1. 如图所示，PA，PB是$\odot O$的切线，且$∠ APB = 40°$，则下列说法不正确的是（）

A.$PA = PB$
B.$∠ APO = 20°$
C.$∠ OBP = 70°$
D.$∠ AOP = 70°$

1. C

【分析】
本题是圆切线相关的正误判断题，解题时首先回忆切线的相关核心性质：①切线与过切点的半径垂直，可得到直角；②切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。结合已知$∠ APB=40°$，逐个验证四个选项即可得出答案。
【解析】
已知PA、PB是$\odot O$的切线：
1. 根据切线长定理，可得$PA=PB$，且$PO$平分$∠ APB$，因此A选项说法正确，不符合题意；
2. 已知$∠ APB=40°$，则$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×40°=20°$，因此B选项说法正确，不符合题意；
3. 根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$OB⊥ PB$，即$∠ OBP=90°$，因此C选项说法错误，符合题意；
4. 在$Rt△ OAP$中，$∠ OAP=90°$，$∠ APO=20°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ AOP=90°-20°=70°$，因此D选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；切线长定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，侧重考查切线相关基础定理的记忆与简单应用，熟练掌握切线性质和切线长定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 如图,已知PA,PB分别切⊙O于点A,B,∠P=60°,PA=4,则弦AB的长是。

2. 4

【分析】
解题时先观察图形特征：PA、PB是圆O的两条切线，首先想到切线长定理，可得PA=PB，即△PAB为等腰三角形；已知∠P=60°，结合等边三角形的判定定理，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可判定△PAB是等边三角形，等边三角形三边相等，因此AB的长度与PA相等，代入PA的长度即可得到结果。
【解析】
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴根据切线长定理可得：PA = PB，
又
∵∠P = 60°，
∴△PAB是有一个角为60°的等腰三角形，即△PAB为等边三角形，
∴AB = PA，
∵PA = 4，
∴AB = 4。
【答案】
4
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的核心是先利用切线长定理得到等腰三角形，再结合特殊角判定三角形为等边三角形，进而求出边长，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85

3. 如图，PA，PB分别切$\odot O$于点A，B，PA = 17 cm，点C是劣弧AB上的点（不与点A，B重合），过点C的切线分别交PA，PB于点E，F，则$△ PEF$的周长为 （）

A.17 cm
B.25 cm
C.34 cm
D.35 cm

3. C

【分析】
遇到圆的多条切线问题，首先考虑切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。要求△PEF的周长，可先将周长拆分为PE+EF+PF，再把EF拆为EC+CF，结合切线长定理把EC、CF分别替换为相等的EA、FB，最终将周长转化为PA与PB的和，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，
∴根据切线长定理可得：$PB=PA=17\mathrm{cm}$。
又
∵EF切$\odot O$于点C，交PA于E，交PB于F，
∴同理可得：$EA=EC$，$FC=FB$。
$△ PEF$的周长 $= PE + EF + PF$
$= PE + EC + CF + PF$
将$EC=EA$，$CF=FB$代入得：
周长 $= PE + EA + FB + PF$
$= (PE + EA) + (PF + FB)$
$= PA + PB$
$= 17 + 17 = 34(\mathrm{cm})$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理、三角形周长计算
【点评】
本题是圆的切线相关的基础计算题，解题核心是灵活运用切线长定理进行线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知切线长的和，降低计算难度。
【难度系数】
0.8

4. 如图，EA，ED是$\odot O$的切线，切点为A，D，点B，C在$\odot O$上，若$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，则$∠ E =$（）

