11. (16 分)(2025·宜兴月考)随着国产 AI 大模型 DeepSeek 的爆火,全球科技界对人工智能的关注度持续飙升. 为了让更多爱好者深入了解人工智能技术,某知名科技论坛精心策划了四场网络直播,分别以“A. 机器人技术”“B. 计算机视觉”“C. 自然语言处理”“D. 专家系统”为主题进行直播. 甲、乙两位同学准备各自随机选择一场直播深入学习,随后分享收获,两位同学选择四个主题的可能性均相同,且相互不影响.
(1)甲同学选择“B. 计算机视觉”的概率是；
(2)请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B. 计算机视觉”的概率.

11. (1)$\frac{1}{4}$
(2)解:根据题意,列表如下:
由列表可知,共有16种等可能的结果,其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B. 计算机视觉”的结果有7种,
∴$P(\mathrm{甲、乙两位同学中至少有一人选择“B. 计算机视觉”})=\frac{7}{16}$.

【分析】
先看第(1)问：甲从4个完全等可能的直播主题中随机选择1个，符合古典概型的特征，总共有4种等可能的结果，其中选择“B.计算机视觉”的结果仅1种，直接代入古典概型公式即可算出概率。
再看第(2)问：甲乙两人的选择相互独立，总结果数不多，我们可以通过列表法把两人所有可能的选择组合全部枚举出来，先确定所有等可能的总结果数，再从中筛选出“至少有一人选择B”的符合条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数，就能得到对应事件的概率，这种枚举法直观清晰，能避免计数错误。
【解析】
(1) 甲随机从4个主题中选择1场直播，共有4种等可能的选择结果，其中选择“B. 计算机视觉”的结果只有1种，
因此甲选择“B. 计算机视觉”的概率为 $P=\frac{1}{4}$。
(2) 根据题意，列表枚举甲乙两人的所有选择组合如下：
| 甲\乙 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
由上表可知，总共有16种等可能的结果，其中满足“甲、乙两位同学中至少有一人选择B”的结果为：(A,B)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(B,D)、(C,B)、(D,B)，共7种。
因此对应事件的概率为 $P=\frac{7}{16}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{7}{16}}$
【知识点】
古典概型，列表法求概率
【点评】
本题是概率模块的基础常规题，第一小问直接考察单事件的古典概型计算，难度很低；第二小问考察用枚举法求解复合事件的概率，解题时注意“至少一人”的计数不要重复也不要遗漏，除了直接数符合条件的结果，也可以用对立事件“两人都不选B”的结果数9种，用1减去对立事件概率快速得到结果，进一步验证答案正确性。
【难度系数】
0.8

12.(20分)(2025·淮阴区模拟)为落实立德树人的根本任务,加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设.某校计划从前来应聘的思政专业(一名研究生,一名本科生),历史专业(一名研究生,一名本科生)的高校毕业生中选聘教师,在政治思想审核合格的条件下,假设每位毕业生被录用的机会相等.
(1)若从中只录用一人,恰好选到思政专业毕业生的概率是;
(2)若从中录用两人,请用列表或画树状图的方法,求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率.

12. (1)$\frac{1}{2}$
(2)解:设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B,历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D,画树状图如答图.
共有12种等可能的结果,恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2种,
∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.

【分析】
解第(1)问时，先统计所有应聘毕业生的总人数，再统计其中思政专业的毕业生人数，根据古典概型的概率定义，用符合条件的人数除以总人数即可得到对应概率。解第(2)问时，先给4名不同身份的毕业生分别做标记，通过画树状图或者列表的方式，不重不漏列出所有录用两人的等可能结果，再从中筛选出恰好是思政研究生和历史本科生的结果数量，最后用符合要求的结果数除以总结果数，就能算出目标概率。
【解析】
(1) 由题意可知，参与应聘的毕业生总共有4名，其中思政专业毕业生共2名，每位毕业生被录用的机会相等，因此只录用一人时，恰好选到思政专业毕业生的概率为：
$P=\frac{符合条件的人数}{总人数}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 设思政专业的研究生为A、思政专业的本科生为B，历史专业的研究生为C、历史专业的本科生为D，画树状图枚举所有结果：
第一层分支为首次选取的人员：A、B、C、D；
第二层对应每个首次选取的人员，排除已选对象，剩余可选人员分别为：选A后可选B、C、D；选B后可选A、C、D；选C后可选A、B、D；选D后可选A、B、C。
枚举可得所有等可能的结果共12种，其中恰好选到思政研究生A和历史本科生D的结果共2种，因此所求概率为：
$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型计算，树状图求概率
【点评】
本题结合校园招聘的实际情境考查概率相关知识，第(1)问为基础单事件概率计算，难度较低；第(2)问重点考查不放回选取的枚举能力，无论按有序枚举得到12种结果，还是按无序组合枚举得到6种结果，最终计算得到的目标概率都一致，解题时注意不要漏算、重复统计总结果数即可。
【难度系数】
0.7