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9. [2025 南京中考]已知反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$，则当$1 ≤ x ≤ 3$时，$\dfrac{y}{x}$的最小值是
2/3
.答案
9. $\dfrac{2}{3}$ 令 $t=\dfrac{y}{x}$,将 $y=\dfrac{6}{x}$ 代入 $t=\dfrac{y}{x}$ 中，可得 $t=\dfrac{6}{x^2}$. $\because 1≤x≤3$,当 x 增大时，$x^2$ 也随之增大，t 则随之减小，$\therefore t$ 在 $x=3$ 时取得最小值，为 $\dfrac{6}{3^2}=\dfrac{2}{3}$,即 $\dfrac{y}{x}$ 的最小值是 $\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
这道题的核心是求给定区间内复合代数式的最小值，思考路径如下：1. 观察目标式$\frac{y}{x}$，其中y是已知反比例函数的因变量，可通过代入消元把双变量的目标式转化为仅含x的单变量函数；2. 得到新的函数后，结合给定的x的取值范围$1≤x≤3$，分析该函数的增减性，即可判断出最小值对应的x的取值，代入计算就能得到结果。
【解析】
解：设$t=\frac{y}{x}$，将已知反比例函数$y=\frac{6}{x}$代入该式中：
$t=\frac{y}{x}=\frac{\frac{6}{x}}{x}=\frac{6}{x^2}$
已知$1≤x≤3$，且x为正数：当x增大时，$x^2$随之同步增大，此时分子6固定，分母增大则整个分数值t会随之减小，因此函数$t=\frac{6}{x^2}$在区间$1≤x≤3$上单调递减。
因此t在区间的右端点也就是x取最大值3时，取得最小值：
$t_{min}=\frac{6}{3^2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
即$\frac{y}{x}$的最小值为$\frac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数性质，代数式消元，函数区间最值
【点评】
本题属于反比例函数的基础拓展题型，解题的关键是通过代换消去变量y，将陌生的复合代数式转化为熟悉的可分析单调性的函数，部分同学容易误判函数增减性，错将x=1代入得到错误结果6，解题时要先梳理清楚目标式的表达式再分析取值规律。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是求给定区间内复合代数式的最小值，思考路径如下：1. 观察目标式$\frac{y}{x}$，其中y是已知反比例函数的因变量，可通过代入消元把双变量的目标式转化为仅含x的单变量函数；2. 得到新的函数后，结合给定的x的取值范围$1≤x≤3$，分析该函数的增减性，即可判断出最小值对应的x的取值，代入计算就能得到结果。
【解析】
解：设$t=\frac{y}{x}$，将已知反比例函数$y=\frac{6}{x}$代入该式中：
$t=\frac{y}{x}=\frac{\frac{6}{x}}{x}=\frac{6}{x^2}$
已知$1≤x≤3$，且x为正数：当x增大时，$x^2$随之同步增大，此时分子6固定，分母增大则整个分数值t会随之减小，因此函数$t=\frac{6}{x^2}$在区间$1≤x≤3$上单调递减。
因此t在区间的右端点也就是x取最大值3时，取得最小值：
$t_{min}=\frac{6}{3^2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
即$\frac{y}{x}$的最小值为$\frac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数性质，代数式消元，函数区间最值
【点评】
本题属于反比例函数的基础拓展题型，解题的关键是通过代换消去变量y，将陌生的复合代数式转化为熟悉的可分析单调性的函数，部分同学容易误判函数增减性，错将x=1代入得到错误结果6，解题时要先梳理清楚目标式的表达式再分析取值规律。
【难度系数】
0.7
10. 如图,$A$是反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$在第二象限内的图象上的一个动点,连接$OA$.若将线段$OA$绕点$O$按顺时针方向旋转$90°$得到线段$OB$,则点$B$所在反比例函数图象对应的函数表达式为
y=2/x
.答案
10. $y=\dfrac{2}{x}$ 如图，过点 A 作 $AC⊥x$ 轴于点 C，过点 B 作 $BD⊥x$ 轴于点 D. $\therefore ∠ACO=∠ODB=90°$. $\therefore ∠CAO+∠AOC=90°$.由旋转的性质，得 $OA=BO,∠AOB=90°$，$\therefore ∠AOC+∠DOB=90°$. $\therefore ∠CAO=∠DOB$.在 $△ACO$ 和 $△ODB$ 中，$\because ∠ACO=∠ODB,∠CAO=∠DOB$，$OA=BO$,$\therefore △ACO≌△ODB$(AAS). $\therefore AC=OD,CO=DB$.设点 B 的坐标为 $(n,m)$. $\therefore AC=OD=n,CO=DB=m$. $\therefore$ 点 A 的坐标为 $(-m,n)$. $\because$ 点 A 在反比例函数 $y=-\dfrac{2}{x}$ 的图象上，$\therefore n=-\dfrac{2}{-m}$,即 $mn=2$. $\therefore$ 易知点 B 所在反比例函数图象对应的函数表达式为 $y=\dfrac{2}{x}$.
