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11. 新趋势 数学文化 我国古代数学名著《九章算术》中"开立圆术"曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径."开立圆术"相当于给出了已知球的体积$V$,求其直径$d$的一个近似公式$d \approx \sqrt[3]{\dfrac{16}{9}V}$.我们知道球的体积公式为$\dfrac{4}{3}π r^{3}$,那么利用"开立圆术"求直径相当于体积公式中的$π \approx$
3.375
.答案
11. 3.375 解析:由题意,将$V=\dfrac{4}{3}π r^3$代入$d\approx\sqrt[3]{\dfrac{16}{9}V}$得$d\approx\sqrt[3]{\dfrac{16}{9}×\dfrac{4}{3}π r^3}$,$d\approx\sqrt[3]{\dfrac{64}{27}π r^3}$,即$(2r)^3\approx\dfrac{64}{27}π r^3$,$π\approx\dfrac{27}{8}=3.375$.
12. 对于结论: 当 $a+b=0$ 时, $a^3+b^3=0$ 也成立. 若将 $a$ 看成 $a^3$ 的立方根, $b$ 看成 $b^3$ 的立方根,由此得出这样的结论:"如果两数的立方根互为相反数,那么这两个数也互为相反数."
(1)举一个具体的例子来判断上述结论是否成立;
(2)若 $\sqrt[3]{8-y}$ 和 $\sqrt[3]{2y-5}$ 互为相反数, 且 $x+5$ 的平方根是它本身, 求 $x+y$ 的立方根.
(1)举一个具体的例子来判断上述结论是否成立;
(2)若 $\sqrt[3]{8-y}$ 和 $\sqrt[3]{2y-5}$ 互为相反数, 且 $x+5$ 的平方根是它本身, 求 $x+y$ 的立方根.
答案
12. (1)成立.举例不唯一,如:$\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{-8}=0$,则8与-8互为相反数.
(2)$\because\sqrt[3]{8-y}$和$\sqrt[3]{2y-5}$互为相反数,$\therefore\sqrt[3]{8-y}+\sqrt[3]{2y-5}=0$,$\therefore8-y+2y-5=0$,解得$y=-3$.$\because x+5$的平方根是它本身,$\therefore x+5=0$,$\therefore x=-5$,$\therefore x+y=-5-3=-8$,$\therefore x+y$的立方根是-2.
(2)$\because\sqrt[3]{8-y}$和$\sqrt[3]{2y-5}$互为相反数,$\therefore\sqrt[3]{8-y}+\sqrt[3]{2y-5}=0$,$\therefore8-y+2y-5=0$,解得$y=-3$.$\because x+5$的平方根是它本身,$\therefore x+5=0$,$\therefore x=-5$,$\therefore x+y=-5-3=-8$,$\therefore x+y$的立方根是-2.
13. 已知$\sqrt[3]{128m}$是一个正整数,求满足条件的最小的正整数$m$的值.
答案
13. $\because\sqrt[3]{128m}=\sqrt[3]{64×2m}=\sqrt[3]{4^3×2m}$,且$\sqrt[3]{128m}$是一个正整数,$\therefore2m$是一个正整数的立方,又所求的正整数$m$最小,$\therefore m=4$.
14. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:求 59 319 的立方根.华罗庚脱口说出答案,众人十分惊奇,忙问计算的奥妙.你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?
下面是小超的探究过程,请补充完整:
(1)求$\sqrt[3]{59\ 319}$.
①由$10^{3}=1\ 000$,$100^{3}=1\ 000\ 000$,可以确定$\sqrt[3]{59\ 319}$是
②由 59 319 的个位上的数是 9,可以确定$\sqrt[3]{59\ 319}$的个位上的数是
③如果划去 59 319 后面的三位 319 得到数59,而$3^{3}=27$,$4^{3}=64$,可以确定$\sqrt[3]{59\ 319}$的十位上的数是
由此求得$\sqrt[3]{59\ 319}=$
(2)现在换一个数 103 823,你能按这种方法得出它的立方根吗?
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下面是小超的探究过程,请补充完整:
(1)求$\sqrt[3]{59\ 319}$.
①由$10^{3}=1\ 000$,$100^{3}=1\ 000\ 000$,可以确定$\sqrt[3]{59\ 319}$是
两
位数.②由 59 319 的个位上的数是 9,可以确定$\sqrt[3]{59\ 319}$的个位上的数是
9
.③如果划去 59 319 后面的三位 319 得到数59,而$3^{3}=27$,$4^{3}=64$,可以确定$\sqrt[3]{59\ 319}$的十位上的数是
3
.由此求得$\sqrt[3]{59\ 319}=$
39
.(2)现在换一个数 103 823,你能按这种方法得出它的立方根吗?
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答案
14. (1)①两 解析:$\because10^3=1000$,$100^3=1000000$,而$1000＜59319＜1000000$,$\therefore10＜\sqrt[3]{59319}＜100$,因此结果为两位数.
②9 解析:因为只有9的立方的个位上的数是9,因此结果的个位上的数为9.
③3 39 解析:$3^3＜59＜4^3$,因此可以确定$\sqrt[3]{59319}$的十位上的数是3,最后得出$\sqrt[3]{59319}=39$.
(2)$\because10^3=1000$,$100^3=1000000$,而$1000＜103823＜1000000$,$\therefore10＜\sqrt[3]{103823}＜100$,$\therefore$结果为两位数.只有7的立方的个位上的数是3,因此结果的个位上的数是7.如果划去103823后面的三位823得到数103,而$4^3=64$,$5^3=125$,可以确定$\sqrt[3]{103823}$的十位上的数为4,$\therefore\sqrt[3]{103823}=47$.
②9 解析:因为只有9的立方的个位上的数是9,因此结果的个位上的数为9.
③3 39 解析:$3^3＜59＜4^3$,因此可以确定$\sqrt[3]{59319}$的十位上的数是3,最后得出$\sqrt[3]{59319}=39$.
(2)$\because10^3=1000$,$100^3=1000000$,而$1000＜103823＜1000000$,$\therefore10＜\sqrt[3]{103823}＜100$,$\therefore$结果为两位数.只有7的立方的个位上的数是3,因此结果的个位上的数是7.如果划去103823后面的三位823得到数103,而$4^3=64$,$5^3=125$,可以确定$\sqrt[3]{103823}$的十位上的数为4,$\therefore\sqrt[3]{103823}=47$.
