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1. 易错题 如图，A，B 两点在函数 $y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$ 的图象上，分别过 A，B 两点向坐标轴作垂线段. 若$S_1+S_2=6$，则涂色部分的面积为（
A.1
B.2
C.4
D.6
A
）A.1
B.2
C.4
D.6
答案
设涂色部分的面积为$S_3$,则$S_3+S_1=4,S_3+S_2=4,\therefore S_3+S_1+S_3+S_2=8. \because S_1+S_2=6,\therefore 2S_3=2,$解得$S_3=1.$
解析
【分析】
我们首先回忆反比例函数k的几何性质：过反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线段，围成的矩形面积恒等于|k|。本题中函数为y=4/x，k=4，因此A、B两点分别对应的、以自身为顶点的大矩形面积都等于4。接下来观察图形，两个大矩形的重叠区域就是待求的涂色部分，设涂色面积为S₃，就能得到S₁+S₃=4、S₂+S₃=4两个等式，将两式相加后把已知条件S₁+S₂=6整体代入，就可以直接解出S₃的数值。
【解析】
解：设涂色部分的面积为$S_3$，
根据反比例函数比例系数$k$的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，所得矩形的面积恒为$|k|$。
本题中$k=4$，因此点A对应的矩形总面积为4，点B对应的矩形总面积也为4，由此可得：
$\begin{cases} S_1 + S_3 = 4 \\ S_2 + S_3 = 4 \end{cases}$
将两个等式左右两边分别相加，得：
$S_1 + S_2 + 2S_3 = 8$
已知$S_1 + S_2 = 6$，代入上式：
$6 + 2S_3 = 8$
解得$S_3=1$。
【答案】A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，整体代入求值
【点评】
本题是反比例函数性质的典型易错题，很多同学容易忽略两个大矩形存在重叠的涂色区域，错误认为S₁和S₂的面积都等于4，没有理清图形各部分的面积关系。解题核心是牢记反比例函数k的几何意义，通过整体代换的思路快速求解，不需要额外设点的坐标计算，大幅简化运算。
【难度系数】
0.6
我们首先回忆反比例函数k的几何性质：过反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线段，围成的矩形面积恒等于|k|。本题中函数为y=4/x，k=4，因此A、B两点分别对应的、以自身为顶点的大矩形面积都等于4。接下来观察图形，两个大矩形的重叠区域就是待求的涂色部分，设涂色面积为S₃，就能得到S₁+S₃=4、S₂+S₃=4两个等式，将两式相加后把已知条件S₁+S₂=6整体代入，就可以直接解出S₃的数值。
【解析】
解：设涂色部分的面积为$S_3$，
根据反比例函数比例系数$k$的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，所得矩形的面积恒为$|k|$。
本题中$k=4$，因此点A对应的矩形总面积为4，点B对应的矩形总面积也为4，由此可得：
$\begin{cases} S_1 + S_3 = 4 \\ S_2 + S_3 = 4 \end{cases}$
将两个等式左右两边分别相加，得：
$S_1 + S_2 + 2S_3 = 8$
已知$S_1 + S_2 = 6$，代入上式：
$6 + 2S_3 = 8$
解得$S_3=1$。
【答案】A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，整体代入求值
【点评】
本题是反比例函数性质的典型易错题，很多同学容易忽略两个大矩形存在重叠的涂色区域，错误认为S₁和S₂的面积都等于4，没有理清图形各部分的面积关系。解题核心是牢记反比例函数k的几何意义，通过整体代换的思路快速求解，不需要额外设点的坐标计算，大幅简化运算。
【难度系数】
0.6
2. 如图,$A,B$是反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象上关于原点$O$对称的任意两点,$AC// y$轴,交$x$轴于点$C$,$BD// y$轴,交$x$轴于点$D$.设四边形$ADBC$的面积为$S$,则下列结论中正确的是 （
A.$S=1$
B.$1＜S＜2$
C.$S=2$
D.$S＞2$
C
）A.$S=1$
B.$1＜S＜2$
C.$S=2$
D.$S＞2$
答案
$\because A,B$是函数$y=\frac{1}{x}$的图象上关于原点$O$对称的任意两点,且$AC// y$轴,$BD// y$轴,$\therefore$ 设点$A$的坐标为$(x,y)$,则点$B$的坐标为$(-x,-y).\therefore OC=OD=x$,$AC=BD=y.\therefore S_{△ AOD}=\frac{1}{2}xy=S_{△ AOC}=\frac{1}{2},S_{△ BOC}=\frac{1}{2}xy=S_{△ BOD}=\frac{1}{2}.\therefore S=S_{△ AOD}+S_{△ AOC}+S_{△ BOC}+S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×4=2.$