解析
【分析】
我们要推导点B所在反比例函数的解析式，核心是求出该反比例函数的比例系数k，也就是点B横、纵坐标的乘积。解题思路如下：
1. 遇到线段绕原点旋转90°的问题，优先考虑向x轴作垂线构造直角三角形，利用旋转性质推导全等关系；
2. 过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，可得到两个直角三角形，通过同角的余角相等证明两组角对应相等，结合旋转得到的OA=OB，即可证明两个直角三角形全等；
3. 设点B的坐标为(n,m)，根据全等三角形对应边相等，反向推导出点A的坐标；
4. 将点A的坐标代入已知的反比例函数解析式，计算得到m·n的值，即为所求反比例函数的k值，最终写出解析式。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠ODB=90°，在△ACO中，∠CAO+∠AOC=90°。
由旋转的性质可得：OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠DOB=180°-∠AOB=90°，
结合∠CAO+∠AOC=90°，可得∠CAO=∠DOB。
在△ACO和△ODB中：
$\begin{cases}∠ACO=∠ODB \\∠CAO=∠DOB \\OA=BO\end{cases}$
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，CO=DB。
设点B的坐标为$(n,m)$，则OD=n，DB=m，
由全等的边对应相等可得：AC=OD=n，CO=DB=m，
因为点A在第二象限，所以点A的横坐标为$-m$，纵坐标为$n$，即A(-m,n)。
已知点A在反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$的图象上，将A(-m,n)代入解析式：
$n=-\dfrac{2}{-m}$，整理得$mn=2$。
设点B所在反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$，将B(n,m)代入得$k=mn=2$，
因此点B对应的反比例函数表达式为$y=\dfrac{2}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{2}{x}$
【知识点】
反比例函数解析式，旋转的性质，全等三角形判定
【点评】
本题是反比例函数与旋转变换结合的经典基础题型，不需要死记坐标旋转公式，通过构造坐标轴的垂线将旋转的角度关系转化为全等三角形的边相等关系，即可轻松推导得到新反比例函数的k值，该方法是解决反比例函数中点旋转类问题的通用思路，需要重点掌握。
【难度系数】
0.6
我们要推导点B所在反比例函数的解析式，核心是求出该反比例函数的比例系数k，也就是点B横、纵坐标的乘积。解题思路如下：
1. 遇到线段绕原点旋转90°的问题，优先考虑向x轴作垂线构造直角三角形，利用旋转性质推导全等关系；
2. 过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，可得到两个直角三角形，通过同角的余角相等证明两组角对应相等，结合旋转得到的OA=OB，即可证明两个直角三角形全等；
3. 设点B的坐标为(n,m)，根据全等三角形对应边相等，反向推导出点A的坐标；
4. 将点A的坐标代入已知的反比例函数解析式，计算得到m·n的值，即为所求反比例函数的k值，最终写出解析式。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠ODB=90°，在△ACO中，∠CAO+∠AOC=90°。
由旋转的性质可得：OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠DOB=180°-∠AOB=90°，
结合∠CAO+∠AOC=90°，可得∠CAO=∠DOB。
在△ACO和△ODB中：
$\begin{cases}∠ACO=∠ODB \\∠CAO=∠DOB \\OA=BO\end{cases}$
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，CO=DB。
设点B的坐标为$(n,m)$，则OD=n，DB=m，
由全等的边对应相等可得：AC=OD=n，CO=DB=m，
因为点A在第二象限，所以点A的横坐标为$-m$，纵坐标为$n$，即A(-m,n)。
已知点A在反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$的图象上，将A(-m,n)代入解析式：
$n=-\dfrac{2}{-m}$，整理得$mn=2$。
设点B所在反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$，将B(n,m)代入得$k=mn=2$，
因此点B对应的反比例函数表达式为$y=\dfrac{2}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{2}{x}$
【知识点】
反比例函数解析式，旋转的性质，全等三角形判定
【点评】
本题是反比例函数与旋转变换结合的经典基础题型，不需要死记坐标旋转公式，通过构造坐标轴的垂线将旋转的角度关系转化为全等三角形的边相等关系，即可轻松推导得到新反比例函数的k值，该方法是解决反比例函数中点旋转类问题的通用思路，需要重点掌握。
【难度系数】
0.6
11. [2025 内江中考]如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 $y=\dfrac{k_1}{x}$ 在第二象限内的图象与一次函数 $y=k_2x+b$ 的图象交于 $A(a,6),B(-6,1)$ 两点.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式.
