1.（教材习题变式）画五角星，通常把圆五等分，然后连接五个等分点（如图），则五角星的每一个内角的度数为（）

A.$30^{\circ }$
B.$35^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$37^{\circ }$

1. C 解析:
∵五角星的五个顶点为圆周的五等分点,
∴每段弧的度数为$\frac{360°}{5}=72°$,
∴每段弧所对的圆周角的度数,即为五角星的每一个内角的度数,为$72°÷2=36°$.

【分析】
要计算五角星的每一个内角，首先明确五角星的五个顶点是圆的五等分点，先求出圆被五等分后每段弧的度数，再利用圆周角定理（圆周角的度数等于它所对弧度数的一半），即可求出五角星的内角度数。
【解析】
∵五角星的五个顶点为圆周的五等分点，
∴每段弧的度数为$\frac{360°}{5}=72°$，
根据圆周角定理，五角星的每一个内角是该弧所对的圆周角，
∴每一个内角的度数为$72°÷2=36°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理、正多边形与圆
【点评】
本题结合圆的等分性质与圆周角定理解题，思路直接，属于基础几何应用题目，需掌握弧与圆周角的度数关系。
【难度系数】
0.6

2. 如图,向日葵图案是用等分圆周的方法画出来的,则$\odot O$与半圆$P$的半径之比为 （）

A.$5:3$
B.$4:1$
C.$3:1$
D.$2:1$

2. D 解析:如图,连接 $OA$、$OP$、$OB$. $\because$ 向日葵图案是用等分圆周的方法画出来的, $\therefore$ 此圆的内接正多边形是正六边形, $\therefore∠ AOB=60°$.
$\because OA=OB,AP=BP,\therefore OP⊥ AB,∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$,
$\therefore AP=\frac{1}{2}OA$,即$\odot O$与半圆$P$的半径的比为 $2:1$.

【分析】要解决本题，需先根据向日葵图案的等分圆周特点，判断出⊙O的内接正多边形为正六边形，进而得到圆心角的度数；再利用等腰三角形性质和直角三角形中30°角的性质，推导两个圆的半径关系，最终求出比值。
【解析】连接OA、OP、OB。因为向日葵图案是用等分圆周的方法画出来的，所以⊙O的内接正多边形是正六边形，因此圆心角∠AOB=60°。又OA=OB（均为⊙O的半径），AP=BP（均为半圆P的半径），根据等腰三角形三线合一，OP⊥AB，且∠AOP=½∠AOB=30°。在Rt△AOP中，∠AOP=30°，则30°角对的直角边AP=½OA，即⊙O的半径与半圆P的半径之比为OA:AP=2:1。
【答案】D
【知识点】正多边形与圆、直角三角形的性质
【点评】本题结合等分圆周的特征，利用正六边形的圆心角性质和直角三角形30°角的性质求解，核心是判断内接正多边形的类型，再推导半径关系，属于中等难度的几何计算问题。
【难度系数】0.5

3. 若干个全等的正五边形围绕$\odot O$紧密排列一周，如图所示的是其中3个正五边形的位置，正五边形与$\odot O$的交点分别记作$A_1$、$A_2$、$···$、$A_n$，顺次连接$A_1A_2$、$A_2A_3$、$···$、$A_1A_n$，所得图形是（）

A.正五边形
B.正八边形
C.正十边形
D.正十二边形

3. C 解析:$\because$ 正五边形的每一个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$,$\therefore∠ O=360°-108°×3=36°$,即正多边形$A_1A_2A_3··· A_{n-1}A_n$的中心角为$36°$,$\therefore$ 这个正多边形的边数为$360°÷36°=10$,即这个正多边形是正十边形.

【分析】
要判断顺次连接$A_1,A_2,\dots,A_n$所得图形的形状，需先计算正五边形的内角度数，再结合圆心处的角度关系求出所求多边形的中心角，最后根据中心角计算边数即可。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：根据正多边形内角和公式，正五边形的每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
2. 求所求多边形的中心角：观察图形，圆心$O$处，三个正五边形的内角各为$108°$，因此所求多边形的中心角$∠ O=360° - 108°×3=36°$。
3. 计算所求多边形的边数：正多边形的边数等于周角除以中心角，即边数为$\frac{360°}{36°}=10$，故所得图形是正十边形。
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算；正多边形中心角；正多边形边数计算
【点评】
本题结合正五边形性质与圆的周角，考查正多边形的相关计算，核心是利用角度关系确定中心角，进而判断图形形状，难度适中。
【难度系数】
0.5

4. 如图,用量角器和圆规等分圆周的方法,画$\odot O$的内接正十二边形.思考:画正十二边形需把圆等分为份,其中每一份的圆心角为(填度数).

4. 12 $30°$
解析:如图,任意作一条半径$OA$,先以点$O$为顶点、$OA$为一边作$∠ AOB=30°$,连接$AB$,再以点$B$为圆心、$AB$的长为半径画弧,交$\odot O$于点$C$,以点$C$为圆心、$AB$的长为半径画弧,交$\odot O$于点$D$,以此顺次画弧,得到与$\odot O$的交点$E、F、G、H、I、J、K、L$,最后顺次连接各点,则十二边形$ABCDEFGHIJKL$即为所求.画正十二边形需把圆等分为12份,其中每一份的圆心角为$30°$.