解析
【分析】
解题时首先利用反比例函数图象关于原点中心对称的性质，先设出图象上点A的坐标，即可得到与A关于原点对称的点B的坐标；再根据AC、BD均平行于y轴的条件，确定C、D两点在x轴上的坐标，得到各相关线段的长度。接下来将四边形ADBC拆分为四个以x轴上的线段为底的直角三角形，结合反比例函数k的几何意义，即双曲线上任意一点横纵坐标的乘积等于k，快速计算每个小三角形的面积，求和后即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：设点A的坐标为$(x,y)$，
$\because$ 点A在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
$\therefore xy=1$。
$\because A,B$关于原点O对称，
$\therefore$ 点B的坐标为$(-x,-y)$。
由$AC// y$轴，交x轴于点C，可得C点坐标为$(x,0)$，即$OC=x$，$AC=y$；
由$BD// y$轴，交x轴于点D，可得D点坐标为$(-x,0)$，即$OD=x$，$BD=y$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· OC· AC=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}· OD· AC=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}· OD· BD=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· OC· BD=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}$。
因此四边形ADBC的面积：
$S=S_{△ AOC}+S_{△ AOD}+S_{△ BOD}+S_{△ BOC}=4×\frac{1}{2}=2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，关于原点对称的点的坐标，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数面积类的经典基础题型，不需要代入具体的点坐标求值，仅通过设点结合反比例函数$xy=k$的固有性质即可快速推导结果，也可将四边形看作上下底均为y、高为2x的梯形，用梯形面积公式验证结论，能帮助学生加深对反比例函数几何性质的理解。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用反比例函数图象关于原点中心对称的性质，先设出图象上点A的坐标，即可得到与A关于原点对称的点B的坐标；再根据AC、BD均平行于y轴的条件，确定C、D两点在x轴上的坐标，得到各相关线段的长度。接下来将四边形ADBC拆分为四个以x轴上的线段为底的直角三角形，结合反比例函数k的几何意义，即双曲线上任意一点横纵坐标的乘积等于k，快速计算每个小三角形的面积，求和后即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：设点A的坐标为$(x,y)$，
$\because$ 点A在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
$\therefore xy=1$。
$\because A,B$关于原点O对称，
$\therefore$ 点B的坐标为$(-x,-y)$。
由$AC// y$轴，交x轴于点C，可得C点坐标为$(x,0)$，即$OC=x$，$AC=y$；
由$BD// y$轴，交x轴于点D，可得D点坐标为$(-x,0)$，即$OD=x$，$BD=y$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· OC· AC=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}· OD· AC=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}· OD· BD=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· OC· BD=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}$。
因此四边形ADBC的面积：
$S=S_{△ AOC}+S_{△ AOD}+S_{△ BOD}+S_{△ BOC}=4×\frac{1}{2}=2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，关于原点对称的点的坐标，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数面积类的经典基础题型，不需要代入具体的点坐标求值，仅通过设点结合反比例函数$xy=k$的固有性质即可快速推导结果，也可将四边形看作上下底均为y、高为2x的梯形，用梯形面积公式验证结论，能帮助学生加深对反比例函数几何性质的理解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,两个反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$和$y=-\dfrac{2}{x}$的图象分别是$L_{1}$和$L_{2}$.已知点$P$在第一象限内,且在$L_{1}$上,$PC ⊥ x$轴,垂足为$C$,交$L_{2}$于点$A$,$PD ⊥ y$轴,垂足为$D$,交$L_{2}$于点$B$,则$△ PAB$的面积为