(2) 当 $x＜0$ 时,请根据函数图象,直接写出关于 $x$ 的不等式 $k_2x+b-\dfrac{k_1}{x}≥0$ 的解集.
(3) 过直线 $AB$ 上的点 $C$ 作 $CD// x$ 轴,交反比例函数的图象于点 $D$. 若点 $C$ 的横坐标为 $-4$,求 $△ BOD$ 的面积.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式.
(2) 当 $x＜0$ 时,请根据函数图象,直接写出关于 $x$ 的不等式 $k_2x+b-\dfrac{k_1}{x}≥0$ 的解集.
(3) 过直线 $AB$ 上的点 $C$ 作 $CD// x$ 轴,交反比例函数的图象于点 $D$. 若点 $C$ 的横坐标为 $-4$,求 $△ BOD$ 的面积.
答案
11. (1) $\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k_1}{x}$ 在第二象限内的图象过点 $B(-6,1)$,$\therefore k_1=-6×1=-6$. $\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\dfrac{6}{x}$. $\because$ 点 $A(a,6)$ 在反比例函数 $y=-\dfrac{6}{x}$ 的图象上，$\therefore 6a=-6$,解得 $a=-1$. $\therefore$ 点 A 的坐标为 $(-1,6)$. $\because$ 一次函数 $y=k_2x+b$ 的图象经过 $A(-1,6)$,$B(-6,1)$ 两点，$\therefore \begin{cases}-k_2+b=6,\\-6k_2+b=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=1,\\b=7.\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=x+7$. (2) $-6≤x≤-1$. $\because k_2x+b-\dfrac{k_1}{x}≥0$,$\therefore k_2x+b≥\dfrac{k_1}{x}$,即一次函数图象在反比例函数图象的上方. $\therefore -6≤x≤-1$. (3) 将 $x=-4$ 代入 $y=x+7$,解得 $y=-4+7=3$,$\therefore C(-4,3)$.将 $y=3$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$,得 $3=-\dfrac{6}{x}$,解得 $x=-2$,$\therefore D(-2,3)$.如图，过点 B,D 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 F,E,$\because B(-6,1)$,$D(-2,3)$,$\therefore DE=3$,$BF=1$,$EF=-2-(-6)=4$.
$\because S_{△BOD}+S_{△BFO}=S_{梯形BFED}+S_{△DEO}$，$S_{△BFO}=S_{△DEO}=\dfrac{1}{2}|k_1|=3$,$\therefore S_{△BOD}=S_{梯形BFED}=\dfrac{1}{2}(DE+BF)·EF=\dfrac{1}{2}×(3+1)×4=8$.
$\because S_{△BOD}+S_{△BFO}=S_{梯形BFED}+S_{△DEO}$，$S_{△BFO}=S_{△DEO}=\dfrac{1}{2}|k_1|=3$,$\therefore S_{△BOD}=S_{梯形BFED}=\dfrac{1}{2}(DE+BF)·EF=\dfrac{1}{2}×(3+1)×4=8$.
