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7.【新情境】尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为$r$的$\odot O$六等分，依次得到$A、B、C、D、E、F$六个等分点；②分别以点$A$和点$D$为圆心、$AC$的长为半径画弧，$G$是两弧的一个交点；③连接$OG$。问：$OG$的长是多少？大臣给出的下列答案中，正确的是（
A.$\sqrt{3}r$
B.$(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2})r$
C.$(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})r$
D.$\sqrt{2}r$
D
）A.$\sqrt{3}r$
B.$(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2})r$
C.$(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})r$
D.$\sqrt{2}r$
答案
7. D 解析:$\because AD$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore∠ ACD=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中, $AD=2r$,$∠ DAC=30°$,$\therefore CD=r$,$\therefore AC=\sqrt{3}r$.
$\because DG = AG = AC$, $OD = OA$, $\therefore GO ⊥ AD$, $\therefore OG = \sqrt{AG^2-OA^2}=\sqrt{2}r$.
$\because DG = AG = AC$, $OD = OA$, $\therefore GO ⊥ AD$, $\therefore OG = \sqrt{AG^2-OA^2}=\sqrt{2}r$.
解析
【分析】
要计算OG的长度，需先求出AC的长度：⊙O六等分后，AD为直径，利用直径所对圆周角为直角得到Rt△ACD，结合六等分的角度关系求出AC；再根据作图条件AG=DG=AC，结合OA的长度，利用勾股定理在Rt△AGO中计算OG。
【解析】
1. 由⊙O六等分可知，AD是⊙O的直径，故AD=2r，根据“直径所对的圆周角为直角”，得∠ACD=90°。
2. 六等分后，弧CD对应的圆心角为60°，因此同弧所对的圆周角∠DAC=30°。在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，则CD=½AD=r，由勾股定理得：
AC=√(AD² - CD²)=√((2r)² - r²)=√3 r。
3. 由作图可知AG=DG=AC=√3 r，又OA=OD=r，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知GO垂直平分AD，即∠AOG=90°。
4. 在Rt△AGO中，AG=√3 r，OA=r，由勾股定理得：
OG=√(AG² - OA²)=√((√3 r)² - r²)=√(3r² - r²)=√2 r。
【答案】
D
【知识点】
圆的性质、勾股定理、尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的相关性质，解题关键是利用圆的六等分性质、直径所对圆周角为直角以及勾股定理求解，需要学生熟练掌握圆的基本性质和直角三角形的计算方法，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要计算OG的长度，需先求出AC的长度：⊙O六等分后，AD为直径，利用直径所对圆周角为直角得到Rt△ACD，结合六等分的角度关系求出AC；再根据作图条件AG=DG=AC，结合OA的长度，利用勾股定理在Rt△AGO中计算OG。
【解析】
1. 由⊙O六等分可知，AD是⊙O的直径，故AD=2r，根据“直径所对的圆周角为直角”，得∠ACD=90°。
2. 六等分后，弧CD对应的圆心角为60°，因此同弧所对的圆周角∠DAC=30°。在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，则CD=½AD=r，由勾股定理得：
AC=√(AD² - CD²)=√((2r)² - r²)=√3 r。
3. 由作图可知AG=DG=AC=√3 r，又OA=OD=r，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知GO垂直平分AD，即∠AOG=90°。
4. 在Rt△AGO中，AG=√3 r，OA=r，由勾股定理得：
OG=√(AG² - OA²)=√((√3 r)² - r²)=√(3r² - r²)=√2 r。
【答案】
D
【知识点】
圆的性质、勾股定理、尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的相关性质，解题关键是利用圆的六等分性质、直径所对圆周角为直角以及勾股定理求解，需要学生熟练掌握圆的基本性质和直角三角形的计算方法，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
8.【数学文化】刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积. 如图，若用圆的内接正十二边形的面积$S_{1}$来近似估计$\odot O$的面积$S$，设$\odot O$的半径为1，则$S-S_{1}$的值约为$(π\approx3.14)$（
A.0
B.0.14
C.0.5
D.1
B
）A.0
B.0.14
C.0.5
D.1
答案
8. B 解析:如图,过点 $A$ 作 $AC⊥ OB$ 于点 $C$. $\because\odot O$ 的半径为 1, $\therefore\odot O$ 的面积 $S=π$. $\because$ 圆的内接正十二边形的中心角为 $\frac{360°}{12}=30°$, $\therefore AC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}$, $\therefore$ 圆的内接正十二边形的面积 $S_1=12×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=3$, $\therefore S-S_1=π-3\approx0.14$.
