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10.计算：
(1)已知$x^2 -5x=14$，求$(x-1)(2x-1)-(x+1)^2 +1$的值；
(2)先化简，再求值：$(a-b)^2 +b(a-b)$，其中$a=3$，$b=-\dfrac{1}{2}$。
(1)已知$x^2 -5x=14$，求$(x-1)(2x-1)-(x+1)^2 +1$的值；
(2)先化简，再求值：$(a-b)^2 +b(a-b)$，其中$a=3$，$b=-\dfrac{1}{2}$。
答案
10.(1)解:原式=$2x^2 -x -2x +1 -(x^2 +2x +1)+1=2x^2 -3x +1 -x^2 -2x -1 +1=x^2 -5x +1$。又$\because x^2 -5x=14$,$\therefore$原式$=14+1=15$。
(2)解:$(a-b)^2 +b(a-b)=a^2 -2ab +b^2 +ab -b^2 =a^2 -ab$。当$a=3$,$b=-\frac{1}{2}$时,原式=$3^2 -3×(-\frac{1}{2})=9+\frac{3}{2}=10\frac{1}{2}$。
(2)解:$(a-b)^2 +b(a-b)=a^2 -2ab +b^2 +ab -b^2 =a^2 -ab$。当$a=3$,$b=-\frac{1}{2}$时,原式=$3^2 -3×(-\frac{1}{2})=9+\frac{3}{2}=10\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 本题若直接求解x的值计算会比较繁琐，解题思路为先将待求的整式按照整式运算法则展开、去括号、合并同类项，化简后可发现式子中含有已知条件给出的$x^2-5x$，再采用整体代入法代入数值计算即可，无需单独求x的取值。
(2) 本题属于常规的先化简再求值题型，先利用完全平方公式、单项式乘多项式的法则将原式展开，合并同类项得到最简整式，再将a、b的取值代入最简式计算，可有效降低运算量，减少计算错误。
【解析】
(1) 先化简待求式：
$\begin{aligned}&(x-1)(2x-1)-(x+1)^2 +1\\=&2x^2 -x -2x +1 -(x^2 +2x +1)+1\\=&2x^2 -3x +1 -x^2 -2x -1 +1\\=&x^2 -5x +1\end{aligned}$
已知$x^2 -5x=14$，将其代入化简后的式子可得：
原式$=14+1=15$
(2) 先化简原式：
$\begin{aligned}&(a-b)^2 +b(a-b)\\=&a^2 -2ab +b^2 +ab -b^2\\=&a^2 -ab\end{aligned}$
将$a=3$，$b=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子可得：
$\begin{aligned}原式&=3^2 -3×(-\dfrac{1}{2})\\&=9+\dfrac{3}{2}\\&=10\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{15}$；(2) $\boxed{10\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
1. 整式混合运算 2. 整体代入求值 3. 完全平方公式
【点评】
这两道题是整式化简求值的典型题型，第一问侧重考查整体代入的数学思想，省去了解方程的步骤，能提升解题效率；第二问侧重考查基础整式运算法则的应用，先化简再求值是这类题的通用解法，熟练掌握去括号、合并同类项等运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 本题若直接求解x的值计算会比较繁琐，解题思路为先将待求的整式按照整式运算法则展开、去括号、合并同类项，化简后可发现式子中含有已知条件给出的$x^2-5x$，再采用整体代入法代入数值计算即可，无需单独求x的取值。
(2) 本题属于常规的先化简再求值题型，先利用完全平方公式、单项式乘多项式的法则将原式展开，合并同类项得到最简整式，再将a、b的取值代入最简式计算，可有效降低运算量，减少计算错误。
【解析】
(1) 先化简待求式：
$\begin{aligned}&(x-1)(2x-1)-(x+1)^2 +1\\=&2x^2 -x -2x +1 -(x^2 +2x +1)+1\\=&2x^2 -3x +1 -x^2 -2x -1 +1\\=&x^2 -5x +1\end{aligned}$
已知$x^2 -5x=14$，将其代入化简后的式子可得：
原式$=14+1=15$
(2) 先化简原式：
$\begin{aligned}&(a-b)^2 +b(a-b)\\=&a^2 -2ab +b^2 +ab -b^2\\=&a^2 -ab\end{aligned}$
将$a=3$，$b=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子可得：
$\begin{aligned}原式&=3^2 -3×(-\dfrac{1}{2})\\&=9+\dfrac{3}{2}\\&=10\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{15}$；(2) $\boxed{10\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
1. 整式混合运算 2. 整体代入求值 3. 完全平方公式
【点评】
这两道题是整式化简求值的典型题型，第一问侧重考查整体代入的数学思想，省去了解方程的步骤，能提升解题效率；第二问侧重考查基础整式运算法则的应用，先化简再求值是这类题的通用解法，熟练掌握去括号、合并同类项等运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
11.若$M=123\ 456\ 789×123\ 456\ 786$，$N=123\ 456\ 788×123\ 456\ 787$，试比较$M$与$N$的大小。
答案
11.解:设123 456 788=a,则123 456 789=a+1,123 456 786=a-2,123 456 787=a-1。从而$M=(a+1)(a-2)=a^2 -a -2,N=a(a-1)=a^2 -a$。所以$M-N=(a^2 -a -2)-(a^2 -a)=-2＜0,$所以M＜N。
解析
【分析】
观察发现M、N中的四个因数都是相邻的相近大数，直接计算乘积运算量极大且易出错，因此可以采用换元法简化计算：选择四个因数中公共的中间数设为字母a，将所有因数都用含a的代数式表示，再分别展开M、N的表达式，最后通过作差法判断M和N的大小（若差为正则被减数更大，差为负则减数更大）。
【解析】
设$123\ 456\ 788=a$，则：
$123\ 456\ 789=a+1$，$123\ 456\ 786=a-2$，$123\ 456\ 787=a-1$
分别代入M、N的表达式展开：
$M=(a+1)(a-2)=a^2-2a+a-2=a^2-a-2$
$N=a(a-1)=a^2-a$
计算两数的差：
$M-N=(a^2-a-2)-(a^2-a)=-2$
因为$-2＜0$，所以$M＜N$。
【答案】
$M＜N$
【知识点】
换元法应用，整式乘法，作差比较大小
【点评】
本题通过换元法将复杂的大数运算转化为整式化简运算，大幅降低了计算量，是比较相近大数乘积大小的常用技巧，需要掌握换元的取值方法和作差比较大小的逻辑。
【难度系数】
0.7
观察发现M、N中的四个因数都是相邻的相近大数，直接计算乘积运算量极大且易出错，因此可以采用换元法简化计算：选择四个因数中公共的中间数设为字母a，将所有因数都用含a的代数式表示，再分别展开M、N的表达式，最后通过作差法判断M和N的大小（若差为正则被减数更大，差为负则减数更大）。
【解析】
设$123\ 456\ 788=a$，则：
$123\ 456\ 789=a+1$，$123\ 456\ 786=a-2$，$123\ 456\ 787=a-1$
分别代入M、N的表达式展开：
$M=(a+1)(a-2)=a^2-2a+a-2=a^2-a-2$
$N=a(a-1)=a^2-a$
计算两数的差：
$M-N=(a^2-a-2)-(a^2-a)=-2$
因为$-2＜0$，所以$M＜N$。
【答案】
$M＜N$
【知识点】
换元法应用，整式乘法，作差比较大小
【点评】
本题通过换元法将复杂的大数运算转化为整式化简运算，大幅降低了计算量，是比较相近大数乘积大小的常用技巧，需要掌握换元的取值方法和作差比较大小的逻辑。
【难度系数】
0.7
