11. 新题型 新运算 我们规定运算符号$\otimes$的意义：当$a＞b$时，$a\otimes b=a+b$；当$a≤ b$时，$a\otimes b=a-b$，其他运算符号意义不变.按上述规定，计算$(\sqrt{3}\otimes\dfrac{3}{2})+[(1-\sqrt{3})\otimes(-\dfrac{1}{2})]$的结果为.

11. 3 解析:$(\sqrt{3}\otimes\dfrac{3}{2})+[(1-\sqrt{3})\otimes(-\dfrac{1}{2})]=\sqrt{3}+\dfrac{3}{2}+1-\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}=3$.

12. 观察下列等式,利用你发现的规律解答下列问题：
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1,(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1,$
$(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})=1,(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-$
$\sqrt{4})=1,···.$
(1) 计算：$(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+···+ \dfrac{1}{\sqrt{2\ 026}+\sqrt{2\ 025}})(\sqrt{2\ 026}+1);(2) $试比较$\sqrt{11}-\sqrt{10}$与$\sqrt{12}-\sqrt{11}$的大小.

12. (1)原式$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+···+\sqrt{2026}-\sqrt{2025})·(\sqrt{2026}+1)$
$=(\sqrt{2026}-1)(\sqrt{2026}+1)$
$=2026-1=2025$.
(2)$\because\sqrt{12}＞\sqrt{10}$,$\therefore\sqrt{12}+\sqrt{11}＞\sqrt{11}+\sqrt{10}$,
$\therefore\dfrac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}＜\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$.
又$\because(\sqrt{12}-\sqrt{11})(\sqrt{12}+\sqrt{11})=1$,$(\sqrt{11}-\sqrt{10})(\sqrt{11}+\sqrt{10})=1$,$\therefore\sqrt{12}-\sqrt{11}=\dfrac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$,$\sqrt{11}-\sqrt{10}=\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$,$\therefore\sqrt{12}-\sqrt{11}＜\sqrt{11}-\sqrt{10}$.

13. (2026·扬州期末)某计算器上的三个按键 $\boxed{\sqrt{\quad}}$ $\boxed{1/x}$ $\boxed{x^2}$ 的功能分别是： 将屏幕显示的数变成它的算术平方根；$\boxed{1/x}$ 将屏幕显示的数变成它的倒数； 将屏幕显示的数变成它的平方,小明输入一个数$x$后,依次按照如图所示的三步循环重复按键,若第2027次按键后,显示的结果是4,则输入的数$x$是.

13. $\pm2$ 解析:由题意知第1步结果为$x^2$,第2步结果为$\dfrac{1}{x^2}$,第3步结果为$\left|\dfrac{1}{x}\right|$,第4步结果为$\dfrac{1}{x^2}$,第5步结果为$x^2$,第6步结果为$|x|$,第7步结果为$x^2······$运算的结果以$x^2$,$\dfrac{1}{x^2}$,$\left|\dfrac{1}{x}\right|$,$\dfrac{1}{x^2}$,$x^2$,$|x|$六个数为周期循环.$\because2027÷6=337······5$,且第2027次按键后显示的结果为4,$\therefore x^2=4$,$\therefore$输入的数$x$是$\pm2$.

14. (2025·邯郸期中)阅读下面的文字,解答问题:
大家知道$\sqrt{2}$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分,你同意小明的表示方法吗?
事实上,小明的表示方法是有道理的,因为$\sqrt{2}$的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.
又例如:$\because\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{7}＜3$,
$\therefore\sqrt{7}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{7}-2$.
请解答:
(1)$\sqrt{17}$的整数部分是,小数部分是.
(2)①如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$,$\sqrt{13}$的整数部分为$b$,则$a+b-\sqrt{5}=$;
②已知$2+\sqrt{6}$的小数部分为$a$,$5-\sqrt{6}$的小数部分为$b$,求$a+b$的值.
(3)已知$10+\sqrt{3}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,求$x-y$的相反数.
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14. (1)$4\quad\sqrt{17}-4$ 解析:$\because4＜\sqrt{17}＜5$,$\therefore\sqrt{17}$的整数部分为4,小数部分为$\sqrt{17}-4$.
(2)①1 解析:$\because2＜\sqrt{5}＜3$,$\therefore a=\sqrt{5}-2$.$\because3＜\sqrt{13}＜4$,$\therefore b=3$,$\therefore a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$.
②$\because4＜6＜9$,$\therefore2＜\sqrt{6}＜3$,即$4＜2+\sqrt{6}＜5$,$2＜5-\sqrt{6}＜3$,则$a=2+\sqrt{6}-4$,$b=5-\sqrt{6}-2$,则$a+b=2+\sqrt{6}-4+5-\sqrt{6}-2=1$.
(3)$\because1＜3＜4$,$\therefore1＜\sqrt{3}＜2$,$\therefore11＜10+\sqrt{3}＜12$.$\because10+\sqrt{3}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,$\therefore x=11$,$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$,$\therefore x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$,$\therefore x-y$的相反数是$-12+\sqrt{3}$.