解析
【分析】
要解决该问题，需先分别计算⊙O的面积和其内接正十二边形的面积，再求两者的差值。步骤如下：1. 根据圆的半径计算圆的面积；2. 求出正十二边形的中心角，将正十二边形分割为12个等腰三角形，利用直角三角形的性质求出单个三角形的高，进而计算单个三角形的面积，再得到正十二边形的面积；3. 代入π≈3.14计算两者的差，得出结果。
【解析】
已知⊙O的半径为1，因此⊙O的面积 $ S = π r^2 = π × 1^2 = π $。
圆的内接正十二边形的中心角为 $ \frac{360°}{12} = 30° $。过点A作 $ AC ⊥ OB $ 于点C，在 $ \mathrm{Rt}△ AOC $ 中，$ OA = 1 $，$ ∠ AOC = 30° $，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得 $ AC = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2} $。
每个等腰三角形（如△OAB）的面积为 $ \frac{1}{2} × OB × AC = \frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $，因此正十二边形的面积 $ S_1 = 12 × \frac{1}{4} = 3 $。
则 $ S - S_1 = π - 3 \approx 3.14 - 3 = 0.14 $。
【答案】
B
【知识点】
圆的面积，正多边形与圆，三角形面积计算
【点评】
本题结合刘徽的“割圆术”背景，考查圆与正多边形的面积计算，核心是利用正多边形的中心角分割为等腰三角形，通过直角三角形性质求高，进而计算面积，难度适中，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需先分别计算⊙O的面积和其内接正十二边形的面积，再求两者的差值。步骤如下：1. 根据圆的半径计算圆的面积；2. 求出正十二边形的中心角，将正十二边形分割为12个等腰三角形，利用直角三角形的性质求出单个三角形的高，进而计算单个三角形的面积，再得到正十二边形的面积；3. 代入π≈3.14计算两者的差，得出结果。
【解析】
已知⊙O的半径为1，因此⊙O的面积 $ S = π r^2 = π × 1^2 = π $。
圆的内接正十二边形的中心角为 $ \frac{360°}{12} = 30° $。过点A作 $ AC ⊥ OB $ 于点C，在 $ \mathrm{Rt}△ AOC $ 中，$ OA = 1 $，$ ∠ AOC = 30° $，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得 $ AC = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2} $。
每个等腰三角形（如△OAB）的面积为 $ \frac{1}{2} × OB × AC = \frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $，因此正十二边形的面积 $ S_1 = 12 × \frac{1}{4} = 3 $。
则 $ S - S_1 = π - 3 \approx 3.14 - 3 = 0.14 $。
【答案】
B
【知识点】
圆的面积，正多边形与圆，三角形面积计算
【点评】
本题结合刘徽的“割圆术”背景，考查圆与正多边形的面积计算，核心是利用正多边形的中心角分割为等腰三角形，通过直角三角形性质求高，进而计算面积，难度适中，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.6
9.【数学文化】如果一个矩形经过一个多边形的各顶点,那么我们把这个矩形叫作这个多边形的外接矩形. 如图,矩形 $ABCD$ 是正六边形 $EFGHPQ$ 的外接矩形,如果正六边形 $EFGH$-$PQ$ 的边长为 2,那么矩形 $ABCD$ 长边与短边的比是
$2:\sqrt{3}$
.答案
9. $2:\sqrt{3}$ 解析:$\because$ 多边形 $EFGHPQ$ 是正六边形, $\therefore∠ EFG=120°$,$\therefore∠ AFE=180°-120°=60°$. 在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 中, $∠ AFE=60°$,$\therefore∠ AEF=30°$. 又 $\because EF=2$,$\therefore AF=\frac{1}{2}EF=1$,$\therefore AE=\sqrt{3}$.
由对称性可知, $DE=AE=\sqrt{3}$,$BG=AF=1$,$\therefore AD=2\sqrt{3}$,$AB=AF+FG+BG=1+2+1=4$,$\therefore$ 矩形 $ABCD$ 长边与短边的比是 $4:2\sqrt{3}=2:\sqrt{3}$.
