三、解答题
21.如图,点 E,B,D,F 在同一直线上,AF//CE,DE=BF,∠ADB=∠CBD.连接 AE,CF.
求证:
(1)四边形 ABCD 是平行四边形;
(2)四边形 AECF 是平行四边形.

21. (1)$\because AF// CE$,
$\therefore∠ AFD=∠ CEB$.
$\because∠ ADB=∠ CBD$,
$\therefore∠ ADF=∠ CBE$.
$\because DE=BF$,
$\therefore DE-BD=BF-BD$,即$BE=DF$.
在$△ ADF$和$△ CBE$中,
$\begin{cases}∠ ADF=∠ CBE,\\DF=BE,\\∠ AFD=∠ CEB,\end{cases}$
$\therefore△ ADF≌△ CBE(\mathrm{ASA})$.
$\therefore AD=CB$.
$\because∠ ADB=∠ CBD$,
$\therefore AD// CB$.
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
(2)由(1)知$△ ADF≌△ CBE$,
$\therefore AF=CE$.
又$AF// CE$,
$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形.

22. 如图，$DB// AC$，且$DB=\dfrac{1}{2}AC$，点$E$是$AC$的中点，求证：$BC=DE$。

22. $\because$点$E$是$AC$的中点，
$\therefore EC=\dfrac{1}{2}AC$.
又$DB=\dfrac{1}{2}AC$,
$\therefore DB=EC$.
又$DB// EC$,
$\therefore$四边形$DBCE$是平行四边形.
$\therefore BC=DE$.

23. 如图,在梯形 $ABCD$ 中,$AD// BC$,$AD=24\ \mathrm{cm}$,$BC=30\ \mathrm{cm}$,点 $P$ 自点 $A$ 向点 $D$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动,到点 $D$ 即停止.点 $Q$ 自点 $C$ 向点 $B$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动,到点 $B$ 即停止,直线 $PQ$ 截梯形为两个四边形.问当点 $P$,$Q$ 同时出发,几秒后其中一个四边形为平行四边形?

23. 设点$P$,$Q$同时出发$t$秒后四边形$PDCQ$或四边形$APQB$是平行四边形,根据已知得到$AP=t\ \mathrm{cm}$,$PD=(24-t)\mathrm{cm}$,$CQ=2t\ \mathrm{cm}$,$BQ=(30-2t)\mathrm{cm}$.
(1)若四边形$PDCQ$是平行四边形,则$PD=CQ$,
$\therefore 24-t=2t$.
$\therefore t=8$.
$\therefore 8$秒后四边形$PDCQ$是平行四边形.
(2)若四边形$APQB$是平行四边形,则$AP=BQ$,
$\therefore t=30-2t$.
$\therefore t=10$.
$\therefore 10$秒后四边形$APQB$是平行四边形.
由(1)(2)可知,$8$秒后或$10$秒后其中一个四边形为平行四边形.