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1. (2025·海州区二模)如图,直线 AB 与$\odot O$相切于点 C,AO 交$\odot O$于点 D,连接 CD,OC. 若$∠ ACD=20^{ \circ }$,则$∠ COD$的度数是（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
B
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
1.B
解析
【分析】
这道题的解题思路非常清晰：首先题目给出直线AB和⊙O相切于点C，我们第一时间联想到切线的核心性质：切线垂直于过切点的半径，由此可以得到OC⊥AB，也就是∠OCA=90°。已知∠ACD=20°，用90°减去这个已知角就能得到∠OCD的度数。接下来观察图形，OC和OD都是⊙O的半径，所以二者长度相等，△OCD是等腰三角形，两个底角相等，最后结合三角形内角和定理，就可以算出顶角∠COD的度数，对应选出正确选项。
【解析】
解：
1. 由切线的性质可知：
∵ 直线AB与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥AB，即∠OCA = 90°，
也就是∠ACD + ∠OCD = 90°。
2. 代入已知∠ACD=20°，计算得：
∠OCD = 90° - ∠ACD = 90° - 20° = 70°。
3. 因为OC、OD都是⊙O的半径，所以OC=OD，△OCD为等腰三角形，因此：
∠ODC = ∠OCD = 70°。
4. 根据三角形内角和为180°，可得：
∠COD = 180° - ∠OCD - ∠ODC = 180° - 70° -70° = 40°。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和
【点评】
本题属于圆相关的基础角度计算题型，核心考查切线的基本性质，解题的关键是熟练运用切线与半径垂直的结论构造直角，再结合等腰三角形性质完成角度推导，题型常规，是圆部分需要掌握的基础考点。
【难度系数】
0.8
这道题的解题思路非常清晰：首先题目给出直线AB和⊙O相切于点C，我们第一时间联想到切线的核心性质：切线垂直于过切点的半径，由此可以得到OC⊥AB，也就是∠OCA=90°。已知∠ACD=20°，用90°减去这个已知角就能得到∠OCD的度数。接下来观察图形，OC和OD都是⊙O的半径，所以二者长度相等，△OCD是等腰三角形，两个底角相等，最后结合三角形内角和定理，就可以算出顶角∠COD的度数，对应选出正确选项。
【解析】
解：
1. 由切线的性质可知：
∵ 直线AB与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥AB，即∠OCA = 90°，
也就是∠ACD + ∠OCD = 90°。
2. 代入已知∠ACD=20°，计算得：
∠OCD = 90° - ∠ACD = 90° - 20° = 70°。
3. 因为OC、OD都是⊙O的半径，所以OC=OD，△OCD为等腰三角形，因此：
∠ODC = ∠OCD = 70°。
4. 根据三角形内角和为180°，可得：
∠COD = 180° - ∠OCD - ∠ODC = 180° - 70° -70° = 40°。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和
【点评】
本题属于圆相关的基础角度计算题型，核心考查切线的基本性质，解题的关键是熟练运用切线与半径垂直的结论构造直角，再结合等腰三角形性质完成角度推导，题型常规，是圆部分需要掌握的基础考点。
【难度系数】
0.8
2. (2025·姑苏区月考)如图,$△ ABC$的边$AC$与$\odot O$相交于$C$,$D$两点,且经过圆心$O$,边$AB$与$\odot O$相切,切点为$B$.若$∠ C=28°$,则$∠ A$的度数为（
A.$38°$
B.$36°$
C.$34°$
D.$32°$
C
）A.$38°$
B.$36°$
C.$34°$
D.$32°$
答案
2.C
解析
【分析】
这道题的核心是结合切线性质和圆周角定理求解角度。首先看到AB是圆O的切线，第一步优先连接切点B和圆心O，根据切线性质可以直接得到OB和AB垂直，构造出直角三角形ABO。接下来已知∠C=28°，它是对应弧BD的圆周角，利用圆周角定理就能算出同弧对应的圆心角∠BOD的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余，用90°减去∠BOD的度数，就能得到∠A的大小，完成求解。