解析
【分析】
这道题是反比例函数与一次函数的综合题，我们可以分三小问逐步思考：
1. 第一问求两个函数表达式：首先已知点B在反比例函数上，直接代入就能算出$k_1$，得到反比例函数解析式；再把点A代入反比例函数，就能求出$a$的值，得到点A的完整坐标；最后把A、B两个点的坐标代入一次函数的解析式，列二元一次方程组就能解出$k_2$和$b$，得到一次函数表达式。
2. 第二问解不等式：先把不等式变形为$k_2x+b \ge \frac{k_1}{x}$，也就是找$x＜0$时，一次函数图像在反比例函数图像上方对应的$x$的取值范围，结合两个交点的横坐标，直接就能读出解集。
3. 第三问求$△ BOD$的面积：先把C点的横坐标代入一次函数，算出C的纵坐标，因为$CD// x$轴，所以D点的纵坐标和C相同，代入反比例函数就能得到D点坐标；之后利用反比例函数$k$的几何意义，两个以原点为顶点、反比例图像上的点向坐标轴作垂线形成的三角形面积相等，把$△ BOD$的面积转化为梯形的面积，用梯形面积公式直接计算即可。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
已知反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}$过点$B(-6,1)$，将点代入得：
$k_1 = -6×1 = -6$，
因此反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$。
将点$A(a,6)$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得：
$6a = -6$，解得$a=-1$，即点A坐标为$(-1,6)$。
将$A(-1,6)$、$B(-6,1)$代入一次函数$y=k_2x+b$，得到方程组：
$\begin{cases}-k_2 + b = 6 \\ -6k_2 + b =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=1 \\ b=7 \end{cases}$，因此一次函数的表达式为$y=x+7$。
(2) 解不等式：
不等式$k_2x+b-\dfrac{k_1}{x}≥0$可变形为$k_2x+b ≥ \dfrac{k_1}{x}$，即$x＜0$时，一次函数图像位于反比例函数图像上方的部分对应的$x$取值范围，结合两个交点横坐标为-6和-1，可得解集为$-6≤x≤-1$。
(3) 求$△ BOD$的面积：
将点C的横坐标$x=-4$代入一次函数$y=x+7$，得$y=-4+7=3$，即$C(-4,3)$。
因为$CD// x$轴，所以D点纵坐标为3，将$y=3$代入反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$，得$3=-\dfrac{6}{x}$，解得$x=-2$，即$D(-2,3)$。
过点B、D分别作x轴的垂线，垂足为F、E：
由$B(-6,1)$、$D(-2,3)$，得$DE=3$，$BF=1$，$EF=-2 - (-6)=4$。
根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}=\dfrac{1}{2}|k_1|=3$，
由面积关系$S_{△ BOD}+S_{△ BFO}=S_{梯形BFED}+S_{△ DEO}$，消去相等的两个三角形面积，得：
$S_{△ BOD}=S_{梯形BFED}=\dfrac{1}{2}(DE+BF)· EF=\dfrac{1}{2}×(3+1)×4=8$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=x+7}$；
(2) 不等式的解集为$\boldsymbol{-6≤x≤-1}$；
(3) $△ BOD$的面积为$\boldsymbol{8}$。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，函数与不等式，反比例函数k的几何意义
【点评】
本题属于中考常见的反比例与一次函数综合基础题型，整体难度适中，考察了待定系数法求两类函数解析式、数形结合利用函数图像解不等式、割补法计算坐标系内三角形面积的核心考点，利用反比例函数k的几何意义可以大幅简化面积计算过程，避免复杂的坐标运算，是这类题常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
这道题是反比例函数与一次函数的综合题，我们可以分三小问逐步思考：
1. 第一问求两个函数表达式：首先已知点B在反比例函数上，直接代入就能算出$k_1$，得到反比例函数解析式；再把点A代入反比例函数，就能求出$a$的值，得到点A的完整坐标；最后把A、B两个点的坐标代入一次函数的解析式，列二元一次方程组就能解出$k_2$和$b$，得到一次函数表达式。
2. 第二问解不等式：先把不等式变形为$k_2x+b \ge \frac{k_1}{x}$，也就是找$x＜0$时，一次函数图像在反比例函数图像上方对应的$x$的取值范围，结合两个交点的横坐标，直接就能读出解集。
3. 第三问求$△ BOD$的面积：先把C点的横坐标代入一次函数，算出C的纵坐标，因为$CD// x$轴，所以D点的纵坐标和C相同，代入反比例函数就能得到D点坐标；之后利用反比例函数$k$的几何意义，两个以原点为顶点、反比例图像上的点向坐标轴作垂线形成的三角形面积相等，把$△ BOD$的面积转化为梯形的面积，用梯形面积公式直接计算即可。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