由对称性可知, $DE=AE=\sqrt{3}$,$BG=AF=1$,$\therefore AD=2\sqrt{3}$,$AB=AF+FG+BG=1+2+1=4$,$\therefore$ 矩形 $ABCD$ 长边与短边的比是 $4:2\sqrt{3}=2:\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合正六边形的内角性质、矩形的直角特征，通过直角三角形的边角关系计算边长，再利用对称性求出矩形的长和宽，最终得到比值。第一步，根据正六边形内角求出直角三角形的内角度数；第二步，利用直角三角形的性质计算直角边长度；第三步，结合对称性确定矩形的长和宽，进而求出比值。
【解析】
已知正六边形$EFGHPQ$的边长为$2$，根据正六边形的性质，其每个内角为$120°$，因此$∠ EFG = 120°$，则$∠ AFE = 180° - 120° = 60°$。
因为矩形$ABCD$的内角为直角，所以$△ AEF$是直角三角形，$∠ A = 90°$，故$∠ AEF = 30°$。在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$30°$角对的直角边$AF$是斜边$EF$的一半，已知$EF = 2$，则$AF = \frac{1}{2}EF = 1$，由勾股定理得$AE = \sqrt{EF^2 - AF^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。
由图形对称性可知，$DE = AE = \sqrt{3}$，$BG = AF = 1$，因此矩形的短边$AD = AE + DE = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，矩形的长边$AB = AF + FG + BG = 1 + 2 + 1 = 4$。
所以矩形$ABCD$长边与短边的比是$4:2\sqrt{3} = 2:\sqrt{3}$。
【答案】
$2:\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形的性质、直角三角形的性质、矩形的性质
【点评】
本题结合“外接矩形”的数学文化概念，考查正六边形与直角三角形的综合应用，需掌握正六边形内角特征和直角三角形边角关系，通过对称性简化计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需结合正六边形的内角性质、矩形的直角特征，通过直角三角形的边角关系计算边长，再利用对称性求出矩形的长和宽，最终得到比值。第一步，根据正六边形内角求出直角三角形的内角度数；第二步，利用直角三角形的性质计算直角边长度；第三步，结合对称性确定矩形的长和宽，进而求出比值。
【解析】
已知正六边形$EFGHPQ$的边长为$2$，根据正六边形的性质，其每个内角为$120°$，因此$∠ EFG = 120°$，则$∠ AFE = 180° - 120° = 60°$。
因为矩形$ABCD$的内角为直角，所以$△ AEF$是直角三角形，$∠ A = 90°$，故$∠ AEF = 30°$。在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$30°$角对的直角边$AF$是斜边$EF$的一半，已知$EF = 2$，则$AF = \frac{1}{2}EF = 1$，由勾股定理得$AE = \sqrt{EF^2 - AF^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。
由图形对称性可知，$DE = AE = \sqrt{3}$，$BG = AF = 1$，因此矩形的短边$AD = AE + DE = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，矩形的长边$AB = AF + FG + BG = 1 + 2 + 1 = 4$。
所以矩形$ABCD$长边与短边的比是$4:2\sqrt{3} = 2:\sqrt{3}$。
【答案】
$2:\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形的性质、直角三角形的性质、矩形的性质
【点评】
本题结合“外接矩形”的数学文化概念，考查正六边形与直角三角形的综合应用，需掌握正六边形内角特征和直角三角形边角关系，通过对称性简化计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
10. 已知 A、B 两点,求作:过 A、B 两点的$\odot O$及$\odot O$的内接正六边形 ABCDEF.(要求用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不必写作法及证明)
$\dot{A}\quad \dot{B}$
$\dot{A}\quad \dot{B}$
答案
10. 作线段 $AB$ 的垂直平分线,在线段 $AB$ 的垂直平分线上任意取一点 $O$,连接 $OA$,以点 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径作 $\odot O$,$\odot O$ 即为所求. 以 $AB$ 为半径在圆上截取相等的弧,然后顺次连接六个等分点即可得到正六边形 $ABCDEF$,如图所示.