A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$

4. C

【分析】
要求∠E的度数，首先根据切线的性质可知EA⊥OA、ED⊥OD，可得∠E与圆心角∠AOD互补，因此只需先求出∠AOD的度数。结合已知的∠BAE + ∠BCD = 236°，利用弦切角定理、圆周角定理把两个角转化为对应弧的度数表达式，结合圆周总度数为360°，可求出弧AD的度数，进而得到∠AOD的度数，最终算出∠E。
【解析】
连接OA、OD：
1. 由切线的性质得：OA⊥EA，OD⊥ED，即$∠ OAE=∠ ODE=90°$
四边形OAED内角和为$360°$，因此$∠ E + ∠ AOD = 360° - 90° - 90° = 180°$。
2. 根据弦切角定理：$∠ BAE = \frac{1}{2}×$优弧AB的度数；
根据圆周角定理：$∠ BCD = \frac{1}{2}×$弧BAD的度数。
已知$∠ BAE + ∠ BCD=236°$，代入得：
$\frac{1}{2}×$优弧AB的度数$+\frac{1}{2}×$弧BAD的度数$=236°$
两边乘2得：优弧AB的度数 + 弧BAD的度数$=472°$
其中优弧AB的度数$=360° -$劣弧AB的度数，弧BAD的度数$=$劣弧AB的度数$+$弧AD的度数，代入化简：
$360° -$劣弧AB的度数$+$劣弧AB的度数$+$弧AD的度数$=472°$
解得弧AD的度数$=472°-360°=112°$，对应圆心角$∠ AOD=112°$。
3. 代入$∠ E + ∠ AOD=180°$，得$∠ E=180°-112°=68°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，弦切角定理
【点评】
本题是圆的性质综合应用题，解题核心是将角的数量关系转化为弧的度数关系，消去未知量后求出目标弧的度数，进而得到所求角的大小，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65

5.（人教九上$\mathrm{P}_{155}$习题$\mathrm{T}_{8}$改编）如图，直线AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于E，F，G三点，且$AB// CD$，若$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，则$BE+CG$的值为（）

A.13 cm
B.12 cm
C.11 cm
D.10 cm

5. D

【分析】
看到直线与圆相切的条件，首先联想切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。结合AB//CD的平行条件，可推出∠BOC为直角，先通过勾股定理计算BC的长度，再通过切线长的等量替换，即可得到BE+CG的长度。
【解析】
解：
∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点
根据切线长定理可得：BE=BF，CG=CF，且OB平分∠ABC，OC平分∠BCD
∵AB//CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
∴∠OBC+∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠BCD) = $\frac{1}{2}$×180°=90°
∴△BOC为直角三角形，∠BOC=90°
在Rt△BOC中，OB=6 cm，OC=8 cm，由勾股定理得：
BC = $\sqrt{OB^2+OC^2}$ = $\sqrt{6^2+8^2}$ = $\sqrt{100}$ = 10 cm
又
∵BE+CG = BF+CF = BC
∴BE+CG=10 cm
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是利用切线长定理完成线段的等量转化，同时结合平行性质推出直角三角形，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7

6. 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，CD切$\odot O$于点E，$△ PCD$的周长为12，$∠ P=60°$.
(1)求PA的长；
(2)求$∠ COD$的度数.

6. 解:(1)$\because CA,CE$都是$\odot O$的切线,$\therefore CA = CE$.
同理$DE = DB,PA = PB$.
$\therefore △ PCD$的周长$= PD + PC + CD = PD + PC + CE + DE = PD + PC + CA + DB = (PC + CA) + (PD + DB) = PA + PB = 2PA = 12$,即$PA$的长为6.
(2)$\because ∠ P = 60°, \therefore ∠ PCE + ∠ PDE = 120°$.
$\therefore ∠ ACD + ∠ CDB = 360° - 120° = 240°$.
$\because CA,CE$是$\odot O$的切线,
$\therefore ∠ OCE = ∠ OCA = \frac{1}{2}∠ ACD$. 同理$∠ ODE = \frac{1}{2}∠ CDB$.
$\therefore ∠ OCE + ∠ ODE = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ CDB) = 120°$.
$\therefore ∠ COD = 180° - 120° = 60°$.

