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7.(2025·建邺区期中)在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在$\dfrac{1}{4}$附近，则估计口袋中白球大约有
15
个.答案
7. 15
解析
【分析】
这道题考查频率估计概率的应用，解题思路很清晰：首先，多次重复摸球试验后，频率稳定的数值可以近似看作对应事件发生的概率，也就是摸到红球的概率约为$\frac{1}{4}$。接下来我们已知红球的实际数量是5个，结合概率的计算公式，用红球数量除以摸到红球的概率就能得到口袋中球的总数量，最后用总球数减去红球的数量，就可以算出白球的预估数量，也可以通过设未知数列方程的方式求解，逻辑更直观。
【解析】
解：设口袋中白球的数量为$x$个，则口袋中球的总数量为$(5+x)$个。
根据频率估计概率的原理，摸到红球的频率稳定在$\frac{1}{4}$，说明摸到红球的概率约为$\frac{1}{4}$。
由概率的计算公式可得：
$\frac{5}{5+x} = \frac{1}{4}$
交叉相乘解方程：
$5+x = 5×4$
$5+x=20$
解得：$x=15$
经检验，$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
所以估计口袋中白球大约有15个。
【答案】
15
【知识点】
频率估计概率，概率公式
【点评】
本题属于概率部分的基础应用题，核心是掌握“大量重复试验下事件发生的频率会逐渐稳定到概率附近”这一规律，利用概率公式建立等量关系即可求解，难度较低，需要注意解出分式方程后要验证结果的合理性，避免出现不符合实际的取值。
【难度系数】
0.8
这道题考查频率估计概率的应用，解题思路很清晰：首先，多次重复摸球试验后，频率稳定的数值可以近似看作对应事件发生的概率，也就是摸到红球的概率约为$\frac{1}{4}$。接下来我们已知红球的实际数量是5个，结合概率的计算公式，用红球数量除以摸到红球的概率就能得到口袋中球的总数量，最后用总球数减去红球的数量，就可以算出白球的预估数量，也可以通过设未知数列方程的方式求解，逻辑更直观。
【解析】
解：设口袋中白球的数量为$x$个，则口袋中球的总数量为$(5+x)$个。
根据频率估计概率的原理，摸到红球的频率稳定在$\frac{1}{4}$，说明摸到红球的概率约为$\frac{1}{4}$。
由概率的计算公式可得：
$\frac{5}{5+x} = \frac{1}{4}$
交叉相乘解方程：
$5+x = 5×4$
$5+x=20$
解得：$x=15$
经检验，$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
所以估计口袋中白球大约有15个。
【答案】
15
【知识点】
频率估计概率，概率公式
【点评】
本题属于概率部分的基础应用题，核心是掌握“大量重复试验下事件发生的频率会逐渐稳定到概率附近”这一规律，利用概率公式建立等量关系即可求解，难度较低，需要注意解出分式方程后要验证结果的合理性，避免出现不符合实际的取值。
【难度系数】
0.8
8.(2025·天宁区期中)如图,飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上,且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的,则小亮随机投掷一次飞镖,飞镖扎在阴影区域的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
8. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道几何概型的概率计算问题，解题思路如下：1. 首先明确几何概型的概率计算规则：事件发生的概率等于符合条件的区域面积除以总区域的面积；2. 先确定整个飞镖游戏板的总面积，观察图形可知游戏板是由若干个全等小正方形组成的网格；3. 阴影部分是带圆弧的不规则图形，直接计算面积很麻烦，因此使用割补平移的方法：将右上角的弧形阴影向左平移、左下角的弧形阴影向右平移，抵消所有圆弧的凹凸部分，把不规则的阴影拼接成规则的完整小正方形，快速得到阴影部分的总面积；4. 最后用阴影面积除以游戏板总面积即可得到所求概率。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，则每个小正方形的面积为$1×1=1$。
观察图形可知，飞镖游戏板是3行3列的网格，总共有9个全等的小正方形，因此游戏板的总面积为$9×1=9$。
通过割补平移法对阴影部分进行拼接：将右上角的阴影弧形部分向左平移，左下角的阴影弧形部分向右平移，可发现所有阴影部分恰好可以拼接为3个完整的小正方形，因此阴影区域的总面积为$3×1=3$。
根据几何概型的概率公式，飞镖扎在阴影区域的概率为：
$P=\frac{阴影区域面积}{游戏板总面积}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
几何概型，割补法求面积，概率计算
【点评】
本题的核心技巧是利用割补平移将带圆弧的不规则阴影转化为规则的小正方形组合，避免了复杂的扇形面积运算，简化了计算过程，重点考察学生对几何概型概念的理解和割补转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