【解析】
1. 作辅助线：连接OB
2. 由AB是⊙O的切线，B为切点，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得OB⊥AB，即∠ABO=90°。
3. 已知∠C=28°，∠C是弧BD对应的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOD=2∠C=2×28°=56°。
4. 在Rt△ABO中，两个锐角互余，因此∠A=90°-∠BOD=90°-56°=34°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆与三角形角度结合的基础题型，解题的核心突破口是遇到切线时优先连接圆心和切点构造直角三角形，再结合圆周角定理推导角度关系，是圆部分非常典型的常规考法。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是结合切线性质和圆周角定理求解角度。首先看到AB是圆O的切线，第一步优先连接切点B和圆心O，根据切线性质可以直接得到OB和AB垂直，构造出直角三角形ABO。接下来已知∠C=28°，它是对应弧BD的圆周角，利用圆周角定理就能算出同弧对应的圆心角∠BOD的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余，用90°减去∠BOD的度数，就能得到∠A的大小，完成求解。
【解析】
1. 作辅助线：连接OB
2. 由AB是⊙O的切线，B为切点，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得OB⊥AB，即∠ABO=90°。
3. 已知∠C=28°，∠C是弧BD对应的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOD=2∠C=2×28°=56°。
4. 在Rt△ABO中，两个锐角互余，因此∠A=90°-∠BOD=90°-56°=34°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆与三角形角度结合的基础题型，解题的核心突破口是遇到切线时优先连接圆心和切点构造直角三角形，再结合圆周角定理推导角度关系，是圆部分非常典型的常规考法。
【难度系数】
0.7
3. 如图,两圆圆心相同,大圆的弦 $AB$ 与小圆相切,若图中阴影部分的面积是 $16π$,则 $AB$ 的长为
8
。答案
3.8
解析
【分析】
我们先梳理解题思路：首先观察图形，阴影部分是同心圆构成的圆环，已知阴影面积，先利用圆环面积公式得到大小圆半径平方的差值。接下来，AB是大圆的弦且与小圆相切，我们过圆心作AB的垂线，根据切线的性质，这条垂线长度等于小圆半径，再结合垂径定理可知垂线平分弦AB，最后在构造的直角三角形中用勾股定理，把弦长的一半和已经得到的半径平方差关联起来，不需要单独求出两个圆的半径，就能直接算出AB的长度。
【解析】
解：设大圆半径为$R$，小圆半径为$r$。
1. 阴影部分为圆环，其面积为大圆面积减去小圆面积，即：
$S_{\mathrm{阴影}}=π R^2 - π r^2 = 16π$
等式两边同时除以$π$，可得$R^2 - r^2 = 16$。
2. 过圆心$O$作$OC⊥ AB$于点$C$：
因为$AB$与小圆相切，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于小圆半径，即$OC=r$；
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AB=2AC$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = OC^2 + AC^2$，其中$OA=R$，代入整理得：
$AC^2 = R^2 - r^2 = 16$
由于线段长度为正，解得$AC=4$。
4. 因此$AB=2AC=2×4=8$。
【答案】8
【知识点】
圆环面积，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合经典题型，核心技巧是利用整体代换，不需要分别求出大小圆的半径，直接通过半径平方差快速计算弦长，考察学生对圆的基础性质的综合运用能力，避开了硬算半径的冗余步骤。
