1. 已知$△ ADE$和$△ ABC$都是等腰直角三角形，$∠ ADE = ∠ BAC = 90°$，$P$是$AE$的中点，连接$DP$.
(1) 如图①,点$A,B,D$在同一条直线上,则$DP$与$AE$的位置关系为.
(2) 将图①中的$△ ADE$绕点$A$逆时针旋转,当$AD$落在图②所示的位置时,点$C,D,P$恰好在同一条直线上.
① 在图②中,按要求补全图形,并证明$∠ BAE = ∠ ACP$;
② 连接$BD$,交$AE$于点$F$.判断线段$BF$与$DF$的数量关系,并证明.

1.(1)互相垂直 解析:$\because AD=DE$,点P是AE的中点,$\therefore DP⊥$AE.
(2)①补全图形如图①所示,由(1)知$DP⊥ AE$,$\therefore ∠ APC=$$90^{\circ },\therefore ∠ ACP+∠ CAE=90^{\circ }.\because ∠ BAC=90^{\circ },\therefore ∠ BAE+$$∠ CAE=90^{\circ },\therefore ∠ BAE=∠ ACP.$

②$BF=DF$.证明:作$BG⊥ AE$于点G,如图②,则$∠ AGB=$$∠ APC=90^{\circ }$.由①知$∠ BAE=∠ ACP.\because AB=AC,\therefore △ ABG≌$$△ CAP(AAS),\therefore BG=AP.\because ∠ ADE=90^{\circ }$,点P是AE的中点,$\therefore PD=AP=\frac {1}{2}AE,\therefore PD=BG.\because ∠ DPE=∠ AGB=90^{\circ },$$∠ DFP=∠ BFG,\therefore △ DFP≌ △ BFG(AAS),\therefore BF=DF.$

2. (黑龙江中考) $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 都是等边三角形.
(1)将$△ ADE$绕点$A$旋转到图①的位置时,连接$BD,CE$并延长相交于点$P$(点$P$与点$A$重合),有$PA+PB=PC$(或$PA+PC=PB$)成立,请证明.
(2)将$△ ADE$绕点$A$旋转到图②的位置时,连接$BD,CE$相交于点$P$,连接$PA$,猜想线段$PA$,$PB,PC$之间有怎样的数量关系? 并加以证明.
(3)将$△ ADE$绕点$A$旋转到图③的位置时,连接$BD,CE$相交于点$P$,连接$PA$,猜想线段$PA$,$PB,PC$之间有怎样的数量关系? 直接写出结论,不需要证明.

2.(1)$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore AB=AC.\because$点P与点A重合,$\therefore PB=AB$,$PC=AC$,$PA=0$,$\therefore PA+PB=PC$或$PA+$$PC=PB.$
(2)$PB=PA+PC$,证明:在BP上截取$BF=CP$,连接AF,如图①,$\because △ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形,$\therefore AB=AC$,$AD=AE$,$∠ BAC=∠ DAE=60^{\circ }$,$\therefore ∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+$$∠ CAD$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$,$\therefore △ BAD≌ △ CAE(SAS)$,$\therefore ∠ ABD=∠ ACE.\because AC=AB$,$CP=BF$,$\therefore △ CAP≌ △ BAF$$(SAS),\therefore ∠ CAP=∠ BAF$,$AF=AP$,$\therefore ∠ CAP+∠ CAF=$$∠ BAF+∠ CAF$,$\therefore ∠ FAP=∠ BAC=60^{\circ }$,$\therefore △ AFP$是等边三角形,$\therefore PF=AP$,$\therefore PA+PC=PF+BF=PB.$