这是一道几何概型的概率计算问题，解题思路如下：1. 首先明确几何概型的概率计算规则：事件发生的概率等于符合条件的区域面积除以总区域的面积；2. 先确定整个飞镖游戏板的总面积，观察图形可知游戏板是由若干个全等小正方形组成的网格；3. 阴影部分是带圆弧的不规则图形，直接计算面积很麻烦，因此使用割补平移的方法：将右上角的弧形阴影向左平移、左下角的弧形阴影向右平移，抵消所有圆弧的凹凸部分，把不规则的阴影拼接成规则的完整小正方形，快速得到阴影部分的总面积；4. 最后用阴影面积除以游戏板总面积即可得到所求概率。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，则每个小正方形的面积为$1×1=1$。
观察图形可知，飞镖游戏板是3行3列的网格，总共有9个全等的小正方形，因此游戏板的总面积为$9×1=9$。
通过割补平移法对阴影部分进行拼接：将右上角的阴影弧形部分向左平移，左下角的阴影弧形部分向右平移，可发现所有阴影部分恰好可以拼接为3个完整的小正方形，因此阴影区域的总面积为$3×1=3$。
根据几何概型的概率公式，飞镖扎在阴影区域的概率为：
$P=\frac{阴影区域面积}{游戏板总面积}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
几何概型，割补法求面积，概率计算
【点评】
本题的核心技巧是利用割补平移将带圆弧的不规则阴影转化为规则的小正方形组合，避免了复杂的扇形面积运算，简化了计算过程，重点考察学生对几何概型概念的理解和割补转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
9. 如图，小婷同学用四个开关 A，B，C，D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为
$\frac{1}{2}$
.答案
9. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这道题是概率与基础电路结合的题目，解题思路如下：首先先明确小灯泡发光的前提是电路处于通路状态，先从电路图中分析出通路对应的开关闭合要求；接下来用列举法，不重不漏地列出从4个开关中任意闭合两个的所有等可能的总情况数；再从中筛选出能让小灯泡发光的符合条件的情况数，最后代入概率的定义公式，用符合条件的情况数除以总情况数，就能得到所求概率。
【解析】
1. 列举所有等可能的闭合两个开关的情况：
从A、B、C、D四个开关中任选两个闭合，所有不重复的组合为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，总共有6种等可能的结果。
2. 判断小灯泡发光的符合条件的情况：
由电路图可知，A、B、C三个开关并联，之后和开关D、灯泡串联，只有闭合的两个开关中包含开关D，且A、B、C中至少有一个开关闭合时，电路才是通路，小灯泡才能发光。满足该条件的组合为：(A,D)、(B,D)、(C,D)，共3种情况。
3. 计算概率：
根据概率计算公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，代入得$P(小灯泡发光)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
列举法求概率；电路通路判断
【点评】
本题属于跨学科的基础综合题，将概率计算和简单串并联电路的通路判断结合，易错点是列举开关组合时出现重复或者遗漏，同时要准确判断出灯泡发光的开关要求，整体难度不高，掌握列举法求概率的基本方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
这道题是概率与基础电路结合的题目，解题思路如下：首先先明确小灯泡发光的前提是电路处于通路状态，先从电路图中分析出通路对应的开关闭合要求；接下来用列举法，不重不漏地列出从4个开关中任意闭合两个的所有等可能的总情况数；再从中筛选出能让小灯泡发光的符合条件的情况数，最后代入概率的定义公式，用符合条件的情况数除以总情况数，就能得到所求概率。
【解析】
1. 列举所有等可能的闭合两个开关的情况：
从A、B、C、D四个开关中任选两个闭合，所有不重复的组合为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，总共有6种等可能的结果。
2. 判断小灯泡发光的符合条件的情况：
由电路图可知，A、B、C三个开关并联，之后和开关D、灯泡串联，只有闭合的两个开关中包含开关D，且A、B、C中至少有一个开关闭合时，电路才是通路，小灯泡才能发光。满足该条件的组合为：(A,D)、(B,D)、(C,D)，共3种情况。
3. 计算概率：
根据概率计算公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，代入得$P(小灯泡发光)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
列举法求概率；电路通路判断
【点评】
本题属于跨学科的基础综合题，将概率计算和简单串并联电路的通路判断结合，易错点是列举开关组合时出现重复或者遗漏，同时要准确判断出灯泡发光的开关要求，整体难度不高，掌握列举法求概率的基本方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共52分)
10.(16分)(2025·玄武区期中)某课外学习小组做摸球试验:一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球,这些球除颜色外都相同.将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球,记下颜色后放回、搅匀,不断重复这个过程,获得如下数据:
(1)表中的$a=$
(2)当摸球次数很大时,摸到白球的概率的估计值是
(3)若袋中有红球30个,请估计袋中白球的个数.