解析
【分析】
要完成过A、B两点的圆及其内接正六边形的作图，需分两步思考：第一步，过两点的圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上，因此先作AB的垂直平分线确定圆心O，再以OA为半径作圆得到⊙O；第二步，正六边形的边长等于其外接圆半径，因此以AB长为半径在⊙O上截取六个等弧，顺次连接等分点即可得到内接正六边形。
【解析】
1. 用尺规作线段AB的垂直平分线，在该垂直平分线上任取一点O；
2. 以点O为圆心，OA长为半径作圆，得到过A、B两点的⊙O；
3. 以AB的长度为半径，在⊙O上依次截取相等的弧，得到六个等分点；
4. 顺次连接这六个等分点，得到⊙O的内接正六边形ABCDEF。
【答案】
作线段 $AB$ 的垂直平分线,在线段 $AB$ 的垂直平分线上任意取一点 $O$,连接 $OA$,以点 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径作 $\odot O$,$\odot O$ 即为所求. 以 $AB$ 为半径在圆上截取相等的弧,然后顺次连接六个等分点即可得到正六边形 $ABCDEF$,如图所示.
【知识点】
尺规作图、正多边形与圆
【点评】
本题考查尺规作图的基本操作，结合正六边形的性质（边长等于外接圆半径）完成作图，是初中几何的基础作图题，需掌握垂直平分线的作法及正多边形与外接圆的关系。
【难度系数】
0.5
要完成过A、B两点的圆及其内接正六边形的作图，需分两步思考：第一步，过两点的圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上，因此先作AB的垂直平分线确定圆心O，再以OA为半径作圆得到⊙O；第二步，正六边形的边长等于其外接圆半径，因此以AB长为半径在⊙O上截取六个等弧，顺次连接等分点即可得到内接正六边形。
【解析】
1. 用尺规作线段AB的垂直平分线，在该垂直平分线上任取一点O；
2. 以点O为圆心，OA长为半径作圆，得到过A、B两点的⊙O；
3. 以AB的长度为半径，在⊙O上依次截取相等的弧，得到六个等分点；
4. 顺次连接这六个等分点，得到⊙O的内接正六边形ABCDEF。
【答案】
作线段 $AB$ 的垂直平分线,在线段 $AB$ 的垂直平分线上任意取一点 $O$,连接 $OA$,以点 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径作 $\odot O$,$\odot O$ 即为所求. 以 $AB$ 为半径在圆上截取相等的弧,然后顺次连接六个等分点即可得到正六边形 $ABCDEF$,如图所示.
【知识点】
尺规作图、正多边形与圆
【点评】
本题考查尺规作图的基本操作，结合正六边形的性质（边长等于外接圆半径）完成作图，是初中几何的基础作图题，需掌握垂直平分线的作法及正多边形与外接圆的关系。
【难度系数】
0.5
11. 图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形. 如图2，$AE$是$\odot O$的直径,用直尺和圆规作$\odot O$的内接正八边形$ABCDEFGH$.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
11. 如图,正八边形 $ABCDEFGH$ 即为所求.
解析
【分析】要作⊙O的内接正八边形，需将圆八等分。首先作圆的两条互相垂直的直径，再分别平分这两条直径所对的弧，得到8个等分点，依次连接各等分点即可得到正八边形。
【解析】1. 作⊙O的直径AE的垂直平分线，交⊙O于点C、G，得到互相垂直的两条直径AE与CG；2. 分别平分弧AG、弧GE、弧EC、弧CA，得到分点B、F、D、H；3. 依次连接A、B、C、D、E、F、G、H，得到⊙O的内接正八边形ABCDEFGH，保留作图痕迹。
【答案】
【知识点】正多边形与圆、尺规作图
【点评】本题考查利用尺规作圆的内接正八边形，核心是利用圆的等分原理，通过作互相垂直的直径并平分弧实现圆的八等分，属于基础作图题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】1. 作⊙O的直径AE的垂直平分线，交⊙O于点C、G，得到互相垂直的两条直径AE与CG；2. 分别平分弧AG、弧GE、弧EC、弧CA，得到分点B、F、D、H；3. 依次连接A、B、C、D、E、F、G、H，得到⊙O的内接正八边形ABCDEFGH，保留作图痕迹。
【答案】
【知识点】正多边形与圆、尺规作图
【点评】本题考查利用尺规作圆的内接正八边形，核心是利用圆的等分原理，通过作互相垂直的直径并平分弧实现圆的八等分，属于基础作图题，难度适中。
【难度系数】0.6
