二次项系数$a=1＞0$，因此图象开口向上。
2. 求对称轴：
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1、b=-4$，得$x=-\frac{-4}{2×1}=2$，即对称轴为直线$x=2$。
也可通过配方求解：$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，由顶点式可得对称轴为直线$x=2$。
3. 求顶点坐标：
将$x=2$代入原函数，得$y=2^2-4×2+3=-1$，因此顶点坐标为$(2,-1)$，也可直接从顶点式$y=(x-2)^2-1$读取顶点坐标为$(2,-1)$。
4. 绘制图象：
选取顶点$(2,-1)$、与x轴交点$(1,0)$和$(3,0)$、与y轴交点$(0,3)$、对称点$(4,3)$，描点后用平滑曲线顺次连接各点，即可得到对应图象。
【答案】
二次函数 $y=x^2-4x+3$ 图象的对称轴是直线 $x=2$,顶点坐标是$(2,-1)$,开口向上,图象如图：
【知识点】
二次函数的性质，对称轴与顶点坐标求解，二次函数图象画法
【点评】
本题是二次函数基础题，重点考查二次函数基本性质的应用，熟练掌握公式法、配方法求解对称轴和顶点坐标，以及描点法画图象的方法，即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
解决本题可以按照二次函数的性质逐步推导：1. 先通过二次项系数a的正负判断开口方向，a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；2. 求对称轴可以用公式法：对于一般式$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，也可以通过配方将一般式转化为顶点式直接得到对称轴；3. 顶点坐标既可以将对称轴对应的x值代入函数求y得到，也可以从顶点式中直接读取；4. 画图时选取顶点、与坐标轴交点、对称点等特殊点，描点后用平滑曲线连接即可得到函数图象。
【解析】
1. 判断开口方向：
二次函数$y=x^2-4x+3$的二次项系数$a=1＞0$，因此图象开口向上。
2. 求对称轴：
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1、b=-4$，得$x=-\frac{-4}{2×1}=2$，即对称轴为直线$x=2$。
也可通过配方求解：$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，由顶点式可得对称轴为直线$x=2$。
3. 求顶点坐标：
将$x=2$代入原函数，得$y=2^2-4×2+3=-1$，因此顶点坐标为$(2,-1)$，也可直接从顶点式$y=(x-2)^2-1$读取顶点坐标为$(2,-1)$。
4. 绘制图象：
选取顶点$(2,-1)$、与x轴交点$(1,0)$和$(3,0)$、与y轴交点$(0,3)$、对称点$(4,3)$，描点后用平滑曲线顺次连接各点，即可得到对应图象。
【答案】
二次函数 $y=x^2-4x+3$ 图象的对称轴是直线 $x=2$,顶点坐标是$(2,-1)$,开口向上,图象如图：
【知识点】
二次函数的性质，对称轴与顶点坐标求解，二次函数图象画法
【点评】
本题是二次函数基础题，重点考查二次函数基本性质的应用，熟练掌握公式法、配方法求解对称轴和顶点坐标，以及描点法画图象的方法，即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+c$和二次函数$y=-ax^2 -c$的图象大致为（
A
）答案
6. A
解析
【分析】
解题时需结合参数a、c的符号，分别对应一次函数和二次函数的图像特征分析，按“先判开口方向、再看y轴截距、最后验证是否矛盾”的思路逐一排除错误选项：首先由二次函数的开口方向确定a的符号，再用a的符号验证一次函数的斜率是否匹配；接着由二次函数与y轴的交点确定c的符号，再用c的符号验证一次函数与y轴的交点是否匹配，全部匹配的即为正确选项。
【解析】
解：先明确两个函数的图像规律：
①一次函数$y=ax+c$：斜率为$a$，与y轴交点为$(0,c)$；
②二次函数$y=-ax^2 -c$：开口方向由二次项系数$-a$决定，与y轴交点为$(0,-c)$。
逐一分析选项：
