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1. 如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,若EF=2,则菱形ABCD的周长为 (
A.14
B.16
C.15
D.17
B
)A.14
B.16
C.15
D.17
答案
1.B
解析
【分析】
要解决本题，首先观察E、F的位置，确定EF是三角形ABC的中位线，利用中位线定理求出菱形的边长，再结合菱形四条边相等的性质计算周长。具体步骤：1. 由E、F是AB、AC中点，得EF为△ABC的中位线；2. 根据中位线定理，中位线长度是第三边的一半，求出BC的长度；3. 利用菱形边长相等，计算周长。
【解析】
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴EF = ½BC。
已知EF=2，代入得：2 = ½BC，解得BC=4。
又
∵四边形ABCD是菱形，菱形的四条边长度相等，
∴AB=BC=CD=DA=4，
∴菱形ABCD的周长=4×4=16。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；菱形的性质
【点评】
本题是基础几何题，考查三角形中位线定理和菱形的基本性质，解题关键是利用中位线求出菱形边长，再计算周长，属于对基础知识的直接应用，难度较低。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先观察E、F的位置，确定EF是三角形ABC的中位线，利用中位线定理求出菱形的边长，再结合菱形四条边相等的性质计算周长。具体步骤：1. 由E、F是AB、AC中点，得EF为△ABC的中位线；2. 根据中位线定理，中位线长度是第三边的一半，求出BC的长度；3. 利用菱形边长相等，计算周长。
【解析】
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴EF = ½BC。
已知EF=2，代入得：2 = ½BC，解得BC=4。
又
∵四边形ABCD是菱形，菱形的四条边长度相等，
∴AB=BC=CD=DA=4，
∴菱形ABCD的周长=4×4=16。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；菱形的性质
【点评】
本题是基础几何题，考查三角形中位线定理和菱形的基本性质，解题关键是利用中位线求出菱形边长，再计算周长，属于对基础知识的直接应用，难度较低。
【难度系数】
0.6
2.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,G为AB上一点,联结DG,E,F分别是AD,AG的中点,联结EF,EF//CB,EF=2 cm,则CB的长等于
(
A.1.5 cm
B.4 cm
C.2.5 cm
D.3 cm
(
B
)A.1.5 cm
B.4 cm
C.2.5 cm
D.3 cm
答案
2.B
解析
【分析】首先，根据三角形中位线定理，E、F分别是AD、AG的中点，可推出EF是△ADG的中位线，得到EF与DG的平行关系及数量关系；再结合已知EF//CB，推出DG//CB，结合AB//CD的条件，可判定四边形DCBG是平行四边形，进而得到CB与DG的等量关系，最终代入EF的长度计算出CB的长。
【解析】
1. 因为E、F分别是AD、AG的中点，所以EF是△ADG的中位线。根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得：$EF // DG$，且$EF = \frac{1}{2}DG$。
2. 已知$EF // CB$，结合$EF // DG$，可推出$DG // CB$。
3. 又因为$AB // CD$（即$DC // GB$），且$DG // CB$，所以四边形DCBG是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因此$CB = DG$。
4. 已知$EF = 2\ \mathrm{cm}$，由$EF = \frac{1}{2}DG$，得$DG = 2EF = 2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}$，所以$CB = DG = 4\ \mathrm{cm}$。
【答案】B
【知识点】三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质
【点评】本题综合考查三角形中位线定理和平行四边形的判定，解题关键是利用中位线定理建立EF与DG的关系，再结合平行条件推导平行四边形，进而求出CB的长度，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 因为E、F分别是AD、AG的中点，所以EF是△ADG的中位线。根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得：$EF // DG$，且$EF = \frac{1}{2}DG$。
2. 已知$EF // CB$，结合$EF // DG$，可推出$DG // CB$。
3. 又因为$AB // CD$（即$DC // GB$），且$DG // CB$，所以四边形DCBG是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因此$CB = DG$。