$\frac{9}{2}$
.答案
$\because$ 点$P$在第一象限内,且在$L_1$上,$\therefore$ 设点$P$的坐标是$(a,\frac{1}{a})$($a$为正数).$\because PA⊥ x$轴,$\therefore$ 点$A$的横坐标是$a$.$\because$ 点$A$在$L_2$上,$\therefore$ 点$A$的坐标是$(a,-\frac{2}{a})$.$\because PB⊥ y$轴,$\therefore$ 点$B$的纵坐标是$\frac{1}{a}$.$\because$ 点$B$在$L_2$上,$\therefore \frac{1}{a}=-\frac{2}{x}$,解得$x=-2a$.$\therefore$ 点$B$的坐标是$(-2a,\frac{1}{a})$.$\therefore PA=|\frac{1}{a}-(-\frac{2}{a})|=\frac{3}{a},PB=|a-(-2a)|=3a$.$\because$ 易得$PA⊥ PB$,$\therefore △ PAB$的面积$=\frac{1}{2}PA· PB=\frac{1}{2}×\frac{3}{a}×3a=\frac{9}{2}.$
解析
【分析】
我们可以按照以下思路解题：首先点P在反比例函数$L_1:y=\frac{1}{x}$上，因此可以设P的横坐标为正数a，直接用参数a表示出P的坐标为$(a,\frac{1}{a})$，不需要求出a的具体值。接下来根据$PC⊥ x$轴，可知点A的横坐标和P的横坐标完全一致，将x=a代入$L_2$的解析式就能得到A的坐标；同理根据$PD⊥ y$轴，可知点B的纵坐标和P的纵坐标完全一致，将$y=\frac{1}{a}$代入$L_2$的解析式就能得到B的坐标。之后通过坐标差算出竖直边PA和水平边PB的长度，易知PA和PB互相垂直，△PAB是直角三角形，代入直角三角形面积公式计算，参数a会自动约去，最终得到面积结果。
【解析】
解：设点P的坐标为$(a,\dfrac{1}{a})$，其中$a＞0$，满足P在第一象限的$L_1:y=\dfrac{1}{x}$上。
1. 求点A的坐标：
因为$PC⊥ x$轴，点A在PC上，所以点A的横坐标与点P的横坐标相等，均为$a$。
将$x=a$代入$L_2:y=-\dfrac{2}{x}$，得$y=-\dfrac{2}{a}$，因此点A的坐标为$(a,-\dfrac{2}{a})$。
2. 求点B的坐标：
因为$PD⊥ y$轴，点B在PD上，所以点B的纵坐标与点P的纵坐标相等，均为$\dfrac{1}{a}$。
将$y=\dfrac{1}{a}$代入$L_2:y=-\dfrac{2}{x}$，得$\dfrac{1}{a}=-\dfrac{2}{x}$，解得$x=-2a$，因此点B的坐标为$(-2a,\dfrac{1}{a})$。
3. 计算线段长度：
PA为竖直线段，长度为纵坐标差的绝对值：$PA=\left|\dfrac{1}{a}-(-\dfrac{2}{a})\right|=\dfrac{3}{a}$；
PB为水平线段，长度为横坐标差的绝对值：$PB=\left|a - (-2a)\right|=3a$。
4. 计算三角形面积：
由$PA⊥ x$轴，$PB⊥ y$轴，可得$PA⊥ PB$，△PAB为直角三角形，因此：
$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}· PA· PB=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{a}×3a=\dfrac{9}{2}$。
【答案】
$\dfrac{9}{2}$
【知识点】
反比例函数坐标性质；直角三角形面积计算；坐标求线段长
【点评】
本题采用设参消参的思想，不需要求解参数的具体数值，仅通过参数表示各点坐标后约去参数即可得到结果，是反比例函数章节的经典题型，重点考察学生对反比例函数图象上点的特征的掌握，计算难度低，思路清晰即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
我们可以按照以下思路解题：首先点P在反比例函数$L_1:y=\frac{1}{x}$上，因此可以设P的横坐标为正数a，直接用参数a表示出P的坐标为$(a,\frac{1}{a})$，不需要求出a的具体值。接下来根据$PC⊥ x$轴，可知点A的横坐标和P的横坐标完全一致，将x=a代入$L_2$的解析式就能得到A的坐标；同理根据$PD⊥ y$轴，可知点B的纵坐标和P的纵坐标完全一致，将$y=\frac{1}{a}$代入$L_2$的解析式就能得到B的坐标。之后通过坐标差算出竖直边PA和水平边PB的长度，易知PA和PB互相垂直，△PAB是直角三角形，代入直角三角形面积公式计算，参数a会自动约去，最终得到面积结果。
【解析】
解：设点P的坐标为$(a,\dfrac{1}{a})$，其中$a＞0$，满足P在第一象限的$L_1:y=\dfrac{1}{x}$上。
1. 求点A的坐标：
因为$PC⊥ x$轴，点A在PC上，所以点A的横坐标与点P的横坐标相等，均为$a$。
