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10. 如图,一次函数 $y=kx+2(k ≠ 0)$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}(m ≠ 0,x＞0)$ 的图象交于点$A(2,n)$,与 $y$ 轴交于点 $B$,与 $x$ 轴交于点 $C(-4,0)$.
(1)求 $k$ 与 $m$ 的值.
(2) $P(a,0)$ 为 $x$ 轴上的一动点, 当 $△ APB$ 的面积为 $\dfrac{7}{2}$ 时, 求 $a$ 的值.
(1)求 $k$ 与 $m$ 的值.
(2) $P(a,0)$ 为 $x$ 轴上的一动点, 当 $△ APB$ 的面积为 $\dfrac{7}{2}$ 时, 求 $a$ 的值.
答案
10. (1)把$C(-4,0)$代入$y=kx+2$,得$k=\dfrac{1}{2}$,$\therefore$一次函数的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+2$.把$A(2,n)$代入$y=\dfrac{1}{2}x+2$,得$n=3$,$\therefore A(2,3)$.把$A(2,3)$代入$y=\dfrac{m}{x}$,得$m=6$.
(2)对于$y=\dfrac{1}{2}x+2$,令$x=0$,得$y=2$,$\therefore B(0,2)$.$\because P(a,0)$为$x$轴上的动点,$\therefore PC=|a+4|$,$\therefore S_{△ CBP}=\dfrac{1}{2}· PC· OB=\dfrac{1}{2}×|a+4|×2=|a+4|$,$S_{△ CAP}=\dfrac{1}{2}PC· y_A=\dfrac{1}{2}×|a+4|×3=\dfrac{3}{2}|a+4|$.$\because S_{△ CAP}=S_{△ APB}+S_{△ CBP}$,$\therefore\dfrac{3}{2}|a+4|=\dfrac{7}{2}+|a+4|$,$\therefore a=3$或$a=-11$.
(2)对于$y=\dfrac{1}{2}x+2$,令$x=0$,得$y=2$,$\therefore B(0,2)$.$\because P(a,0)$为$x$轴上的动点,$\therefore PC=|a+4|$,$\therefore S_{△ CBP}=\dfrac{1}{2}· PC· OB=\dfrac{1}{2}×|a+4|×2=|a+4|$,$S_{△ CAP}=\dfrac{1}{2}PC· y_A=\dfrac{1}{2}×|a+4|×3=\dfrac{3}{2}|a+4|$.$\because S_{△ CAP}=S_{△ APB}+S_{△ CBP}$,$\therefore\dfrac{3}{2}|a+4|=\dfrac{7}{2}+|a+4|$,$\therefore a=3$或$a=-11$.
解析
【分析】
第(1)问：已知一次函数过点C(-4,0)，将其代入一次函数解析式可求出k，进而得到一次函数表达式；再把点A(2,n)代入一次函数求出n，得到A点坐标，最后将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出m。第(2)问：先求一次函数与y轴交点B的坐标，再结合P(a,0)在x轴上，利用同底的两个三角形面积差等于△APB的面积，列出含绝对值的方程，求解得到a的值。
【解析】
(1) 将点$C(-4,0)$代入一次函数$y=kx+2$，得：
$0 = -4k + 2$，解得$k = \frac{1}{2}$，
因此一次函数表达式为$y = \frac{1}{2}x + 2$。
把点$A(2,n)$代入$y = \frac{1}{2}x + 2$，得：
$n = \frac{1}{2}×2 + 2 = 3$，即$A(2,3)$。
将$A(2,3)$代入反比例函数$y = \frac{m}{x}$，得：
$3 = \frac{m}{2}$，解得$m = 6$。
(2) 在一次函数$y = \frac{1}{2}x + 2$中，令$x=0$，得$y=2$，故$B(0,2)$。
因为$P(a,0)$在x轴上，$C(-4,0)$也在x轴上，所以$PC = |a - (-4)| = |a + 4|$。
△CBP的面积：以PC为底，OB（点B到x轴的距离，即2）为高，
$S_{△CBP} = \frac{1}{2}×PC×OB = \frac{1}{2}×|a + 4|×2 = |a + 4|$。
△CAP的面积：以PC为底，点A到x轴的距离（即A的纵坐标3）为高，