【难度系数】
0.7
我们先梳理解题思路：首先观察图形，阴影部分是同心圆构成的圆环，已知阴影面积，先利用圆环面积公式得到大小圆半径平方的差值。接下来，AB是大圆的弦且与小圆相切，我们过圆心作AB的垂线，根据切线的性质，这条垂线长度等于小圆半径，再结合垂径定理可知垂线平分弦AB，最后在构造的直角三角形中用勾股定理，把弦长的一半和已经得到的半径平方差关联起来，不需要单独求出两个圆的半径，就能直接算出AB的长度。
【解析】
解：设大圆半径为$R$，小圆半径为$r$。
1. 阴影部分为圆环，其面积为大圆面积减去小圆面积，即：
$S_{\mathrm{阴影}}=π R^2 - π r^2 = 16π$
等式两边同时除以$π$，可得$R^2 - r^2 = 16$。
2. 过圆心$O$作$OC⊥ AB$于点$C$：
因为$AB$与小圆相切，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于小圆半径，即$OC=r$；
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AB=2AC$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = OC^2 + AC^2$，其中$OA=R$，代入整理得：
$AC^2 = R^2 - r^2 = 16$
由于线段长度为正，解得$AC=4$。
4. 因此$AB=2AC=2×4=8$。
【答案】8
【知识点】
圆环面积，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合经典题型，核心技巧是利用整体代换，不需要分别求出大小圆的半径，直接通过半径平方差快速计算弦长，考察学生对圆的基础性质的综合运用能力，避开了硬算半径的冗余步骤。
【难度系数】
0.7
4. 如图,将$△ ABC$沿过点$A$的直线翻折并展开,点$C$的对应点$C'$落在边$AB$上,折痕为$AD$,点$O$在边$AB$上,$\odot O$经过点$A,D$.若$∠ ACB=90°$,判断$BC$与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
答案
4. 解:BC与$\odot O$相切,理由如下:
如答图,连接$OD,\because OA=OD,\therefore ∠ OAD=∠ ODA.$
由折叠的性质,得$∠ CAD=∠ OAD,$
$\therefore ∠ CAD=∠ ODA,\therefore AC// OD,$
$\therefore ∠ ODB=∠ ACB=90^{\circ },\therefore OD⊥ BC.$
$\because OD$是$\odot O$的半径,$\therefore BC$与$\odot O$相切.
解析
【分析】
要判断BC与⊙O的位置关系，首先观察到点D既在BC上也在⊙O上，因此优先使用切线的判定定理来证明：只需连接圆心O和点D，证明半径OD与BC垂直即可。解题时先利用同圆半径相等得到等腰△OAD的底角相等，再结合折叠的性质得到角的等量关系，通过内错角相等推出AC//OD，最后借助已知的∠ACB=90°，将直角的条件传递得到OD⊥BC，即可完成切线的判定。
【解析】
BC与⊙O相切，理由如下：
1. 连接OD，
∵OA、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD，根据等腰三角形性质可得∠OAD=∠ODA。
2. 由折叠的性质可知，折痕AD平分∠CAB，即∠CAD=∠OAD。
3. 等量代换可得∠CAD=∠ODA，根据内错角相等，两直线平行，可推出AC//OD。
4. 由平行线的性质，两直线平行同位角相等，可得∠ODB=∠ACB=90°，即OD⊥BC。
5. 又
∵OD是⊙O的半径，根据切线的判定定理，可得BC与⊙O相切。
【答案】
BC与$\odot O$相切，理由如下:
如答图,连接$OD,\because OA=OD,\therefore ∠ OAD=∠ ODA.$
由折叠的性质,得$∠ CAD=∠ OAD,$
$\therefore ∠ CAD=∠ ODA,\therefore AC// OD,$
$\therefore ∠ ODB=∠ ACB=90^{\circ },\therefore OD⊥ BC.$
$\because OD$是$\odot O$的半径,$\therefore BC$与$\odot O$相切.
