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1. 先化简,再求值:$(x-2-\dfrac{12}{x+2})÷\dfrac{x-4}{x+2}$,其中$x=-4$.
答案
1. 原式$=x+4.$
当$x=-4$时,原式$=-4+4=0.$
当$x=-4$时,原式$=-4+4=0.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先处理括号内的分式减法，将整式$x-2$通分为分母是$x+2$的分式，再和$\frac{12}{x+2}$合并；第二步将分式除法转化为乘法运算，除以一个分式等于乘以它的倒数；第三步对分子因式分解，再约分化为最简整式；最后将$x=-4$代入最简式计算结果即可，计算时要注意保证原分式的分母不为0。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} - \frac{12}{x+2} ) ÷ \frac{x-4}{x+2} \\&=\frac{x^2 -4 -12}{x+2} × \frac{x+2}{x-4} \\&=\frac{x^2 -16}{x+2} × \frac{x+2}{x-4} \\&=\frac{(x+4)(x-4)}{x+2} × \frac{x+2}{x-4} \\&=x+4\end{aligned}$
将$x=-4$代入化简后的式子：
原式$=-4+4=0$
【答案】
化简结果为$x+4$，求值结果为$0$
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考察分式通分、约分、因式分解的综合运用，计算时需遵循先括号后乘除的运算顺序，将除法转化为乘法后再约分，代入数值前可验证取值是否使原分式有意义，避免出错。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先处理括号内的分式减法，将整式$x-2$通分为分母是$x+2$的分式，再和$\frac{12}{x+2}$合并；第二步将分式除法转化为乘法运算，除以一个分式等于乘以它的倒数；第三步对分子因式分解，再约分化为最简整式；最后将$x=-4$代入最简式计算结果即可，计算时要注意保证原分式的分母不为0。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} - \frac{12}{x+2} ) ÷ \frac{x-4}{x+2} \\&=\frac{x^2 -4 -12}{x+2} × \frac{x+2}{x-4} \\&=\frac{x^2 -16}{x+2} × \frac{x+2}{x-4} \\&=\frac{(x+4)(x-4)}{x+2} × \frac{x+2}{x-4} \\&=x+4\end{aligned}$
将$x=-4$代入化简后的式子：
原式$=-4+4=0$
【答案】
化简结果为$x+4$，求值结果为$0$
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考察分式通分、约分、因式分解的综合运用，计算时需遵循先括号后乘除的运算顺序，将除法转化为乘法后再约分，代入数值前可验证取值是否使原分式有意义，避免出错。
【难度系数】
0.8
2. 当$x$取什么值时，分式$\dfrac{12}{x^2 - 9}$与$\dfrac{4}{x - 3} + \dfrac{1}{x + 3}$的值相等？
答案
2. 根据题意,得$\dfrac{12}{x^2-9}=\dfrac{4}{x-3}+\dfrac{1}{x+3}$,
解得$x=\dfrac{3}{5}.$
经检验,$x=\dfrac{3}{5}$是原分式方程的解，
$\therefore$当$x=\dfrac{3}{5}$时,分式$\dfrac{12}{x^2-9}$与$\dfrac{4}{x-3}+\dfrac{1}{x+3}$的值相等.
解得$x=\dfrac{3}{5}.$
经检验,$x=\dfrac{3}{5}$是原分式方程的解，
$\therefore$当$x=\dfrac{3}{5}$时,分式$\dfrac{12}{x^2-9}$与$\dfrac{4}{x-3}+\dfrac{1}{x+3}$的值相等.