已知反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}$过点$B(-6,1)$，将点代入得：
$k_1 = -6×1 = -6$，
因此反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$。
将点$A(a,6)$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得：
$6a = -6$，解得$a=-1$，即点A坐标为$(-1,6)$。
将$A(-1,6)$、$B(-6,1)$代入一次函数$y=k_2x+b$，得到方程组：
$\begin{cases}-k_2 + b = 6 \\ -6k_2 + b =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=1 \\ b=7 \end{cases}$，因此一次函数的表达式为$y=x+7$。
(2) 解不等式：
不等式$k_2x+b-\dfrac{k_1}{x}≥0$可变形为$k_2x+b ≥ \dfrac{k_1}{x}$，即$x＜0$时，一次函数图像位于反比例函数图像上方的部分对应的$x$取值范围，结合两个交点横坐标为-6和-1，可得解集为$-6≤x≤-1$。
(3) 求$△ BOD$的面积：
将点C的横坐标$x=-4$代入一次函数$y=x+7$，得$y=-4+7=3$，即$C(-4,3)$。
因为$CD// x$轴，所以D点纵坐标为3，将$y=3$代入反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$，得$3=-\dfrac{6}{x}$，解得$x=-2$，即$D(-2,3)$。
过点B、D分别作x轴的垂线，垂足为F、E：
由$B(-6,1)$、$D(-2,3)$，得$DE=3$，$BF=1$，$EF=-2 - (-6)=4$。
根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}=\dfrac{1}{2}|k_1|=3$，
由面积关系$S_{△ BOD}+S_{△ BFO}=S_{梯形BFED}+S_{△ DEO}$，消去相等的两个三角形面积，得：
$S_{△ BOD}=S_{梯形BFED}=\dfrac{1}{2}(DE+BF)· EF=\dfrac{1}{2}×(3+1)×4=8$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=x+7}$；
(2) 不等式的解集为$\boldsymbol{-6≤x≤-1}$；
(3) $△ BOD$的面积为$\boldsymbol{8}$。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，函数与不等式，反比例函数k的几何意义
【点评】
本题属于中考常见的反比例与一次函数综合基础题型，整体难度适中，考察了待定系数法求两类函数解析式、数形结合利用函数图像解不等式、割补法计算坐标系内三角形面积的核心考点，利用反比例函数k的几何意义可以大幅简化面积计算过程，避免复杂的坐标运算，是这类题常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在平面直角坐标系中,$\mathrm{Rt}△ ABC$ 的直角边 $AC$ 在 $x$ 轴上,$∠ ACB=90°,AC=1$. 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 在第一象限内的图象经过边 $BC$ 的中点 $D(3,1)$.
(1) 求这个反比例函数的表达式.
(2) 若$△ ABC$ 与$△ EFG$ 成中心对称,且$△ EFG$ 的边 $FG$ 在 $y$ 轴的正半轴上,点 $E$ 在这个反比例函数的图象上.
① 求 $OF$ 的长.
② 连接 $AF,BE$,求证:四边形 $ABEF$ 是正方形.
(1) 求这个反比例函数的表达式.
(2) 若$△ ABC$ 与$△ EFG$ 成中心对称,且$△ EFG$ 的边 $FG$ 在 $y$ 轴的正半轴上,点 $E$ 在这个反比例函数的图象上.
① 求 $OF$ 的长.
② 连接 $AF,BE$,求证:四边形 $ABEF$ 是正方形.
答案
12. (1) 将 $D(3,1)$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $1=\dfrac{k}{3}$,解得 $k=3$. $\therefore$ 这个反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{3}{x}$. (2) ①
$\because D(3,1)$ 是边 BC 的中点，$∠ACB=90°$,$\therefore$ 易得点 B 的坐标为 $(3,2)$. $\therefore BC=2,OC=3$. $\because △ABC$ 与 $△EFG$ 成中心对称，$\therefore △EFG≌△ABC$. $\therefore EG=AC=1$,$FG=BC=2$,$∠EGF=∠ACB=90°$. $\therefore$ 点 E 的横坐标为 1.在 $y=\dfrac{3}{x}$ 中，当 $x=1$ 时，$y=\dfrac{3}{1}=3$. $\therefore$ 点 E 的坐标为 $(1,3)$. $\therefore OG=3$. $\therefore OF=OG-FG=3-2=1$.