【知识点】
切线的判定，折叠的性质，平行线性质
【点评】
本题是切线判定的经典基础题型，核心考查“连半径证垂直”的切线证明常规思路，通过折叠的角相等性质完成角的等量转化，将已知直角条件通过平行线传递得到垂直关系，解题思路清晰，是圆与直线位置关系部分的必练典型题。
【难度系数】
0.7
要判断BC与⊙O的位置关系，首先观察到点D既在BC上也在⊙O上，因此优先使用切线的判定定理来证明：只需连接圆心O和点D，证明半径OD与BC垂直即可。解题时先利用同圆半径相等得到等腰△OAD的底角相等，再结合折叠的性质得到角的等量关系，通过内错角相等推出AC//OD，最后借助已知的∠ACB=90°，将直角的条件传递得到OD⊥BC，即可完成切线的判定。
【解析】
BC与⊙O相切，理由如下：
1. 连接OD，
∵OA、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD，根据等腰三角形性质可得∠OAD=∠ODA。
2. 由折叠的性质可知，折痕AD平分∠CAB，即∠CAD=∠OAD。
3. 等量代换可得∠CAD=∠ODA，根据内错角相等，两直线平行，可推出AC//OD。
4. 由平行线的性质，两直线平行同位角相等，可得∠ODB=∠ACB=90°，即OD⊥BC。
5. 又
∵OD是⊙O的半径，根据切线的判定定理，可得BC与⊙O相切。
【答案】
BC与$\odot O$相切，理由如下:
如答图,连接$OD,\because OA=OD,\therefore ∠ OAD=∠ ODA.$
由折叠的性质,得$∠ CAD=∠ OAD,$
$\therefore ∠ CAD=∠ ODA,\therefore AC// OD,$
$\therefore ∠ ODB=∠ ACB=90^{\circ },\therefore OD⊥ BC.$
$\because OD$是$\odot O$的半径,$\therefore BC$与$\odot O$相切.
【知识点】
切线的判定，折叠的性质，平行线性质
【点评】
本题是切线判定的经典基础题型，核心考查“连半径证垂直”的切线证明常规思路，通过折叠的角相等性质完成角的等量转化，将已知直角条件通过平行线传递得到垂直关系，解题思路清晰，是圆与直线位置关系部分的必练典型题。
【难度系数】
0.7
5. (2025·姑苏区期中) 如图, 在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$,以点$D$为圆心,$BD$的长为半径作$\odot D$交$AB$于点$E$.
(1)求证:$\odot D$与$AC$相切;
(2)若$AC=5$,$BC=3$,试求$AE$的长.
(1)求证:$\odot D$与$AC$相切;
(2)若$AC=5$,$BC=3$,试求$AE$的长.
答案
5. (1) 证明:如答图,过点 D 作$DF⊥ AC$于点 F.
$\because ∠ B=90^{\circ },\therefore AB⊥ BC.$
$\because CD$平分$∠ ACB$交 AB 于点 D,
$\therefore BD=DF,\therefore DF$是圆的半径,
$\therefore \odot D$与 AC 相切.
(2) 解:设圆的半径为 x,
$\because ∠ B=90^{\circ },BC=3,AC=5,$
$\therefore AB=\sqrt {AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt {5^{2}-3^{2}}=4.$
$\because AC,BC$是圆的切线,$\therefore BC=CF=3,$
$\therefore AF=AC-CF=5-3=2.$
$\because AB=4,\therefore AD=AB-BD=4-x.$
在$\mathrm{Rt}△ AFD$中,$(4-x)^{2}=x^{2}+2^{2}$,解得$x=\frac {3}{2},$
$\therefore AD=4-\frac {3}{2}=\frac {5}{2},AE=AD-DE=\frac {5}{2}-\frac {3}{2}=1.$
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明⊙D和AC相切，AC上没有标注明确切点，因此采用切线判定的常用思路：过圆心向待证直线作垂线，证明垂线段长度等于圆的半径即可。已知CD是∠ACB的角平分线，且DB⊥BC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作DF⊥AC，就可以得到DF=BD，而BD正好是⊙D的半径，因此DF就是半径，直接就能证出AC和⊙D相切。
第二问求AE的长，首先先在Rt△ABC中用勾股定理算出AB的长度，再根据切线长定理，从C点引出的两条切线CB、CF长度相等，算出AF的长度。设圆的半径为x，把AD、DF都用含x的式子表示出来，在Rt△AFD中利用勾股定理列方程解出半径，最后用AD减去半径DE就能得到AE的长度，用方程思想求解思路清晰。
【解析】
(1) 证明：过点 D 作$DF⊥ AC$于点 F。
$\because ∠ ABC=90^{\circ }$，$\therefore AB⊥ BC$，即$DB⊥BC$。
$\because CD$平分$∠ ACB$交 AB 于点 D，$DF⊥AC$，$DB⊥BC$，