4. 已知$EF = 2\ \mathrm{cm}$，由$EF = \frac{1}{2}DG$，得$DG = 2EF = 2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}$，所以$CB = DG = 4\ \mathrm{cm}$。
【答案】B
【知识点】三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质
【点评】本题综合考查三角形中位线定理和平行四边形的判定，解题关键是利用中位线定理建立EF与DG的关系，再结合平行条件推导平行四边形，进而求出CB的长度，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】0.5
3. 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为OB上一点,联结CE,F为CE的中点,$∠EOF=90°$。若$OE=3,OF=2$,则BE的长为
2
。答案
3.2 【解析】如图,联结AE。因为四边形ABCD是矩形,所以OA=OB=OC。因为F为CE的中点,所以OF是△ACE的中位线,所以$OF=\frac{1}{2}AE, OF// AE$, 所以$∠AEO=∠EOF=90°,AE=2OF=4$。在Rt△AEO中,由勾股定理得 $OA=\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$, 所以 $OB=OA=5$, 所以 $BE=OB-OE=2$。
解析
【分析】
首先利用矩形对角线互相平分且相等的性质，得到OA=OB=OC；再结合F是CE中点、O是AC中点，推出OF是△ACE的中位线，进而得到AE的长度和AE与OF的平行关系；结合已知∠EOF=90°，推出∠AEO=90°，最后在直角三角形AEO中用勾股定理求出OA，进而算出BE的长度。
【解析】
联结AE。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OC=OB（矩形对角线互相平分且相等）。
∵ F为CE的中点，O为AC的中点，
∴ OF是△ACE的中位线，
∴ OF = $\frac{1}{2}$AE，且OF//AE，
∴ ∠AEO = ∠EOF = 90°（两直线平行，内错角相等），
∵ OF=2，
∴ AE=2OF=4。
在Rt△AEO中，OE=3，AE=4，
由勾股定理得：OA=$\sqrt{AE^2 + OE^2}$=$\sqrt{4^2 + 3^2}$=5，
∴ OB=OA=5，
∴ BE=OB - OE=5 - 3=2。
【答案】
2
【知识点】
矩形性质、三角形中位线、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形性质、三角形中位线定理与勾股定理的应用，核心是通过构造中位线得到直角三角形，进而求解线段长度，属于几何中等难度题。
【难度系数】
0.5
首先利用矩形对角线互相平分且相等的性质，得到OA=OB=OC；再结合F是CE中点、O是AC中点，推出OF是△ACE的中位线，进而得到AE的长度和AE与OF的平行关系；结合已知∠EOF=90°，推出∠AEO=90°，最后在直角三角形AEO中用勾股定理求出OA，进而算出BE的长度。
【解析】
联结AE。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OC=OB（矩形对角线互相平分且相等）。
∵ F为CE的中点，O为AC的中点，
∴ OF是△ACE的中位线，
∴ OF = $\frac{1}{2}$AE，且OF//AE，
∴ ∠AEO = ∠EOF = 90°（两直线平行，内错角相等），
∵ OF=2，
∴ AE=2OF=4。
在Rt△AEO中，OE=3，AE=4，
由勾股定理得：OA=$\sqrt{AE^2 + OE^2}$=$\sqrt{4^2 + 3^2}$=5，
∴ OB=OA=5，
∴ BE=OB - OE=5 - 3=2。
【答案】
2
【知识点】
矩形性质、三角形中位线、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形性质、三角形中位线定理与勾股定理的应用，核心是通过构造中位线得到直角三角形，进而求解线段长度，属于几何中等难度题。
【难度系数】
0.5
4. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,联结OE,若$∠ACB=40°$,则$∠1$的度数为 (
A.$50°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$20°$
B
)A.$50°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$20°$
答案
4.B
解析
【分析】
要解决这道题，需结合平行四边形的性质、三角形中位线定理和平行线的性质逐步推导：首先利用平行四边形对角线互相平分的特点，确定O是AC中点；再结合E是CD中点，得到OE是△ACD的中位线，进而推出OE与BC平行；最后根据平行线的内错角相等，求出∠1的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线AC与BD互相平分，即O为AC的中点（OA=OC）。
又
∵ E是边CD的中点，
∴ OE是△ACD的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，可得OE//AD。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC（平行四边形对边平行），