② $\because OC=3,AC=1$,$\therefore AO=OC-AC=3-1=2$. $\because FG=AO=2$,$∠EGF=∠FOA=90°$,$GE=OF=1$,
$\therefore △EFG≌△FAO$(SAS). $\therefore FE=AF$,$∠GEF=∠OFA$. $\because ∠EGF=90°$,$\therefore ∠GFE+∠GEF=90°$.
$\therefore ∠GFE+∠OFA=90°$. $\therefore ∠EFA=90°$. 同理，得 $∠FAB=90°$. $\therefore ∠FAB+∠EFA=180°$. $\therefore EF// AB$.
$\because △EFG≌△ABC$,$\therefore EF=AB$. $\therefore$ 四边形 ABEF 是平行四边形. 又 $\because ∠EFA=90°$,$\therefore$ 四边形 ABEF 是矩形. 又 $\because FE=AF$,$\therefore$ 四边形 ABEF 是正方形.
$\because D(3,1)$ 是边 BC 的中点，$∠ACB=90°$,$\therefore$ 易得点 B 的坐标为 $(3,2)$. $\therefore BC=2,OC=3$. $\because △ABC$ 与 $△EFG$ 成中心对称，$\therefore △EFG≌△ABC$. $\therefore EG=AC=1$,$FG=BC=2$,$∠EGF=∠ACB=90°$. $\therefore$ 点 E 的横坐标为 1.在 $y=\dfrac{3}{x}$ 中，当 $x=1$ 时，$y=\dfrac{3}{1}=3$. $\therefore$ 点 E 的坐标为 $(1,3)$. $\therefore OG=3$. $\therefore OF=OG-FG=3-2=1$.
② $\because OC=3,AC=1$,$\therefore AO=OC-AC=3-1=2$. $\because FG=AO=2$,$∠EGF=∠FOA=90°$,$GE=OF=1$,
$\therefore △EFG≌△FAO$(SAS). $\therefore FE=AF$,$∠GEF=∠OFA$. $\because ∠EGF=90°$,$\therefore ∠GFE+∠GEF=90°$.
$\therefore ∠GFE+∠OFA=90°$. $\therefore ∠EFA=90°$. 同理，得 $∠FAB=90°$. $\therefore ∠FAB+∠EFA=180°$. $\therefore EF// AB$.
$\because △EFG≌△ABC$,$\therefore EF=AB$. $\therefore$ 四边形 ABEF 是平行四边形. 又 $\because ∠EFA=90°$,$\therefore$ 四边形 ABEF 是矩形. 又 $\because FE=AF$,$\therefore$ 四边形 ABEF 是正方形.
解析
【分析】
这道题是反比例函数与几何的综合题，解题思路可以分三步梳理：
1. 第一问求反比例函数表达式，已知点D在函数图象上，直接将点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值得到表达式，属于基础代入计算。
2. 第二问的①求OF的长：首先根据D是BC中点、∠ACB=90°的条件，先推出点B的坐标，得到BC、OC的长度；再利用中心对称的性质，得到△EFG和△ABC全等，对应边相等，可知EG=AC=1，也就是点E的横坐标为1，代入反比例函数求出E的纵坐标，得到OG的长度，最后用OG减去FG的长度（FG=BC）就能算出OF的长。
3. 第二问的②证明四边形ABEF是正方形：先通过全等三角形得到边相等、角互余的关系，先推出一组对边平行且相等得到平行四边形，再证明有一个内角为直角得到矩形，最后结合邻边相等的条件，即可证出该四边形是正方形。
【解析】
(1) 将点D(3,1)代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$1=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3$，因此反比例函数的表达式可求。
(2) ① 已知D(3,1)是BC的中点，且∠ACB=90°，可得点B坐标为(3,2)，因此$BC=2$，$OC=3$。
因为△ABC与△EFG成中心对称，所以$△ EFG ≌ △ ABC$，可得：
$EG=AC=1$，$FG=BC=2$，$∠ EGF=∠ ACB=90°$，因此点E的横坐标为1。
将$x=1$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$y=\dfrac{3}{1}=3$，即点E坐标为(1,3)，因此$OG=3$。