$S_{△CAP} = \frac{1}{2}×PC×y_A = \frac{1}{2}×|a + 4|×3 = \frac{3}{2}|a + 4|$。
由图形可知$S_{△CAP} = S_{△APB} + S_{△CBP}$，已知$S_{△APB} = \frac{7}{2}$，代入得：
$\frac{3}{2}|a + 4| = \frac{7}{2} + |a + 4|$，
移项化简得$\frac{1}{2}|a + 4| = \frac{7}{2}$，即$|a + 4| = 7$，
解得$a = 3$或$a = -11$。
【答案】
(1) $k = \frac{1}{2}$，$m = 6$；(2) $a = 3$或$a = -11$
【知识点】
一次函数解析式，反比例函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查函数解析式的求解、点坐标的确定以及三角形面积的应用，解题关键是利用函数与坐标的对应关系，结合面积差建立方程，属于中等难度的题目。
【难度系数】
0.5
第(1)问：已知一次函数过点C(-4,0)，将其代入一次函数解析式可求出k，进而得到一次函数表达式；再把点A(2,n)代入一次函数求出n，得到A点坐标，最后将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出m。第(2)问：先求一次函数与y轴交点B的坐标，再结合P(a,0)在x轴上，利用同底的两个三角形面积差等于△APB的面积，列出含绝对值的方程，求解得到a的值。
【解析】
(1) 将点$C(-4,0)$代入一次函数$y=kx+2$，得：
$0 = -4k + 2$，解得$k = \frac{1}{2}$，
因此一次函数表达式为$y = \frac{1}{2}x + 2$。
把点$A(2,n)$代入$y = \frac{1}{2}x + 2$，得：
$n = \frac{1}{2}×2 + 2 = 3$，即$A(2,3)$。
将$A(2,3)$代入反比例函数$y = \frac{m}{x}$，得：
$3 = \frac{m}{2}$，解得$m = 6$。
(2) 在一次函数$y = \frac{1}{2}x + 2$中，令$x=0$，得$y=2$，故$B(0,2)$。
因为$P(a,0)$在x轴上，$C(-4,0)$也在x轴上，所以$PC = |a - (-4)| = |a + 4|$。
△CBP的面积：以PC为底，OB（点B到x轴的距离，即2）为高，
$S_{△CBP} = \frac{1}{2}×PC×OB = \frac{1}{2}×|a + 4|×2 = |a + 4|$。
△CAP的面积：以PC为底，点A到x轴的距离（即A的纵坐标3）为高，
$S_{△CAP} = \frac{1}{2}×PC×y_A = \frac{1}{2}×|a + 4|×3 = \frac{3}{2}|a + 4|$。
由图形可知$S_{△CAP} = S_{△APB} + S_{△CBP}$，已知$S_{△APB} = \frac{7}{2}$，代入得：
$\frac{3}{2}|a + 4| = \frac{7}{2} + |a + 4|$，
移项化简得$\frac{1}{2}|a + 4| = \frac{7}{2}$，即$|a + 4| = 7$，
解得$a = 3$或$a = -11$。
【答案】
(1) $k = \frac{1}{2}$，$m = 6$；(2) $a = 3$或$a = -11$
【知识点】
一次函数解析式，反比例函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查函数解析式的求解、点坐标的确定以及三角形面积的应用，解题关键是利用函数与坐标的对应关系，结合面积差建立方程，属于中等难度的题目。
【难度系数】
0.5
11. 心理学家研究发现,一般情况下,在一节 40 min 的课中,学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化. 开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力指数 y 随时间 x(单位:min)的变化规律如图所示,其中 AB、BC 分别为线段,BC 平行于 x 轴,CD 为反比例函数图象的一部分. 上课开始时,注意力指数为 20,第 10 min 时,注意力指数为 40.
根据图象信息,解答下列问题:
(1)中间一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态持续的时间为
(2)若开始上课第 x min 学生的注意力指数和上课第 40 min 时的注意力指数相等,求 x 的值.