$\therefore BD=DF$，即DF的长度等于$\odot D$的半径，
$\therefore \odot D$与 AC 相切。
(2) 解：设$\odot D$的半径为 x。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90^{\circ }$，$AC=5$，$BC=3$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt {AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt {5^{2}-3^{2}}=4$。
$\because BC⊥BD$，AC切$\odot D$于点F，
$\therefore BC$和AC都是$\odot D$的切线，根据切线长定理得$BC=CF=3$，
$\therefore AF=AC-CF=5-3=2$。
又$\because AD=AB-BD=4-x$，$DF=x$，
在$\mathrm{Rt}△ AFD$中，由勾股定理得：$(4-x)^{2}=x^{2}+2^{2}$，
化简后解得$x=\frac {3}{2}$。
$\therefore AD=4-\frac {3}{2}=\frac {5}{2}$，
又$\because DE$是$\odot D$的半径，即$DE=\frac{3}{2}$，
$\therefore AE=AD-DE=\frac {5}{2}-\frac {3}{2}=1$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) $AE=1$
【知识点】
切线的判定，勾股定理，切线长定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，第一问重点考察“无切点，作垂直，证半径”的切线判定常用技巧，结合角平分线性质即可快速得证；第二问运用方程思想，结合切线长定理和勾股定理求解线段长度，是圆相关计算的经典考法，能帮助学生巩固切线相关的核心知识点。
【难度系数】
0.6
这道题分为两小问，第一问要证明⊙D和AC相切，AC上没有标注明确切点，因此采用切线判定的常用思路：过圆心向待证直线作垂线，证明垂线段长度等于圆的半径即可。已知CD是∠ACB的角平分线，且DB⊥BC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作DF⊥AC，就可以得到DF=BD，而BD正好是⊙D的半径，因此DF就是半径，直接就能证出AC和⊙D相切。
第二问求AE的长，首先先在Rt△ABC中用勾股定理算出AB的长度，再根据切线长定理，从C点引出的两条切线CB、CF长度相等，算出AF的长度。设圆的半径为x，把AD、DF都用含x的式子表示出来，在Rt△AFD中利用勾股定理列方程解出半径，最后用AD减去半径DE就能得到AE的长度，用方程思想求解思路清晰。
【解析】
(1) 证明：过点 D 作$DF⊥ AC$于点 F。
$\because ∠ ABC=90^{\circ }$，$\therefore AB⊥ BC$，即$DB⊥BC$。
$\because CD$平分$∠ ACB$交 AB 于点 D，$DF⊥AC$，$DB⊥BC$，
$\therefore BD=DF$，即DF的长度等于$\odot D$的半径，
$\therefore \odot D$与 AC 相切。
(2) 解：设$\odot D$的半径为 x。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90^{\circ }$，$AC=5$，$BC=3$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt {AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt {5^{2}-3^{2}}=4$。
$\because BC⊥BD$，AC切$\odot D$于点F，
$\therefore BC$和AC都是$\odot D$的切线，根据切线长定理得$BC=CF=3$，
$\therefore AF=AC-CF=5-3=2$。
又$\because AD=AB-BD=4-x$，$DF=x$，
在$\mathrm{Rt}△ AFD$中，由勾股定理得：$(4-x)^{2}=x^{2}+2^{2}$，
化简后解得$x=\frac {3}{2}$。
$\therefore AD=4-\frac {3}{2}=\frac {5}{2}$，
又$\because DE$是$\odot D$的半径，即$DE=\frac{3}{2}$，
$\therefore AE=AD-DE=\frac {5}{2}-\frac {3}{2}=1$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) $AE=1$
【知识点】
切线的判定，勾股定理，切线长定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，第一问重点考察“无切点，作垂直，证半径”的切线判定常用技巧，结合角平分线性质即可快速得证；第二问运用方程思想，结合切线长定理和勾股定理求解线段长度，是圆相关计算的经典考法，能帮助学生巩固切线相关的核心知识点。
【难度系数】
0.6
