10.（2025·江苏扬州）已知$m^{2025}+2025m=2025$，则一次函数$y=(1-m)x+m$的图象不经过（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

10. D 解析: 因为$m^{2025}+2025m=2025$，所以$m＞0$且$2025m＜2025$。所以$0＜m＜1$。所以$1-m＞0$。所以一次函数$y=(1-m)x+m$的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。

11. 新素养 推理能力 如图，直线$y=\frac{2}{3}x+4$与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在线段AB上，点D在y轴的负半轴上，C，D两点到x轴的距离均为2.若P为线段OA上一动点，且$PC+PD$的值最小，则此时点P的坐标为.

11. $(-\dfrac{3}{2},0)$ 解析: 由题意，得点C的坐标为$(-3,2)$，点D的坐标为$(0,-2)$。连接CD，则$PC+PD≥ CD$。所以当P,C,D三点共线时，$PC+PD$的值最小。设直线CD对应的函数表达式为$y=kx+b$。把$C(-3,2),D(0,-2)$分别代入，得$\begin{cases}-3k+b=2,\\b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{4}{3},\\b=-2.\end{cases}$ 所以直线CD对应的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x-2$。又P为线段OA上一动点，所以P为直线CD与x轴的交点。令$y=0$，得$-\dfrac{4}{3}x-2=0$，解得$x=-\dfrac{3}{2}$。则点P的坐标为$(-\dfrac{3}{2},0)$。

12. (2025·江苏淮安一模)若把一次函数$y=kx+b$的图象先绕着原点旋转$180°$，再向左平移2个单位长度后，恰好经过点$A(-4,0)$和点$B(0,2)$，则原一次函数的表达式是。

12. $y=\dfrac{1}{2}x-1$ 解析: 将点$A(-4,0)$和点$B(0,2)$分别向右平移2个单位长度，得点$A'(-2,0)$和点$B'(2,2)$。再将点$A'(-2,0)$和点$B'(2,2)$分别绕原点旋转$180°$，得点$A''(2,0)$和点$B''(-2,-2)$，则点$A''$和点$B''$都在原一次函数$y=kx+b$的图象上。所以$\begin{cases}2k+b=0,\\-2k+b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=-1.\end{cases}$ 则原一次函数的表达式是$y=\dfrac{1}{2}x-1$。

13. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y=-x+3$经过点$A(5,m)$,且与$y$轴交于点$B$,把点$A$先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到点$C$,过点$C$且与直线$y=2x$平行的直线交$y$轴于点$D$.
(1) 求直线$CD$对应的函数表达式;
(2) 若直线$AB$与$CD$相交于点$E$,将直线$CD$沿$EB$方向平移,平移到经过点$B$的位置停止,求直线$CD$在平移过程中与$x$轴交点的横坐标的取值范围.

13. (1) 由题意，把$(5,m)$代入$y=-x+3$中，得$m=-5+3=-2$，所以点A的坐标为$(5,-2)$。因为点A先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点C，所以点C的坐标为$(3,2)$。因为直线CD与直线$y=2x$平行，所以设直线CD对应的函数表达式为$y=2x+b$。又点C在直线CD上，所以把$C(3,2)$代入$y=2x+b$中，得$6+b=2$，解得$b=-4$。所以直线CD对应的函数表达式为$y=2x-4$。
(2) 对于$y=-x+3$，令$x=0$，得$y=3$，所以点B的坐标为$(0,3)$。由(1)，得直线CD对应的函数表达式为$y=2x-4$。令$y=0$，得$2x-4=0$，解得$x=2$。所以直线$y=2x-4$与x轴的交点坐标为$(2,0)$。设当直线CD平移到经过点B时的直线对应的函数表达式为$y=2x-4+n$，则$3=2×0-4+n$，解得$n=7$。所以平移结束时得到的直线对应的函数表达式为$y=2x+3$。令$y=0$，得$2x+3=0$，解得$x=-\dfrac{3}{2}$。所以直线$y=2x+3$与x轴的交点坐标为$(-\dfrac{3}{2},0)$。所以直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为$-\dfrac{3}{2}≤ x≤ 2$。

14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=2x-1$的图象分别交$x$轴、$y$轴于$A$，$B$两点，将直线$AB$绕点$B$按顺时针方向旋转$45°$，交$x$轴于点$C$，则直线$BC$对应的函数表达式是。

14. $y=\dfrac{1}{3}x-1$ 解析: 对于$y=2x-1$，令$x=0$，得$y=-1$；令$y=0$，得$2x-1=0$，解得$x=\dfrac{1}{2}$。所以$B(0,-1),A(\dfrac{1}{2},0)$。所以$OB=1,OA=\dfrac{1}{2}$。如图，过点A作$AD⊥ BA$，交BC于点D，过点D作$DE⊥ x$轴于点E，则$∠ AED=∠ BAD=90°$。由题意，得$∠ ABC=45°$。所以$∠ ADB=90°-∠ ABC=45°$，即$∠ ADB=∠ ABC$。所以$AB=DA$。又$∠ OAB+∠ DAE=180°-∠ BAD=90°$，$∠ DAE+∠ EDA=90°$，所以$∠ OAB=∠ EDA$。又$∠ BOA=∠ AED=90°$，所以$△ OAB≌△ EDA(\mathrm{AAS})$。所以$ED=OA=\dfrac{1}{2}$，$EA=OB=1$。所以$OE=OA+EA=\dfrac{3}{2}$。又点D在第四象限，所以$D(\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2})$。设直线BC对应的函数表达式是$y=kx+b$。把B，D两点的坐标分别代入$y=kx+b$中，得$\begin{cases}b=-1,\\\dfrac{3}{2}k+b=-\dfrac{1}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{3},\\b=-1.\end{cases}$ 所以直线BC对应的函数表达式是$y=\dfrac{1}{3}x-1$。

15. 新趋势 综合实践 如图,在平面直角坐标系中有A(0,1),M(3,2),N(4,4)三点.动点P从点A出发,沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动,且过点P的直线l:y=-x+b也随之移动.设点P移动的时间是t秒.
(1)当t=2时,AP=,此时点P的坐标是;
(2)当t=3时,求过点P的直线l:y=-x+b对应的函数表达式;
(3)当直线l:y=-x+b从经过点M到经过点N时,求点P向上移动的时间.

15. (1) 2 $(0,3)$
(2) 当$t=3$时，$AP=1×3=3$。又$A(0,1)$，所以$OA=1$。所以$OP=OA+AP=4$。所以$P(0,4)$。又点P在直线$l:y=-x+b$上，所以把$P(0,4)$代入$y=-x+b$中，得$b=4$。所以直线l对应的函数表达式是$y=-x+4$。
(3) 由(2)，得$OA=1$。当直线l经过点$M(3,2)$时，把$M(3,2)$代入$y=-x+b$中，得$2=-3+b$，解得$b=5$。所以直线l对应的函数表达式是$y=-x+5$。令$x=0$，得$y=5$。所以此时点P的坐标是$(0,5)$，即$OP=5$。所以$AP=OP-OA=4$。所以$t=\dfrac{4}{1}=4$；当直线l经过点$N(4,4)$时，把$N(4,4)$代入$y=-x+b$中，得$4=-4+b$，解得$b=8$。所以直线l对应的函数表达式是$y=-x+8$。令$x=0$，得$y=8$。所以此时点P的坐标是$(0,8)$，即$OP=8$。所以$AP=OP-OA=7$。所以$t=\dfrac{7}{1}=7$。又$7-4=3$(秒)，所以点P向上移动的时间为3秒。