计算得$OF=OG-FG=3-2=1$。
② 由$OC=3$，$AC=1$，得$AO=OC-AC=2$。
已知$FG=AO=2$，$∠ EGF=∠ FOA=90°$，$GE=OF=1$，根据SAS可证$△ EFG ≌ △ FAO$，因此$FE=AF$，$∠ GEF=∠ OFA$。
由$∠ EGF=90°$，得$∠ GFE+∠ GEF=90°$，代入得$∠ GFE+∠ OFA=90°$，即$∠ EFA=90°$。
同理可证$∠ FAB=90°$，因此$∠ FAB+∠ EFA=180°$，可得$EF// AB$。
由$△ EFG ≌ △ ABC$得$EF=AB$，因此四边形ABEF是平行四边形。
结合$∠ EFA=90°$，可知平行四边形ABEF是矩形，又因为$FE=AF$，因此四边形ABEF是正方形。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x}}$；
(2) ① $OF$的长为$\boldsymbol{1}$；② 四边形ABEF是正方形得证。
【知识点】
反比例函数解析式求解，中心对称性质，正方形判定
【点评】
本题属于反比例函数与平面几何的综合基础题，难度梯度设置合理，从基础的代入求解析式，到利用中心对称性质推导坐标，最后完成特殊四边形的证明，层层递进，既考察了反比例函数的基本性质，也综合了全等三角形、特殊平行四边形判定的核心知识点，能有效检验学生对坐标与线段长度对应关系的理解能力。
【难度系数】
0.6
这道题是反比例函数与几何的综合题，解题思路可以分三步梳理：
1. 第一问求反比例函数表达式，已知点D在函数图象上，直接将点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值得到表达式，属于基础代入计算。
2. 第二问的①求OF的长：首先根据D是BC中点、∠ACB=90°的条件，先推出点B的坐标，得到BC、OC的长度；再利用中心对称的性质，得到△EFG和△ABC全等，对应边相等，可知EG=AC=1，也就是点E的横坐标为1，代入反比例函数求出E的纵坐标，得到OG的长度，最后用OG减去FG的长度（FG=BC）就能算出OF的长。
3. 第二问的②证明四边形ABEF是正方形：先通过全等三角形得到边相等、角互余的关系，先推出一组对边平行且相等得到平行四边形，再证明有一个内角为直角得到矩形，最后结合邻边相等的条件，即可证出该四边形是正方形。
【解析】
(1) 将点D(3,1)代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$1=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3$，因此反比例函数的表达式可求。
(2) ① 已知D(3,1)是BC的中点，且∠ACB=90°，可得点B坐标为(3,2)，因此$BC=2$，$OC=3$。
因为△ABC与△EFG成中心对称，所以$△ EFG ≌ △ ABC$，可得：
$EG=AC=1$，$FG=BC=2$，$∠ EGF=∠ ACB=90°$，因此点E的横坐标为1。
将$x=1$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$y=\dfrac{3}{1}=3$，即点E坐标为(1,3)，因此$OG=3$。
计算得$OF=OG-FG=3-2=1$。
② 由$OC=3$，$AC=1$，得$AO=OC-AC=2$。
已知$FG=AO=2$，$∠ EGF=∠ FOA=90°$，$GE=OF=1$，根据SAS可证$△ EFG ≌ △ FAO$，因此$FE=AF$，$∠ GEF=∠ OFA$。
由$∠ EGF=90°$，得$∠ GFE+∠ GEF=90°$，代入得$∠ GFE+∠ OFA=90°$，即$∠ EFA=90°$。
同理可证$∠ FAB=90°$，因此$∠ FAB+∠ EFA=180°$，可得$EF// AB$。
由$△ EFG ≌ △ ABC$得$EF=AB$，因此四边形ABEF是平行四边形。
结合$∠ EFA=90°$，可知平行四边形ABEF是矩形，又因为$FE=AF$，因此四边形ABEF是正方形。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x}}$；
(2) ① $OF$的长为$\boldsymbol{1}$；② 四边形ABEF是正方形得证。
【知识点】
反比例函数解析式求解，中心对称性质，正方形判定
【点评】
本题属于反比例函数与平面几何的综合基础题，难度梯度设置合理，从基础的代入求解析式，到利用中心对称性质推导坐标，最后完成特殊四边形的证明，层层递进，既考察了反比例函数的基本性质，也综合了全等三角形、特殊平行四边形判定的核心知识点，能有效检验学生对坐标与线段长度对应关系的理解能力。
【难度系数】
0.6