【分析】
(1) 求PA的长时，结合已知的△PCD周长，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。据此可将△PCD的周长通过等量代换转化为2PA，代入数值即可求解。
(2) 求∠COD的度数时，先由∠P=60°结合三角形内角和求出∠PCD与∠PDC的和，再利用邻补角性质求出∠ACD与∠CDB的和；根据切线性质可知OC、OD分别平分∠ACD和∠CDB，由此可求出△COD中两个底角的和，最后结合三角形内角和即可求出∠COD的度数。
【解析】
(1) $\because CA,CE$都是$\odot O$的切线，根据切线长定理可得$CA = CE$，
同理可得$DE = DB,PA = PB$，
$\therefore △ PCD$的周长$= PD + PC + CD = PD + PC + CE + DE = PD + PC + CA + DB = (PC + CA) + (PD + DB) = PA + PB = 2PA$，
已知$△ PCD$的周长为12，$\therefore 2PA=12$，解得$PA=6$。
(2) 在$△ PCD$中，$∠ P=60°$，根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ PCD + ∠ PDC = 180° - ∠ P=120°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ CDB = (180° - ∠ PCD)+(180° - ∠ PDC)=360° - 120°=240°$，
$\because CA,CE$是$\odot O$的切线，$\therefore OC$平分$∠ ACD$，即$∠ OCE = \frac{1}{2}∠ ACD$，
同理可得$OD$平分$∠ CDB$，即$∠ ODE = \frac{1}{2}∠ CDB$，
$\therefore ∠ OCE + ∠ ODE = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ CDB) = \frac{1}{2}×240°=120°$，
在$△ COD$中，$∠ COD = 180° - (∠ OCE + ∠ ODE)=180° - 120°=60°$。
【答案】
(1) $PA$的长为6；(2) $∠ COD$的度数为$60°$
【知识点】
切线长定理，三角形内角和定理，角平分线的性质
【点评】
本题属于圆的切线相关的基础题，核心考查切线长定理的应用，解题时需通过等量代换转化线段和、角的和差关系，结合基础几何定理即可求解，是对圆的切线性质基础应用的典型考查。
【难度系数】
0.7

7.（拓展题）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC=3$，$AB=5$.
（1）请用尺规作图，在$BC$上找一点$O$，并以点$O$为圆心作圆，使得该圆与$AB$，$AC$两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求（1）中所作$\odot O$的半径.

7. 解:(1)如图,$\odot O$即为所求.
(2) 设$\odot O$与$AB$相切于点$E$,连接$OE$,则$OE ⊥ AB$.
设$\odot O$的半径为$r$,则$OE = OC = r$.
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中,$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.
$\because S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ AOC}$,
$\therefore \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · OE + \frac{1}{2}AC · OC$,即$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5r + \frac{1}{2} × 3r$. 解得$r = \frac{3}{2}$.
$\therefore \odot O$的半径为$\frac{3}{2}$.

【分析】
（1）作图部分：要使⊙O同时与AB、AC两边相切，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可知圆心O必须在∠BAC的角平分线上，同时O在BC边上，因此只需作∠BAC的角平分线，与BC的交点即为所求圆心O，再以O为圆心、O到AC的距离（即OC长）为半径作圆即可。
（2）计算半径部分：先通过勾股定理求出BC的长度，再利用面积分割法，将△ABC的面积拆分为△AOB和△AOC的面积之和，两个小三角形的高均为圆的半径，据此列方程即可求解半径。
【解析】
（1）作图：作∠BAC的角平分线交BC于点O，以O为圆心，OC为半径作圆，⊙O即为所求（保留角平分线、圆的作图痕迹）。
（2）设⊙O与AB相切于点E，连接OE，由切线的性质可得$OE ⊥ AB$。
设$\odot O$的半径为$r$，因O在∠BAC的角平分线上，故O到AB、AC的距离相等，即$OE = OC = r$。
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$AB=5$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
由$S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ AOC}$，代入三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · OE + \frac{1}{2}AC · OC$
代入数值可得：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5r + \frac{1}{2} × 3r$
化简解得：$r=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)如图,$\odot O$即为所求.
(2)$\odot O$的半径为$\frac{3}{2}$。
【知识点】
角平分线的性质；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查尺规作图、圆的基本性质和几何计算，解题核心是利用角平分线性质确定圆心位置，通过面积法建立等量关系求解线段长度，能有效锻炼学生的作图能力和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7