选项A：抛物线开口向上，得$-a＞0$即$a＜0$，对应一次函数斜率为负，图像从左上向右下下降，和图像一致；抛物线与y轴交于负半轴，得$-c＜0$即$c＞0$，对应一次函数与y轴交于正半轴，和图像一致，符合要求。
选项B：抛物线开口向上得$a＜0$，一次函数斜率为负符合，但抛物线与y轴交于负半轴得$c＞0$，一次函数应与y轴交于正半轴，图中一次函数交于负半轴，矛盾，排除。
选项C：抛物线开口向下得$-a＜0$即$a＞0$，一次函数斜率为正符合，但抛物线与y轴交于正半轴得$-c＞0$即$c＜0$，一次函数应与y轴交于负半轴，图中一次函数交于正半轴，矛盾，排除。
选项D：抛物线开口向下得$a＞0$，一次函数斜率应为正，图中一次函数斜率为负，矛盾，排除。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，函数图像识别
【点评】
本题是两类函数图像结合的基础判断类题型，解题关键是抓住参数a、c对两个函数图像的共同约束，不需要计算即可通过特征排除错误选项，做题时注意不要混淆两个函数常数项对应的y轴交点符号。
【难度系数】
0.7
解题时需结合参数a、c的符号，分别对应一次函数和二次函数的图像特征分析，按“先判开口方向、再看y轴截距、最后验证是否矛盾”的思路逐一排除错误选项：首先由二次函数的开口方向确定a的符号，再用a的符号验证一次函数的斜率是否匹配；接着由二次函数与y轴的交点确定c的符号，再用c的符号验证一次函数与y轴的交点是否匹配，全部匹配的即为正确选项。
【解析】
解：先明确两个函数的图像规律：
①一次函数$y=ax+c$：斜率为$a$，与y轴交点为$(0,c)$；
②二次函数$y=-ax^2 -c$：开口方向由二次项系数$-a$决定，与y轴交点为$(0,-c)$。
逐一分析选项：
选项A：抛物线开口向上，得$-a＞0$即$a＜0$，对应一次函数斜率为负，图像从左上向右下下降，和图像一致；抛物线与y轴交于负半轴，得$-c＜0$即$c＞0$，对应一次函数与y轴交于正半轴，和图像一致，符合要求。
选项B：抛物线开口向上得$a＜0$，一次函数斜率为负符合，但抛物线与y轴交于负半轴得$c＞0$，一次函数应与y轴交于正半轴，图中一次函数交于负半轴，矛盾，排除。
选项C：抛物线开口向下得$-a＜0$即$a＞0$，一次函数斜率为正符合，但抛物线与y轴交于正半轴得$-c＞0$即$c＜0$，一次函数应与y轴交于负半轴，图中一次函数交于正半轴，矛盾，排除。
选项D：抛物线开口向下得$a＞0$，一次函数斜率应为正，图中一次函数斜率为负，矛盾，排除。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，函数图像识别
【点评】
本题是两类函数图像结合的基础判断类题型，解题关键是抓住参数a、c对两个函数图像的共同约束，不需要计算即可通过特征排除错误选项，做题时注意不要混淆两个函数常数项对应的y轴交点符号。
【难度系数】
0.7
7.已知二次函数$y=x^2-2x+1$的图象向左平移2个单位长度得到抛物线C，点P(2，$y_1$)，Q(3，$y_2$)在抛物线C上，则$y_1$
＜
$y_2$（填“＞”或“＜”）。答案
7. ＜
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律，求出平移后抛物线C的解析式；第二步，可通过两种方式比较y₁和y₂的大小：一是直接将点P、Q的横坐标代入解析式计算出y₁、y₂的数值再比较；二是利用二次函数的增减性，结合两点横坐标的大小关系快速判断。
【解析】
首先将原二次函数化为顶点式：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$
根据“左加右减”的平移规则，图象向左平移2个单位长度，即将解析式中的$x$替换为$x+2$，可得抛物线C的解析式为：
$y=(x-1+2)^2=(x+1)^2$
方法一：代入计算比较
将点$P(2,y_1)$代入得：$y_1=(2+1)^2=9$
将点$Q(3,y_2)$代入得：$y_2=(3+1)^2=16$
因为$9＜16$，所以$y_1＜y_2$。
方法二：利用增减性判断
抛物线$y=(x+1)^2$开口向上，对称轴为直线$x=-1$，当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知$2＜3$，且2、3都大于-1，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数的性质；函数值比较