(3)$PA+PB=PC$. 解析:在CP上截取$CF=BP$,连接AF,如图②,$\because △ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形,$\therefore AB=AC$,$AD=AE$,$∠ BAC=∠ DAE=60^{\circ }$,$\therefore ∠ BAC+∠ BAE=∠ DAE+∠ BAE$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$,$\therefore △ BAD≌ △ CAE(SAS)$,$\therefore ∠ ABD=∠ ACE.$$\because AB=AC$,$BP=CF$,$\therefore △ BAP≌ △ CAF(SAS)$,$\therefore ∠ CAF=$$∠ BAP$,$AP=AF$,$\therefore ∠ BAF+∠ BAP=∠ BAF+∠ CAF$,$\therefore ∠ FAP=∠ BAC=60^{\circ }$,$\therefore △ AFP$是等边三角形,$\therefore PF=$$AP$,$\therefore PA+PB=PF+CF=PC$,即$PA+PB=PC.$

3. 在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ ABC= α$,点$D$是直线$BC$上一点,点$C$关于射线$AD$的对称点为点$E$.作直线$BE$交射线$AD$于点$F$.连接$CF$.
(1)如图①,点$D$在线段$BC$上,求$∠ AFB$的大小.(用含$α$的代数式表示)
(2)如果$α =60^{ \circ }$.
①如图②,当点$D$在线段$BC$上时,用等式表示线段$AF$,$BF$,$CF$之间的数量关系,并证明;
②如图③,当点$D$在线段$CB$的延长线上时,补全图形,直接写出线段$AF$,$BF$,$CF$之间的数量关系:.

3.(1)如图①,连接AE,CE,$\because$点E为点C关于射线AD的对称点,$\therefore AE=AC$,$EF=FC$,$∠ EAD=∠ CAD$.设$∠ EAD=$$∠ CAD=x$,则$∠ CAE=2x.\because AB=AC$,$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=α$,$\therefore ∠ BAE=180^{\circ }-2x-2α$,$\therefore ∠ ABE+∠ AEB=2x+2α.\because AE=AB$,$\therefore ∠ ABE=∠ AEB=x+α$,$\therefore ∠ AFB=∠ AEB-∠ EAD=α .$

(2)①$AF=BF+CF$.证明如下:如图②,延长FB至点G,使$FG=FA$,连接AG.$\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=α =60^{\circ }$,$\therefore △ ABC$为等边三角形,$∠ BAC=60^{\circ }$.由(1)知,$∠ AFB=α =60^{\circ }$,$\therefore △ AFG$为等边三角形,$\therefore AG=AF$,$∠ GAF=60^{\circ }$,$\therefore ∠ GAB=$$∠ FAC$.在$△ ABG$和$△ ACF$中,$\begin{cases} AG=AF, \\ ∠ GAB=∠ FAC, \\ AB=AC, \end{cases}$$\therefore △ ABG≌$$△ ACF(SAS)$,$\therefore BG=CF$,$\therefore CF+BF=BG+BF=GF.\because GF=$$AF$,$\therefore AF=BF+CF.$
②补全图形如图③所示 $CF=AF+BF$ 解析:连接AE,$EC$,$\because$点E为点C关于射线AD的对称点,$\therefore AE=AC$,$EF=$$FC$,$∠ EAD=∠ CAD$.设$∠ EAD=∠ CAD=x$,则$∠ CAE=2x$.$\because AB=AC=AE$,$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=∠ BAC=60^{\circ }$,$\therefore ∠ DAB=$$x-60^{\circ }$,$\therefore ∠ EAB=x+x-60^{\circ }=2x-60^{\circ }.\because AE=AB$,$\therefore ∠ ABE=$$∠ AEB=\frac {180^{\circ }-2x+60^{\circ }}{2}=120^{\circ }-x$,$\therefore ∠ AFE=∠ DAB+∠ ABE=$$x-60^{\circ }+120^{\circ }-x=60^{\circ }$.在BE上取点G,使得$FG=FA$,连接AG,$\therefore △ AFG$为等边三角形,$\therefore AG=AF$,$∠ GAF=60^{\circ }$,$\therefore ∠ GAE=∠ FAB=x-60^{\circ }$.在$△ AGE$和$△ AFB$中,$\begin{cases} AG=AF, \\ ∠ GAE=∠ FAB, \\ AE=AB, \end{cases}$$\therefore △ AGE≌ △ AFB(SAS)$,$\therefore BF=EG$,$\therefore EF=EG+FG=BF+AF$,$\therefore CF=EF=AF+BF.$