10.(16分)(2025·玄武区期中)某课外学习小组做摸球试验:一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球,这些球除颜色外都相同.将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球,记下颜色后放回、搅匀,不断重复这个过程,获得如下数据:
(1)表中的$a=$
298
,$b=$0.601
;(2)当摸球次数很大时,摸到白球的概率的估计值是
0.60
;(精确到0.01)(3)若袋中有红球30个,请估计袋中白球的个数.
答案
10. (1)298 0.601
(2)0.60
(3)解:
∵摸到白球的概率的估计值是0.60,
∴摸到红球的概率的估计值是0.40.
∵袋中有红球30个,
∴球的个数为$30÷0.40=75$,
∴袋中白球的个数为$75-30=45$.
答:估计袋中白球的个数为45.
(2)0.60
(3)解:
∵摸到白球的概率的估计值是0.60,
∴摸到红球的概率的估计值是0.40.
∵袋中有红球30个,
∴球的个数为$30÷0.40=75$,
∴袋中白球的个数为$75-30=45$.
答:估计袋中白球的个数为45.
解析
【分析】
这是一道用频率估计概率的常规题型，解题思路可以逐层推进：
1. 第一问紧扣频率的定义：事件发生的频率=该事件发生的频数÷试验总次数，直接对公式变形，代入表格对应数值就能算出a和b。
2. 第二问依据大量重复试验的规律：当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，观察表格中摸球次数增大后频率的波动范围，就能得到精确到0.01的概率估计值。
3. 第三问利用概率的意义，先通过白球的概率算出红球对应的概率，用红球的实际数量除以红球的概率得到袋中球的总数量，再减去红球数量就能得到白球的估计数量。
【解析】
(1) 计算a：摸球总个数为500，对应摸到白球的频率为0.596，由频率=频数/总数，得$a=500×0.596=298$；
计算b：摸球总个数为2000，摸到白球的个数为1202，得$b=1202÷2000=0.601$。
(2) 观察表格数据，随着摸球次数不断增大，摸到白球的频率逐渐稳定在0.60附近，因此摸球次数很大时，摸到白球的概率估计值为0.60。
(3) 已知摸到白球的概率估计值是0.60，因此摸到红球的概率估计值为$1-0.60=0.40$。
已知袋中有红球30个，因此袋中球的总数量估计为$30÷0.40=75$，
袋中白球的个数估计为$75-30=45$。
【答案】
(1)298；0.601
(2)0.60
(3)估计袋中白球的个数为45
【知识点】
频率计算，用频率估计概率，概率实际应用
【点评】
本题属于概率模块的基础常考题，核心考察频率和概率的关联，整体难度不高，易错点是计算频率和频数时不要混淆被除数和除数，第三问通过概率反推总球数的逻辑是后续概率应用类题目的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
这是一道用频率估计概率的常规题型，解题思路可以逐层推进：
1. 第一问紧扣频率的定义：事件发生的频率=该事件发生的频数÷试验总次数，直接对公式变形，代入表格对应数值就能算出a和b。
2. 第二问依据大量重复试验的规律：当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，观察表格中摸球次数增大后频率的波动范围，就能得到精确到0.01的概率估计值。
3. 第三问利用概率的意义，先通过白球的概率算出红球对应的概率，用红球的实际数量除以红球的概率得到袋中球的总数量，再减去红球数量就能得到白球的估计数量。
【解析】
(1) 计算a：摸球总个数为500，对应摸到白球的频率为0.596，由频率=频数/总数，得$a=500×0.596=298$；
计算b：摸球总个数为2000，摸到白球的个数为1202，得$b=1202÷2000=0.601$。
(2) 观察表格数据，随着摸球次数不断增大，摸到白球的频率逐渐稳定在0.60附近，因此摸球次数很大时，摸到白球的概率估计值为0.60。
(3) 已知摸到白球的概率估计值是0.60，因此摸到红球的概率估计值为$1-0.60=0.40$。
已知袋中有红球30个，因此袋中球的总数量估计为$30÷0.40=75$，
袋中白球的个数估计为$75-30=45$。
【答案】
(1)298；0.601
(2)0.60
(3)估计袋中白球的个数为45
【知识点】
频率计算，用频率估计概率，概率实际应用
【点评】
本题属于概率模块的基础常考题，核心考察频率和概率的关联，整体难度不高，易错点是计算频率和频数时不要混淆被除数和除数，第三问通过概率反推总球数的逻辑是后续概率应用类题目的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