【分析】要解决这个问题，需明确正多边形与圆的关系：正n边形的顶点都在其外接圆上，将外接圆等分为n份时，依次连接各分点得到的多边形就是正n边形。对于正十二边形，需要把圆等分为12份；整个圆周对应的圆心角是360°，因此每一份的圆心角可通过总圆心角除以等分份数计算得出。
【解析】根据正多边形和圆的关系，画正十二边形需将$\odot O$等分为12份，这样才能保证各边、各角相等，构成正十二边形。整个圆周的圆心角为$360°$，所以每一份对应的圆心角为$\frac{360°}{12}=30°$。
【答案】12，$30°$
【知识点】正多边形与圆，圆心角
【点评】本题考查正多边形与圆的基础概念，属于基础题，掌握正n边形的等分规则和圆心角计算方法即可解答。
【难度系数】0.7

5. 在学习圆与正多边形时,有一位同学设计了一个画圆内接等边三角形的方法:①如图,作直径 A D; ②作半径 O D 的垂直平分线, 交$\odot O$于 B 、 C 两点; ③连接 A B 、 A C 、 B C, 那么$△ ABC$为所求的三角形. 请判断:该同学的方法是否正确? 如果正确,请你按照该同学设计的画法,画出$△ ABC$,然后给出$△ ABC$是等边三角形的证明过程; 如果不正确,请说明理由.

5. 正确,作法如图.证明如下:连接$OB$、$OC$,设$OD$与$BC$的交点为$E$. $\because BC$为$OD$的垂直平分线,
$\therefore OD⊥ BC$且$OE=\frac{1}{2}OD$. 又 $\because OB=OC,\therefore BE=CE$.
$\because AE⊥ BC,\therefore AB=AC$. 又 $\because OC=OD,\therefore OE=\frac{1}{2}OC$,
$\therefore∠ OCE=30°,\therefore∠ COD=60°,\therefore∠ BOC=120°,\therefore∠ BAC=60°,\therefore△ ABC$为等边三角形.

【分析】首先判断该同学的方法正确，证明思路为：连接OB、OC，利用BC是OD的垂直平分线，得到OD⊥BC且OE=1/2OD，结合圆的半径相等（OB=OC=OD），在直角三角形OCE中由OE=1/2OC推出∠OCE=30°，进而得到圆心角∠COE=60°，再由对称性得∠BOE=60°，从而算出∠BOC=120°；根据圆周角定理，同弧BC对应的圆周角∠BAC=60°，再结合垂直平分线性质得AB=AC，最终证明△ABC是等边三角形。
【解析】该同学的方法正确，证明如下：
连接OB、OC，设OD与BC的交点为E。
∵ BC是OD的垂直平分线，
∴ OD⊥BC，且OE = $\frac{1}{2}$OD。
又
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB = OC = OD，
∴ OE = $\frac{1}{2}$OC。
在Rt△OCE中，
∵ OE = $\frac{1}{2}$OC，
∴ ∠OCE = 30°，
∴ ∠COE = 60°。
由对称性可知，∠BOE = ∠COE = 60°，
∴ ∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°。
根据圆周角定理，同弧BC所对的圆周角∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = 60°。
又
∵ AE⊥BC，且E是BC中点（垂直平分线性质），
∴ AB = AC，
∴ △ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，故△ABC是等边三角形。
【答案】正确，作法如图。
【知识点】垂直平分线性质、圆的性质、等边三角形判定
【点评】本题结合圆的基本性质与垂直平分线的性质，通过严谨的几何推理证明三角形为等边三角形，考查学生的逻辑推理能力，是圆与正多边形结合的典型题型。
【难度系数】0.5

6. 如图,$△ ABC$是等边三角形,请用直尺(不带刻度)和圆规按下列要求作图:设$D$是边$AB$上一点,在图中作出一个正六边形$DEFGHI$,使点$F$、$H$分别在边$BC$和$AC$上.(不写作法,保留作图痕迹)

6. 如图,正六边形 $DEFGHI$ 即为所求.

【分析】要作出满足条件的正六边形，需利用正六边形的核心性质：各边相等、内角为120°，且正六边形的顶点共圆，相邻顶点与中心的夹角为60°。以点D为起点，通过尺规作辅助圆，在圆上按60°圆心角截取等长弦，即可得到正六边形的其他顶点，调整位置使F在BC、H在AC上，保留作图痕迹即可完成。
【解析】根据正六边形的性质，按以下步骤作图：1. 以点D为圆心，取适当长度为半径画辅助圆；2. 在圆上从D点开始，依次截取长度等于半径的弦，每段弦对应的圆心角为60°，依次得到点E、F、G、H、I；3. 调整截取的位置，使点F落在边BC上，点H落在边AC上，连接各点，保留作图痕迹，得到正六边形DEFGHI。
【答案】
【知识点】正六边形的性质、尺规作图
【点评】本题考查利用尺规作正六边形，需结合正六边形的对称性与圆的性质，考查学生的几何作图能力，难度适中。
【难度系数】0.5