【点评】
本题重点考查二次函数的平移规则和增减性的应用，解题时既可以直接代入计算，也可以利用函数性质快速判断，熟练掌握相关基础知识点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律，求出平移后抛物线C的解析式；第二步，可通过两种方式比较y₁和y₂的大小：一是直接将点P、Q的横坐标代入解析式计算出y₁、y₂的数值再比较；二是利用二次函数的增减性，结合两点横坐标的大小关系快速判断。
【解析】
首先将原二次函数化为顶点式：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$
根据“左加右减”的平移规则，图象向左平移2个单位长度，即将解析式中的$x$替换为$x+2$，可得抛物线C的解析式为：
$y=(x-1+2)^2=(x+1)^2$
方法一：代入计算比较
将点$P(2,y_1)$代入得：$y_1=(2+1)^2=9$
将点$Q(3,y_2)$代入得：$y_2=(3+1)^2=16$
因为$9＜16$，所以$y_1＜y_2$。
方法二：利用增减性判断
抛物线$y=(x+1)^2$开口向上，对称轴为直线$x=-1$，当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知$2＜3$，且2、3都大于-1，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数的性质；函数值比较
【点评】
本题重点考查二次函数的平移规则和增减性的应用，解题时既可以直接代入计算，也可以利用函数性质快速判断，熟练掌握相关基础知识点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 如图,二次函数$y=ax^2+2x+c(a≠0)$的图象关于直线$x=1$对称,与x轴交于点$A(-1,0)$与点B,与y轴交于点$C(0,c)$.
(1)求a与c的值;
(2)求点B的坐标;
(3)在直线BC上取一点P,连接PA,使得$PA=PB$,求点P的坐标.
(1)求a与c的值;
(2)求点B的坐标;
(3)在直线BC上取一点P,连接PA,使得$PA=PB$,求点P的坐标.
答案
8. 解:(1)$\because$ 二次函数 $y=ax^2+2x+c(a≠0)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，
$\therefore -\frac{2}{2a}=1$,解得 $a=-1$.
$\therefore$ 函数表达式为 $y=-x^2+2x+c$.
$\because$ 图象过点$A(-1,0)$,$\therefore -1-2+c=0$,解得 $c=3$.
(2)由题意知,点 A 与点 B 关于直线 $x=1$ 对称,且$A(-1,0)$,
$\therefore$ 点 B 的坐标为$(3,0)$.
(3)由(1)得 $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,$\because PA=PB$,
$\therefore$ 点 P 在抛物线的对称轴直线 $x=1$ 上，
$\because B(3,0),C(0,3)$,易得直线 BC 的表达式为 $y=-x+3$,令 $x=1$,则 $y=-1+3=2$,$\therefore$ 点$P(1,2)$.
$\therefore -\frac{2}{2a}=1$,解得 $a=-1$.
$\therefore$ 函数表达式为 $y=-x^2+2x+c$.
$\because$ 图象过点$A(-1,0)$,$\therefore -1-2+c=0$,解得 $c=3$.
(2)由题意知,点 A 与点 B 关于直线 $x=1$ 对称,且$A(-1,0)$,
$\therefore$ 点 B 的坐标为$(3,0)$.
(3)由(1)得 $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,$\because PA=PB$,
$\therefore$ 点 P 在抛物线的对称轴直线 $x=1$ 上，
$\because B(3,0),C(0,3)$,易得直线 BC 的表达式为 $y=-x+3$,令 $x=1$,则 $y=-1+3=2$,$\therefore$ 点$P(1,2)$.