将$x=a$代入$L_2:y=-\dfrac{2}{x}$，得$y=-\dfrac{2}{a}$，因此点A的坐标为$(a,-\dfrac{2}{a})$。
2. 求点B的坐标：
因为$PD⊥ y$轴，点B在PD上，所以点B的纵坐标与点P的纵坐标相等，均为$\dfrac{1}{a}$。
将$y=\dfrac{1}{a}$代入$L_2:y=-\dfrac{2}{x}$，得$\dfrac{1}{a}=-\dfrac{2}{x}$，解得$x=-2a$，因此点B的坐标为$(-2a,\dfrac{1}{a})$。
3. 计算线段长度：
PA为竖直线段，长度为纵坐标差的绝对值：$PA=\left|\dfrac{1}{a}-(-\dfrac{2}{a})\right|=\dfrac{3}{a}$；
PB为水平线段，长度为横坐标差的绝对值：$PB=\left|a - (-2a)\right|=3a$。
4. 计算三角形面积：
由$PA⊥ x$轴，$PB⊥ y$轴，可得$PA⊥ PB$，△PAB为直角三角形，因此：
$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}· PA· PB=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{a}×3a=\dfrac{9}{2}$。
【答案】
$\dfrac{9}{2}$
【知识点】
反比例函数坐标性质；直角三角形面积计算；坐标求线段长
【点评】
本题采用设参消参的思想，不需要求解参数的具体数值，仅通过参数表示各点坐标后约去参数即可得到结果，是反比例函数章节的经典题型，重点考察学生对反比例函数图象上点的特征的掌握，计算难度低，思路清晰即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
4. 如图所示为反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$和$y=\dfrac{4}{x}$在第一象限内的图象，直线$BC// y$轴，分别交两条曲线于$B,C$两点，点$A$在$y$轴的正半轴上，连接$AC,AB$，则$S_{△ ABC}=$
1
.答案
连接$OC,OB$,设直线$BC$与$x$轴交于点$D$.$\because BC// y$轴,点$A$在$y$轴上.$\therefore BC// OA$.$\therefore S_{△ BOC}=S_{△ ABC}$.$\because$ 点$B,C$分别在反比例函数$y=\frac{2}{x}$和$y=\frac{4}{x}$的图象上,$\therefore S_{△ COD}=\frac{4}{2}=2,S_{△ BOD}=\frac{2}{2}=1. \therefore S_{△ ABC}=S_{△ BOC}=S_{△ COD}-S_{△ BOD}=1.$
解析
【分析】
我们可以按如下思路解题：首先观察图形特征，已知BC平行于y轴，点A在y轴上，因此OA与BC互相平行，由此可以推出△ABC和△OBC是同底等高的三角形，二者面积相等，这样就把求△ABC的面积转化为更容易计算的△OBC的面积。接下来利用反比例函数k的几何性质：过反比例函数图像上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积等于|k|/2。我们设BC和x轴的交点为D，分别算出点C对应的△COD的面积和点B对应的△BOD的面积，二者相减就得到△OBC的面积，也就是△ABC的面积，全程无需设点坐标，计算非常简便。
【解析】
解：连接OC、OB，设直线BC与x轴交于点D。
1. 由题意得$BC// y$轴，点A在y轴正半轴上，因此$BC// OA$。
根据平行线间距离处处相等，$△ ABC$和$△ OBC$同底为$BC$，对应高相等，因此$S_{△ ABC}=S_{△ BOC}$。
2. 点C在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，可得$S_{△ COD}=\frac{1}{2}×|4|=2$。
3. 点B在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，同理可得$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×|2|=1$。
4. 因此$S_{△ BOC}=S_{△ COD}-S_{△ BOD}=2-1=1$，即$S_{△ ABC}=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数k的几何意义，同底等高三角形面积相等
【点评】
本题核心是利用等积变换将难以直接计算的斜三角形面积，转化为两个反比例函数对应的直角三角形面积之差，避免了设点坐标求解的繁琐步骤，灵活考察了反比例函数的性质和面积转化的技巧，是反比例函数面积类的经典基础题型。
【难度系数】
0.6
我们可以按如下思路解题：首先观察图形特征，已知BC平行于y轴，点A在y轴上，因此OA与BC互相平行，由此可以推出△ABC和△OBC是同底等高的三角形，二者面积相等，这样就把求△ABC的面积转化为更容易计算的△OBC的面积。接下来利用反比例函数k的几何性质：过反比例函数图像上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积等于|k|/2。我们设BC和x轴的交点为D，分别算出点C对应的△COD的面积和点B对应的△BOD的面积，二者相减就得到△OBC的面积，也就是△ABC的面积，全程无需设点坐标，计算非常简便。