解析
【分析】
要解决该问题，首先根据两个分式值相等的条件列出分式方程；其次观察到分母$x^2-9$可因式分解为$(x-3)(x+3)$，确定最简公分母为$(x-3)(x+3)$，同时明确分式有意义的前提是分母不为0，即$x≠\pm3$；接下来按照解分式方程的步骤，去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得解是否为原分式方程的解，排除增根。
【解析】
解：根据题意列方程，得
$\dfrac{12}{x^2 - 9}=\dfrac{4}{x - 3} + \dfrac{1}{x + 3}$
由分式有意义的条件得：$x^2-9≠0$，即$x≠3$且$x≠-3$。
方程两边同时乘最简公分母$(x+3)(x-3)$，去分母得：
$12 = 4(x+3) + (x-3)$
展开并整理等式右侧：
$12 = 4x +12 +x -3$
$12 = 5x +9$
移项计算得：
$5x = 3$
解得 $x=\dfrac{3}{5}$
检验：将$x=\dfrac{3}{5}$代入$(x+3)(x-3)$，得$(\dfrac{3}{5}+3)(\dfrac{3}{5}-3)=-\dfrac{216}{25}≠0$，因此$x=\dfrac{3}{5}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\dfrac{3}{5}$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；分式方程验根
【点评】
本题属于解分式方程的基础题型，解题时要注意先明确分母不为0的取值范围，去分母时不要漏乘项，解完后务必验根，避免忽略增根问题导致出错。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先根据两个分式值相等的条件列出分式方程；其次观察到分母$x^2-9$可因式分解为$(x-3)(x+3)$，确定最简公分母为$(x-3)(x+3)$，同时明确分式有意义的前提是分母不为0，即$x≠\pm3$；接下来按照解分式方程的步骤，去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得解是否为原分式方程的解，排除增根。
【解析】
解：根据题意列方程，得
$\dfrac{12}{x^2 - 9}=\dfrac{4}{x - 3} + \dfrac{1}{x + 3}$
由分式有意义的条件得：$x^2-9≠0$，即$x≠3$且$x≠-3$。
方程两边同时乘最简公分母$(x+3)(x-3)$，去分母得：
$12 = 4(x+3) + (x-3)$
展开并整理等式右侧：
$12 = 4x +12 +x -3$
$12 = 5x +9$
移项计算得：
$5x = 3$
解得 $x=\dfrac{3}{5}$
检验：将$x=\dfrac{3}{5}$代入$(x+3)(x-3)$，得$(\dfrac{3}{5}+3)(\dfrac{3}{5}-3)=-\dfrac{216}{25}≠0$，因此$x=\dfrac{3}{5}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\dfrac{3}{5}$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；分式方程验根
【点评】
本题属于解分式方程的基础题型，解题时要注意先明确分母不为0的取值范围，去分母时不要漏乘项，解完后务必验根，避免忽略增根问题导致出错。
【难度系数】
0.7
3. 已知$A=\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{2x}{3x+3}$，若$A=1$，求$x$的值.
答案
3. $A=1$,即$\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{2x}{3x+3}=1$,解得$x=-\dfrac{3}{2}.$
经检验,$x=-\dfrac{3}{2}$是原方程的解.
故$x$的值为$-\dfrac{3}{2}.$
经检验,$x=-\dfrac{3}{2}$是原方程的解.
故$x$的值为$-\dfrac{3}{2}.$
解析
【分析】
首先根据题意将A的表达式代入A=1，得到分式方程；接着观察分式的分母，对3x+3因式分解得3(x+1)，确定最简公分母为3(x+1)；随后通过去分母将分式方程转化为一元一次方程求解；最后必须检验所求的解是否使原分式的分母不为0，排除增根后得到最终x的值。
【解析】
由题意得：$\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{2x}{3x+3}=1$
先整理分母：$3x+3=3(x+1)$，原方程可化为：
$\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{2x}{3(x+1)}=1$
方程两边同时乘以最简公分母$3(x+1)$（$x≠ -1$），去分母得：
$3x - 2x = 3(x+1)$
化简得：$x = 3x + 3$
移项、合并同类项得：$-2x = 3$
系数化为1得：$x=-\dfrac{3}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{3}{2}$时，$3(x+1)=3×(-\dfrac{3}{2}+1)=-\dfrac{3}{2}≠ 0$，所以$x=-\dfrac{3}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式化简，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础计算题，解题核心是先将分式方程通过去分母转化为已学的整式方程求解，需牢记解分式方程的最后一步必须验根，确保所求的解不会使原分式的分母为0。
【难度系数】
0.75
首先根据题意将A的表达式代入A=1，得到分式方程；接着观察分式的分母，对3x+3因式分解得3(x+1)，确定最简公分母为3(x+1)；随后通过去分母将分式方程转化为一元一次方程求解；最后必须检验所求的解是否使原分式的分母不为0，排除增根后得到最终x的值。
【解析】
由题意得：$\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{2x}{3x+3}=1$
先整理分母：$3x+3=3(x+1)$，原方程可化为：
$\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{2x}{3(x+1)}=1$
方程两边同时乘以最简公分母$3(x+1)$（$x≠ -1$），去分母得：
$3x - 2x = 3(x+1)$
化简得：$x = 3x + 3$
移项、合并同类项得：$-2x = 3$
系数化为1得：$x=-\dfrac{3}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{3}{2}$时，$3(x+1)=3×(-\dfrac{3}{2}+1)=-\dfrac{3}{2}≠ 0$，所以$x=-\dfrac{3}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式化简，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础计算题，解题核心是先将分式方程通过去分母转化为已学的整式方程求解，需牢记解分式方程的最后一步必须验根，确保所求的解不会使原分式的分母为0。
【难度系数】
0.75
4. 当$x$为何值时，分式$\dfrac{1}{2x-1}$与$\dfrac{2}{3x+2}$的值相等？并求出此时分式的值.