解析
【分析】
(1) 求a、c的值：先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合已知对称轴$x=1$、$b=2$即可求出a的值；再将点$A(-1,0)$代入求出a后的函数解析式，即可求解c的值。
(2) 求点B坐标：二次函数与x轴的两个交点A、B关于对称轴对称，已知对称轴为$x=1$、点A坐标，根据对称点的坐标特征即可求出B点坐标。
(3) 求点P坐标：由$PA=PB$可知点P在线段AB的垂直平分线上，即抛物线对称轴$x=1$上，可得点P横坐标为1；先求出直线BC的解析式，再将$x=1$代入解析式即可求出点P纵坐标，得到P点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数 $y=ax^2+2x+c(a≠0)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=2$得：
$-\frac{2}{2a}=1$，解得 $a=-1$。
$\therefore$ 函数表达式为 $y=-x^2+2x+c$，将点$A(-1,0)$代入解析式：
$-(-1)^2+2×(-1)+c=0$，即$-1-2+c=0$，解得 $c=3$。
(2) 点 A 与点 B 关于直线 $x=1$ 对称，且$A(-1,0)$，设B点坐标为$(x,0)$，则$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$，即点 B 的坐标为$(3,0)$。
(3) $\because PA=PB$，$\therefore$ 点P在线段AB的垂直平分线上，即抛物线的对称轴直线 $x=1$ 上，点P横坐标为1。
已知$B(3,0),C(0,3)$，设直线BC的解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标得$\begin{cases}b=3\\3k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$，即直线BC的表达式为 $y=-x+3$。
令 $x=1$，则 $y=-1+3=2$，$\therefore$ 点$P(1,2)$。
【答案】
(1) $a=-1$，$c=3$；
(2) $B(3,0)$；
(3) $P(1,2)$
【知识点】
二次函数的图象与性质；一次函数解析式求解；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，结合了函数性质与几何判定考察，解题核心是灵活运用二次函数对称轴、对称点性质以及垂直平分线的判定，是二次函数部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求a、c的值：先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合已知对称轴$x=1$、$b=2$即可求出a的值；再将点$A(-1,0)$代入求出a后的函数解析式，即可求解c的值。
(2) 求点B坐标：二次函数与x轴的两个交点A、B关于对称轴对称，已知对称轴为$x=1$、点A坐标，根据对称点的坐标特征即可求出B点坐标。
(3) 求点P坐标：由$PA=PB$可知点P在线段AB的垂直平分线上，即抛物线对称轴$x=1$上，可得点P横坐标为1；先求出直线BC的解析式，再将$x=1$代入解析式即可求出点P纵坐标，得到P点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数 $y=ax^2+2x+c(a≠0)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=2$得：
$-\frac{2}{2a}=1$，解得 $a=-1$。
$\therefore$ 函数表达式为 $y=-x^2+2x+c$，将点$A(-1,0)$代入解析式：
$-(-1)^2+2×(-1)+c=0$，即$-1-2+c=0$，解得 $c=3$。
(2) 点 A 与点 B 关于直线 $x=1$ 对称，且$A(-1,0)$，设B点坐标为$(x,0)$，则$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$，即点 B 的坐标为$(3,0)$。
(3) $\because PA=PB$，$\therefore$ 点P在线段AB的垂直平分线上，即抛物线的对称轴直线 $x=1$ 上，点P横坐标为1。
已知$B(3,0),C(0,3)$，设直线BC的解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标得$\begin{cases}b=3\\3k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$，即直线BC的表达式为 $y=-x+3$。
令 $x=1$，则 $y=-1+3=2$，$\therefore$ 点$P(1,2)$。
【答案】
(1) $a=-1$，$c=3$；
(2) $B(3,0)$；
(3) $P(1,2)$
【知识点】
二次函数的图象与性质；一次函数解析式求解；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，结合了函数性质与几何判定考察，解题核心是灵活运用二次函数对称轴、对称点性质以及垂直平分线的判定，是二次函数部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