∴ OE//BC（平行于同一直线的两条直线平行）。
根据“两直线平行，内错角相等”，可知∠1 = ∠ACB = 40°。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质，三角形中位线定理，平行线性质
【点评】
本题是平行四边形与三角形中位线结合的基础题型，核心是利用平行四边形的中点性质确定中位线，再通过中位线的平行关系，结合平行线性质求角度，属于基础题，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合平行四边形的性质、三角形中位线定理和平行线的性质逐步推导：首先利用平行四边形对角线互相平分的特点，确定O是AC中点；再结合E是CD中点，得到OE是△ACD的中位线，进而推出OE与BC平行；最后根据平行线的内错角相等，求出∠1的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线AC与BD互相平分，即O为AC的中点（OA=OC）。
又
∵ E是边CD的中点，
∴ OE是△ACD的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，可得OE//AD。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC（平行四边形对边平行），
∴ OE//BC（平行于同一直线的两条直线平行）。
根据“两直线平行，内错角相等”，可知∠1 = ∠ACB = 40°。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质，三角形中位线定理，平行线性质
【点评】
本题是平行四边形与三角形中位线结合的基础题型，核心是利用平行四边形的中点性质确定中位线，再通过中位线的平行关系，结合平行线性质求角度，属于基础题，难度较低。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在四边形ABCD中,M是对角线BD的中点,E,F分别是边AB,CD的中点,$AD=BC,∠EMF=132°$,则$∠MFE$的度数为
(
A.$66°$
B.$48°$
C.$38°$
D.$24°$
(
D
)A.$66°$
B.$48°$
C.$38°$
D.$24°$
答案
5.D
解析
【分析】
要解决本题，需利用三角形中位线定理得到线段关系，结合等腰三角形性质求解角度。首先，根据中点条件，确定ME、MF分别为两个三角形的中位线，由AD=BC推出ME=MF，得到△EMF是等腰三角形，再利用三角形内角和计算底角∠MFE的度数。
【解析】
解：
∵ M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ ME是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理，得 $ME=\frac{1}{2}AD$。
又
∵ M是BD的中点，F是CD的中点，
∴ MF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理，得 $MF=\frac{1}{2}BC$。
已知 $AD=BC$，
∴ $ME=MF$，即△EMF为等腰三角形。
在△EMF中，∠EMF=132°，根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
∴ $∠ MFE=\frac{180°-∠ EMF}{2}=\frac{180°-132°}{2}=24°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题核心是利用中位线定理构造等腰三角形，结合等腰三角形性质和内角和定理求解，属于基础几何题，需熟练掌握中位线的性质应用。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需利用三角形中位线定理得到线段关系，结合等腰三角形性质求解角度。首先，根据中点条件，确定ME、MF分别为两个三角形的中位线，由AD=BC推出ME=MF，得到△EMF是等腰三角形，再利用三角形内角和计算底角∠MFE的度数。
【解析】
解：
∵ M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ ME是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理，得 $ME=\frac{1}{2}AD$。
又
∵ M是BD的中点，F是CD的中点，
∴ MF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理，得 $MF=\frac{1}{2}BC$。
已知 $AD=BC$，
∴ $ME=MF$，即△EMF为等腰三角形。
在△EMF中，∠EMF=132°，根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
∴ $∠ MFE=\frac{180°-∠ EMF}{2}=\frac{180°-132°}{2}=24°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题核心是利用中位线定理构造等腰三角形，结合等腰三角形性质和内角和定理求解，属于基础几何题，需熟练掌握中位线的性质应用。
【难度系数】
0.4