(3)老师讲解一道数学题需要 19 min. 为了讲解效果,要求学生的注意力指数至少为 36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力指数达到要求的状态下讲解完这道题?请说明理由.
根据图象信息,解答下列问题:
(1)中间一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态持续的时间为
$15$
min.(2)若开始上课第 x min 学生的注意力指数和上课第 40 min 时的注意力指数相等,求 x 的值.
(3)老师讲解一道数学题需要 19 min. 为了讲解效果,要求学生的注意力指数至少为 36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力指数达到要求的状态下讲解完这道题?请说明理由.
答案
11. (1)15 解析:根据图象可知,学生的注意力保持较为理想的稳定状态持续的时间为$25-10=15(\min)$.
(2)设一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0,0≤ x≤10)$,把$(0,20)$、$(10,40)$代入,得$\begin{cases}b=20,\\10k+b=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=20,\end{cases}$$\therefore$一次函数的表达式为$y=2x+20(0≤ x≤10)$.设反比例函数的表达式为$y=\dfrac{k'}{x}(k'≠0,25≤ x≤40)$,把$(25,40)$代入,得$40=\dfrac{k'}{25}$,解得$k'=1000$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{1000}{x}(25≤ x≤40)$.把$x=40$代入$y=\dfrac{1000}{x}$,得$y=\dfrac{1000}{40}=25$;把$y=25$代入$y=2x+20$,得$25=2x+20$,解得$x=2.5$,即开始上课第$2.5\min$学生的注意力指数和上课第$40\min$时的注意力指数相等.
(3)把$y=36$代入$y=2x+20$,得$36=2x+20$,解得$x=8$;把$y=36$代入$y=\dfrac{1000}{x}$,得$36=\dfrac{1000}{x}$,解得$x=\dfrac{250}{9}$.$\because\dfrac{250}{9}-8=\dfrac{178}{9}=19\dfrac{7}{9}＞19$,$\therefore$经过适当安排,老师能在学生注意力指数达到要求的状态下讲解完这道题.
(2)设一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0,0≤ x≤10)$,把$(0,20)$、$(10,40)$代入,得$\begin{cases}b=20,\\10k+b=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=20,\end{cases}$$\therefore$一次函数的表达式为$y=2x+20(0≤ x≤10)$.设反比例函数的表达式为$y=\dfrac{k'}{x}(k'≠0,25≤ x≤40)$,把$(25,40)$代入,得$40=\dfrac{k'}{25}$,解得$k'=1000$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{1000}{x}(25≤ x≤40)$.把$x=40$代入$y=\dfrac{1000}{x}$,得$y=\dfrac{1000}{40}=25$;把$y=25$代入$y=2x+20$,得$25=2x+20$,解得$x=2.5$,即开始上课第$2.5\min$学生的注意力指数和上课第$40\min$时的注意力指数相等.
(3)把$y=36$代入$y=2x+20$,得$36=2x+20$,解得$x=8$;把$y=36$代入$y=\dfrac{1000}{x}$,得$36=\dfrac{1000}{x}$,解得$x=\dfrac{250}{9}$.$\because\dfrac{250}{9}-8=\dfrac{178}{9}=19\dfrac{7}{9}＞19$,$\therefore$经过适当安排,老师能在学生注意力指数达到要求的状态下讲解完这道题.