【解析】
解：连接OC、OB，设直线BC与x轴交于点D。
1. 由题意得$BC// y$轴，点A在y轴正半轴上，因此$BC// OA$。
根据平行线间距离处处相等，$△ ABC$和$△ OBC$同底为$BC$，对应高相等，因此$S_{△ ABC}=S_{△ BOC}$。
2. 点C在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，可得$S_{△ COD}=\frac{1}{2}×|4|=2$。
3. 点B在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，同理可得$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×|2|=1$。
4. 因此$S_{△ BOC}=S_{△ COD}-S_{△ BOD}=2-1=1$，即$S_{△ ABC}=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数k的几何意义，同底等高三角形面积相等
【点评】
本题核心是利用等积变换将难以直接计算的斜三角形面积，转化为两个反比例函数对应的直角三角形面积之差，避免了设点坐标求解的繁琐步骤，灵活考察了反比例函数的性质和面积转化的技巧，是反比例函数面积类的经典基础题型。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC=5$,$AB=8$,$AB ⊥ x$轴,垂足为$A$,函数$y=\dfrac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象经过点$C$,交$AB$于点$D$.
(1) 若$OA=AB$,求$k$的值.
(2) 若$BC=BD$,连接$OC$,求$△ OAC$的面积.
(1) 若$OA=AB$,求$k$的值.
(2) 若$BC=BD$,连接$OC$,求$△ OAC$的面积.
答案
过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$,$CF⊥ OA$于点$F$,则易得$CF=AE$.$\because AB=8,AC=BC,CE⊥ AB,\therefore BE=AE=CF=\frac{1}{2}AB=4$.$\because AC=BC=5$,$\therefore$ 由勾股定理,得$AF=\sqrt{AC^2-CF^2}=3.$
(1) $\because OA=AB=8$,$\therefore OF=OA-AF=5$.$\therefore$ 点$C$的坐标为$(5,4)$.$\because$ 点$C$在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore k=5×4=20.$
(2) $\because BD=BC=5$,$AB=8$,$\therefore AD=3$.设点$A$的坐标为$(m,0)$,则$C,D$两点的坐标分别为$(m-3,4)$,$(m,3)$.$\because$ 点$C,D$在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore 4(m-3)=3m$,解得$m=12$.$\therefore A(12,0)$,则$OA=12$.又$\because CF=4$,$\therefore S_{△ OAC}=\frac{1}{2}×12×4=24.$
(1) $\because OA=AB=8$,$\therefore OF=OA-AF=5$.$\therefore$ 点$C$的坐标为$(5,4)$.$\because$ 点$C$在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore k=5×4=20.$
(2) $\because BD=BC=5$,$AB=8$,$\therefore AD=3$.设点$A$的坐标为$(m,0)$,则$C,D$两点的坐标分别为$(m-3,4)$,$(m,3)$.$\because$ 点$C,D$在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore 4(m-3)=3m$,解得$m=12$.$\therefore A(12,0)$,则$OA=12$.又$\because CF=4$,$\therefore S_{△ OAC}=\frac{1}{2}×12×4=24.$
解析
【分析】
这是一道反比例函数与等腰三角形性质结合的几何综合题，解题的核心思路是先通过构造辅助线得到等腰三角形的边长关系，建立点坐标和已知边长的联系：首先过点C作CE⊥AB、CF⊥x轴，利用等腰三角形三线合一的性质，先算出AE、CE的固定长度，这是两个小问的公共解题基础。第一小问已知OA=AB，直接推导得到点C的横纵坐标，代入反比例函数解析式即可求出k；第二小问已知BC=BD，先算出AD的长度，设点A的横坐标为参数m，用m分别表示出点C和点D的坐标，利用两点都在反比例函数上、横纵坐标乘积相等的性质列方程解出m，最后以OA为底、CF为高，直接用三角形面积公式计算△OAC的面积即可。
【解析】