答案
4. $\because$分式$\dfrac{1}{2x-1}$与$\dfrac{2}{3x+2}$的值相等，
$\therefore \dfrac{1}{2x-1}=\dfrac{2}{3x+2}$,解得$x=4.$
经检验,$x=4$是原方程的解.
把$x=4$代入$\dfrac{1}{2x-1}$,得$\dfrac{1}{2×4-1}=\dfrac{1}{7},$
$\therefore$当$x=4$时,分式$\dfrac{1}{2x-1}$与$\dfrac{2}{3x+2}$的值相等,此时分式的值为$\dfrac{1}{7}.$
$\therefore \dfrac{1}{2x-1}=\dfrac{2}{3x+2}$,解得$x=4.$
经检验,$x=4$是原方程的解.
把$x=4$代入$\dfrac{1}{2x-1}$,得$\dfrac{1}{2×4-1}=\dfrac{1}{7},$
$\therefore$当$x=4$时,分式$\dfrac{1}{2x-1}$与$\dfrac{2}{3x+2}$的值相等,此时分式的值为$\dfrac{1}{7}.$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据“两个分式的值相等”这一条件列出分式方程；接着将分式方程转化为整式方程求解；由于分式的分母不能为0，因此解出整式方程的根后必须检验，判断根是否使原分式方程的分母有意义，排除增根；最后将检验合格的x值代入任意一个分式，即可求出对应分式的值。
【解析】
根据题意，可列方程：
$\dfrac{1}{2x-1}=\dfrac{2}{3x+2}$
方程两边同时乘最简公分母$(2x-1)(3x+2)$去分母，得：
$3x+2=2(2x-1)$
去括号，得：
$3x+2=4x-2$
移项、合并同类项，得：
$x=4$
检验：当$x=4$时，$(2x-1)(3x+2)=(2×4-1)(3×4+2)=7×14=98≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
将$x=4$代入$\dfrac{1}{2x-1}$计算分式的值：
$\dfrac{1}{2×4-1}=\dfrac{1}{7}$
【答案】
当$x=4$时，两个分式的值相等，此时分式的值为$\dfrac{1}{7}$。
【知识点】
分式方程的解法；分式方程验根；分式求值
【点评】
本题属于分式方程的基础应用类题目，核心考查解分式方程的规范流程，易错点是容易忘记对分式方程的根进行检验，熟练掌握解分式方程的步骤即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先根据“两个分式的值相等”这一条件列出分式方程；接着将分式方程转化为整式方程求解；由于分式的分母不能为0，因此解出整式方程的根后必须检验，判断根是否使原分式方程的分母有意义，排除增根；最后将检验合格的x值代入任意一个分式，即可求出对应分式的值。
【解析】
根据题意，可列方程：
$\dfrac{1}{2x-1}=\dfrac{2}{3x+2}$
方程两边同时乘最简公分母$(2x-1)(3x+2)$去分母，得：
$3x+2=2(2x-1)$
去括号，得：
$3x+2=4x-2$
移项、合并同类项，得：
$x=4$
检验：当$x=4$时，$(2x-1)(3x+2)=(2×4-1)(3×4+2)=7×14=98≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
将$x=4$代入$\dfrac{1}{2x-1}$计算分式的值：
$\dfrac{1}{2×4-1}=\dfrac{1}{7}$
【答案】
当$x=4$时，两个分式的值相等，此时分式的值为$\dfrac{1}{7}$。
【知识点】
分式方程的解法；分式方程验根；分式求值
【点评】
本题属于分式方程的基础应用类题目，核心考查解分式方程的规范流程，易错点是容易忘记对分式方程的根进行检验，熟练掌握解分式方程的步骤即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