解析
【分析】
本题是结合分段函数图像解决实际问题，需先确定各段函数的解析式：AB段为一次函数，BC段为水平线段（y=40），CD段为反比例函数。解题时，先根据已知点坐标求出各段函数表达式，再针对三个问题分别计算：第一问直接计算BC段的时间差；第二问先求第40分钟的注意力指数，再分别在AB段和CD段找到对应y值的x，取AB段的解；第三问求注意力指数为36时两段对应的x，计算时间差判断是否满足19分钟的讲解需求。
【解析】
(1) 由图像可知，学生注意力稳定的BC段对应x从10min到25min，因此持续时间为：$25 - 10 = 15(\mathrm{min})$。
(2) ① 求AB段（$0≤x≤10$）的一次函数表达式：设$y = kx + b$，将$(0,20)$、$(10,40)$代入得：
$\begin{cases} b = 20 \\ 10k + b = 40 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = 2 \\ b = 20 \end{cases}$，故AB段解析式为$y = 2x + 20$（$0≤x≤10$）。
② 求CD段（$25≤x≤40$）的反比例函数表达式：设$y = \frac{k'}{x}$，将$(25,40)$代入得：$40 = \frac{k'}{25}$，解得$k' = 1000$，故CD段解析式为$y = \frac{1000}{x}$（$25≤x≤40$）。
③ 计算第40min的注意力指数：将$x=40$代入CD段解析式，得$y = \frac{1000}{40} = 25$。
④ 求AB段中$y=25$时的$x$：将$y=25$代入AB段解析式，得$25 = 2x + 20$，解得$x = 2.5$。
(3) ① 求注意力指数$y=36$时，AB段对应的$x$：将$y=36$代入AB段解析式，得$36 = 2x + 20$，解得$x = 8$。
② 求注意力指数$y=36$时，CD段对应的$x$：将$y=36$代入CD段解析式，得$36 = \frac{1000}{x}$，解得$x = \frac{250}{9}$。
③ 计算两段的时间差：$\frac{250}{9} - 8 = \frac{178}{9} ≈ 19.78(\mathrm{min})$，因为$\frac{178}{9} ＞ 19$，所以老师能在学生注意力指数达到要求的状态下讲解完这道题。
【答案】
(1)15；(2)2.5；(3)能，理由见解析。
【知识点】
一次函数应用、反比例函数应用、分段函数
【点评】
本题以学生注意力随时间变化的图像为载体，考查分段函数的解析式求解及实际应用，需掌握待定系数法求函数表达式，结合函数性质解决问题，是函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题是结合分段函数图像解决实际问题，需先确定各段函数的解析式：AB段为一次函数，BC段为水平线段（y=40），CD段为反比例函数。解题时，先根据已知点坐标求出各段函数表达式，再针对三个问题分别计算：第一问直接计算BC段的时间差；第二问先求第40分钟的注意力指数，再分别在AB段和CD段找到对应y值的x，取AB段的解；第三问求注意力指数为36时两段对应的x，计算时间差判断是否满足19分钟的讲解需求。
【解析】
(1) 由图像可知，学生注意力稳定的BC段对应x从10min到25min，因此持续时间为：$25 - 10 = 15(\mathrm{min})$。
(2) ① 求AB段（$0≤x≤10$）的一次函数表达式：设$y = kx + b$，将$(0,20)$、$(10,40)$代入得：
$\begin{cases} b = 20 \\ 10k + b = 40 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = 2 \\ b = 20 \end{cases}$，故AB段解析式为$y = 2x + 20$（$0≤x≤10$）。
② 求CD段（$25≤x≤40$）的反比例函数表达式：设$y = \frac{k'}{x}$，将$(25,40)$代入得：$40 = \frac{k'}{25}$，解得$k' = 1000$，故CD段解析式为$y = \frac{1000}{x}$（$25≤x≤40$）。
③ 计算第40min的注意力指数：将$x=40$代入CD段解析式，得$y = \frac{1000}{40} = 25$。
④ 求AB段中$y=25$时的$x$：将$y=25$代入AB段解析式，得$25 = 2x + 20$，解得$x = 2.5$。
(3) ① 求注意力指数$y=36$时，AB段对应的$x$：将$y=36$代入AB段解析式，得$36 = 2x + 20$，解得$x = 8$。
② 求注意力指数$y=36$时，CD段对应的$x$：将$y=36$代入CD段解析式，得$36 = \frac{1000}{x}$，解得$x = \frac{250}{9}$。
③ 计算两段的时间差：$\frac{250}{9} - 8 = \frac{178}{9} ≈ 19.78(\mathrm{min})$，因为$\frac{178}{9} ＞ 19$，所以老师能在学生注意力指数达到要求的状态下讲解完这道题。
【答案】
(1)15；(2)2.5；(3)能，理由见解析。
【知识点】
一次函数应用、反比例函数应用、分段函数
【点评】
本题以学生注意力随时间变化的图像为载体，考查分段函数的解析式求解及实际应用，需掌握待定系数法求函数表达式，结合函数性质解决问题，是函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