过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$，$CF⊥ OA$于点$F$，由题意可知四边形$AECF$为矩形，因此$CF=AE$。
$\because AC=BC=5$，$CE⊥ AB$，$AB=8$，由等腰三角形三线合一可得：
$AE=BE=\frac{1}{2}AB=4$，
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，即$AF=CE=3$。
(1) $\because OA=AB=8$，
$\therefore OF=OA-AF=8-3=5$，
结合$CF=4$，可得点$C$的坐标为$(5,4)$，
$\because$ 点$C$在函数$y=\dfrac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上，
$\therefore k=5×4=20$。
(2) $\because BC=BD=5$，$AB=8$，
$\therefore AD=AB-BD=8-5=3$，
设点$A$的坐标为$(m,0)$，则点$D$坐标为$(m,3)$，点$C$坐标为$(m-3,4)$，
$\because$ 点$C$、$D$都在函数$y=\dfrac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上，横纵坐标乘积相等，因此：
$4(m-3)=3m$，
解得$m=12$，即$OA=12$，
$\therefore S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× OA× CF=\frac{1}{2}×12×4=24$。
【答案】
(1) $k=20$；(2) $S_{△ OAC}=24$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，反比例函数性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的中档综合题，构造辅助线利用等腰三角形三线合一得到固定边长是解题的突破口，第二问通过设参数表示点坐标、利用反比例函数横纵坐标乘积相等列方程的方法，避免了复杂的计算，重点考察了学生数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.6
这是一道反比例函数与等腰三角形性质结合的几何综合题，解题的核心思路是先通过构造辅助线得到等腰三角形的边长关系，建立点坐标和已知边长的联系：首先过点C作CE⊥AB、CF⊥x轴，利用等腰三角形三线合一的性质，先算出AE、CE的固定长度，这是两个小问的公共解题基础。第一小问已知OA=AB，直接推导得到点C的横纵坐标，代入反比例函数解析式即可求出k；第二小问已知BC=BD，先算出AD的长度，设点A的横坐标为参数m，用m分别表示出点C和点D的坐标，利用两点都在反比例函数上、横纵坐标乘积相等的性质列方程解出m，最后以OA为底、CF为高，直接用三角形面积公式计算△OAC的面积即可。
【解析】
过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$，$CF⊥ OA$于点$F$，由题意可知四边形$AECF$为矩形，因此$CF=AE$。
$\because AC=BC=5$，$CE⊥ AB$，$AB=8$，由等腰三角形三线合一可得：
$AE=BE=\frac{1}{2}AB=4$，
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，即$AF=CE=3$。
(1) $\because OA=AB=8$，
$\therefore OF=OA-AF=8-3=5$，
结合$CF=4$，可得点$C$的坐标为$(5,4)$，
$\because$ 点$C$在函数$y=\dfrac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上，
$\therefore k=5×4=20$。
(2) $\because BC=BD=5$，$AB=8$，
$\therefore AD=AB-BD=8-5=3$，
设点$A$的坐标为$(m,0)$，则点$D$坐标为$(m,3)$，点$C$坐标为$(m-3,4)$，
$\because$ 点$C$、$D$都在函数$y=\dfrac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上，横纵坐标乘积相等，因此：
$4(m-3)=3m$，
解得$m=12$，即$OA=12$，
$\therefore S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× OA× CF=\frac{1}{2}×12×4=24$。
【答案】
(1) $k=20$；(2) $S_{△ OAC}=24$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，反比例函数性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的中档综合题，构造辅助线利用等腰三角形三线合一得到固定边长是解题的突破口，第二问通过设参数表示点坐标、利用反比例函数横纵坐标乘积相等列方程的方法，避免了复杂的计算，重点考察了学生数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.6
