1 [2025 江苏常州期末,中]若 $ M=(a^{2}-a+1)(a^{2}+a+1) $, $ N=(a+1)^{2}(a-1)^{2} $, 其中 $ a ≠ 0 $, 则 $ M $, $ N $ 的大小关系是()

A.$ M＞N $
B.$ M＜N $
C.$ M=N $
D.不能确定

1. A 【解析】因为 $ M = (a^{2} - a + 1)(a^{2} + a + 1) = [(a^{2} + 1) - a][(a^{2} + 1) + a] = (a^{2} + 1)^{2} - a^{2} = a^{4} + a^{2} + 1 $，$ N = (a + 1)^{2}(a - 1)^{2} = [(a + 1)(a - 1)]^{2} = (a^{2} - 1)^{2} = a^{4} - 2a^{2} + 1 $，所以 $ M - N = a^{4} + a^{2} + 1 - (a^{4} - 2a^{2} + 1) = 3a^{2} $。因为 $ a ≠ 0 $，所以 $ 3a^{2} ＞ 0 $，所以 $ M ＞ N $。故选 A。

2 [2024 江苏镇江期中,较难]如图,若一个长方形广场的长为 18 米,宽为 10 米,现因施工改造,将广场的长和宽各增加 $ x $ 米,广场面积增加了 20 平方米,同时沿长方形广场的四边分别向外修建半圆形花圃. 请你计算出花圃的总面积为()


A.$ 90π $ 平方米
B.$ 116π $ 平方米
C.$ 120π $ 平方米
D.$ 128π $ 平方米

2. B 【解析】设扩大后的长方形广场的长为 $ a = (18 + x) $ 米，宽为 $ b = (10 + x) $ 米。依题意，得 $ ab = 18 × 10 + 20 = 200 $，$ a - b = (18 + x) - (10 + x) = 8 $，所以 $ a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2ab = 8^{2} + 2 × 200 = 464 $，所以花圃的总面积为 $ ( \dfrac{a}{2} )^{2} π + ( \dfrac{b}{2} )^{2} π = \dfrac{a^{2} + b^{2}}{4} π = \dfrac{464}{4} π = 116 π $（平方米）。故选 B。

3 [2025 江苏苏州期中,中]若 $ (x+9y)^{2}=(x-9y)^{2}+A $, 则代数式 $ A $ 为.

3. $ 36xy $ 【解析】因为 $ (x + 9y)^{2} = (x - 9y)^{2} + A $，所以 $ A = (x + 9y)^{2} - (x - 9y)^{2} = (x^{2} + 18xy + 81y^{2}) - (x^{2} - 18xy + 81y^{2}) = x^{2} + 18xy + 81y^{2} - x^{2} + 18xy - 81y^{2} = 36xy $，故答案为 $ 36xy $。

4 [2025 浙江金华质检,中]如图,两个正方形的边长分别为 $ a $, $ b(a＞b) $, 若 $ a+b=3 $, $ ab=\frac{5}{4} $, 则图中阴影部分的面积是.

4. $ \dfrac{19}{8} $ 【解析】因为 $ a + b = 3 $，$ ab = \dfrac{5}{4} $，所以 $ (a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} - 4ab = (a + b)^{2} - 4ab = 3^{2} - 4 × \dfrac{5}{4} = 4 $。因为 $ a ＞ b $，所以 $ a - b = 2 $，则 $ S_{\mathrm{阴影部分}} = S_{△ BCD} - S_{△ BEF} - S_{\mathrm{正方形}EFCG} = \dfrac{1}{2}a^{2} - \dfrac{1}{2}(a - b)b - b^{2} = \dfrac{1}{2}a^{2} - \dfrac{1}{2}ab + \dfrac{1}{2}b^{2} - b^{2} = \dfrac{1}{2}(a + b)(a - b) - \dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2} × 3 × 2 - \dfrac{1}{2} × \dfrac{5}{4} = 3 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{19}{8} $，故答案为 $ \dfrac{19}{8} $。

5 [2024 四川成都质检,中]简便运算: $\frac{2013 × 2014 - 1}{2013 + 2012 × 2014}$.
小心角坑

5. 【解】$ \dfrac{2013 × 2014 - 1}{2013 + 2012 × 2014} $
$ = \dfrac{2013 × (2013 + 1) - 1}{2013 + (2013 - 1)(2013 + 1)} $
$ = \dfrac{2013^{2} + 2013 - 1}{2013 + 2013^{2} - 1} $
$ = \dfrac{2013^{2} + 2012}{2013^{2} + 2012} = 1 $。

6 [2024 江苏南京期末,中]先化简,再求值: $ (2x - y)^{2} - (x - y)(x + y) - 2y^{2} $, 其中 $ x=2 $, $ y=-3 $.

6. 【解】$ (2x - y)^{2} - (x - y)(x + y) - 2y^{2} = 4x^{2} - 4xy + y^{2} - x^{2} + y^{2} - 2y^{2} = 3x^{2} - 4xy $。
当 $ x = 2 $，$ y = - 3 $ 时，原式 $ = 3 × 2^{2} - 4 × 2 × (- 3) = 36 $。

7 核心素养 模型思想 [较难]对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式,例如,由图(1)可以得到 $ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} $, 请解答下列问题:
(1)写出通过图(2)可以得到的数学等式.
(2)利用(1)中得到的结论,解决下面的问题:
若 $ a+b+c=10 $, $ ab+ac+bc=35 $, 则 $ a^{2}+b^{2}+c^{2}= $.
(3)小明同学用图(3)中 $ x $ 张边长为 $ a $ 的正方形纸片、$ y $ 张边长为 $ b $ 的正方形纸片和 $ z $ 张边长分别为 $ a $, $ b $ 的长方形纸片拼出一个面积为 $ (5a + 7b)(9a + 4b) $ 的长方形,则 $ x + y + z= $.

7. 【解】（1）题图（2）中图形的面积既可以表示为 $ (a + b + c)^{2} $，又可以表示为 $ a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2ac + 2bc $，所以 $ (a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2ac + 2bc $。
（2）$ a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + b + c)^{2} - 2ab - 2ac - 2bc = 10^{2} - 2(ab + ac + bc) = 100 - 2 × 35 = 30 $。
故答案为 30。
（3）由题意可知，所拼图形的面积为 $ xa^{2} + yb^{2} + zab $。
因为 $ (5a + 7b)(9a + 4b) = 45a^{2} + 20ab + 63ab + 28b^{2} = 45a^{2} + 28b^{2} + 83ab $，
所以 $ x = 45 $，$ y = 28 $，$ z = 83 $，
所以 $ x + y + z = 45 + 28 + 83 = 156 $。
故答案为 156。