1. 亮点原创·已知函数$y=(m-2)x^{|m|-1}+3$是一次函数，则下列四个选项中的点在此函数图象上的是（）

A.(1,2)
B.(-1,-1)
C.(1,0)
D.(1,-1)

1. D

2. 已知$y-2$与$3x-4$成正比例关系，且当$x=2$时，$y=3$。
（1）求$y$关于$x$的函数表达式；
（2）当$-2≤ x≤ 3$时，求$y$的取值范围。

2. (1) 由题意,设 y 关于 x 的函数表达式为 y-2=k(3x-4). 因为当 x=2 时,y=3,所以 3-2=k(3×2-4),解得 $k=\frac{1}{2}$. 所以 $y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$,即 y 关于 x 的函数表达式为 $y=\frac{3}{2}x$.
(2) 由(1),得 $y=\frac{3}{2}x$. 所以 $k=\frac{3}{2}＞0$,即 y 随 x 的增大而增大. 又 $-2≤x≤3$,所以 $-3≤y≤\frac{9}{2}$,即 y 的取值范围为 $-3≤y≤\frac{9}{2}$.

3. 已知$y=y_1+y_2$，其中$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x-2$成正比例，且当$x=-1$时，$y=2$；当$x=2$时，$y=5$，则$y$关于$x$的函数表达式为。

3. $y = x + 3$ 解析: 由题意, 设 $y_1 = k_1 x$, $y_2 = k_2(x-2)$. 因为 $y = y_1 + y_2$, 所以 $y = k_1 x + k_2(x-2)=(k_1+k_2)x-2k_2$. 又当 $x=-1$ 时,$y=2$;当 $x=2$ 时,$y=5$,所以 $\begin{cases} -(k_1+k_2)-2k_2=2,\\ 2(k_1+k_2)-2k_2=5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_1+k_2=1,\\ k_2=-\frac{3}{2}. \end{cases}$ 所以 $y=x+3$.

4. 如图，直线$y=\frac{1}{2}x+1$与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为$A'$，经过点$A'$和y轴上的点B(0,2)的直线的函数表达式为$y=kx+b$。
（1）求点$A'$的坐标；
（2）求直线$A'B$对应的函数表达式。

4. (1) 对于 $y=\frac{1}{2}x+1$,令 y=0,得 $\frac{1}{2}x+1=0$,解得 x=-2. 所以 A(-2,0). 因为点 A 关于 y 轴的对称点为 A',所以 A'(2,0).
(2) 由(1),得 A'(2,0). 因为 B(0,2),且 A',B 两点都在直线 y = kx + b 上, 所以 $\begin{cases} 2k+b=0,\\ b=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-1,\\ b=2. \end{cases}$ 所以直线 A'B 对应的函数表达式为 y = -x+2.

5. 将直线$y=2x-1$向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线对应的函数表达式为。

5. $y=2x+3$ 解析: 由题意,得平移后所得直线对应的函数表达式为 $y=2(x+1)-1+2=2x+3$.

6. 在平面直角坐标系中有$A(a,b)$和$B(1-\dfrac{1}{2}b,c)$两点，且$a,b,c$满足$\begin{cases}a+2b-c=2,\\a-b+c=2.\end{cases}$ 将线段$AB$进行平移得到线段$CD$，点$A$的对应点为点$C(m,3m-8)$，点$B$的对应点为点$D$，且点$D$的纵坐标为$3a+b$，且$a+3m=1$，求线段$CD$所在直线对应的函数表达式。

6. 因为 $\begin{cases} a+2b-c=2,\\ a-b+c=2, \end{cases}$ 所以 $\begin{cases} b=4-2a,\\ c=6-3a. \end{cases}$ 由平移的性质,得 3m-8-b=3a+b-c. 将 b=4-2a,c=6-3a 代入,得 3m-2a=10. 联立方程组,得 $\begin{cases} 3m-2a=10,\\ a+3m=1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=\frac{4}{3},\\ a=-3. \end{cases}$ 所以 b=4-2a=10,c=6-3a=15,即 $A(-3,10),C(\frac{4}{3},-4),B(-4,15)$. 所以线段 AB 先向右平移 $\frac{4}{3}-(-3)=\frac{13}{3}$(个)单位长度,再向下平移 10-(-4)=14(个)单位长度得到线段 CD. 所以 $D(-4+\frac{13}{3},15-14)$,即 $(\frac{1}{3},1)$. 设直线 CD 的函数表达式为 y=kx+t. 将 $C(\frac{4}{3},-4)$ 和 $D(\frac{1}{3},1)$ 分别代入,得 $\begin{cases} \frac{4}{3}k+t=-4,\\ \frac{1}{3}k+t=1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-5,\\ t=\frac{8}{3}. \end{cases}$ 所以线段 CD 所在直线对应的函数表达式为 $y=-5x+\frac{8}{3}$.

7. 已知一次函数$y=kx+b$，当$-3≤ x≤ 1$时，$-1≤ y≤ 7$，则$k$的值为（）

A.2
B.$-2$
C.2或5
D.2或$-2$

7. D 解析: 分类讨论如下:① 当 k＞0 时,y 随 x 的增大而增大. 又当 $-3≤x≤1$ 时,$-1≤y≤7$,所以当 x=-3 时,y=-1; 当 x=1 时,y=7. 所以 $\begin{cases} -3k+b=-1,\\ k+b=7, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=2,\\ b=5; \end{cases}$ ② 当 k＜0 时,y 随 x 的增大而减小. 又当 $-3≤x≤1$ 时,$-1≤y≤7$,所以当 x=-3 时,y=7; 当 x=1 时,y=-1. 所以 $\begin{cases} -3k+b=7,\\ k+b=-1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-2,\\ b=1. \end{cases}$ 综上,k 的值为 2 或-2.
易错警示
注意分类讨论,避免漏解.

8. (2026·江苏扬州期末)如图,在平面直角坐标系中有一点$A(-3,0)$,$B$为$y$轴正半轴上一点,将线段$AB$绕点$B$旋转$90°$至$BC$处,过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$.若四边形$ABCD$的面积为$36$,求直线$AC$对应的函数表达式.

8. 因为 A(-3,0),所以 AO=3. 分类讨论如下:① 如图①,当线段 AB 绕点 B 按逆时针方向旋转 90°时,过点 B 作 BE⊥CD,交 DC 的延长线于点 E. 所以四边形 BODE 为长方形. 所以 DE = BO, OD = BE,$S_{长方形BODE}=BO·BE$. 易证$△ BCE ≌ △ BAO$(AAS),所以 $S_{△ BCE}=S_{△ BAO}$,$CE=AO=3$,$BE=BO$. 所以 $S_{长方形BODE}=S_{四边形BODC}+S_{△ BCE}=S_{四边形BODC}+S_{△ BAO}=S_{四边形ABCD}$. 又四边形 ABCD 的面积为 36,所以 $S_{长方形BODE}=36$,即 $BO·BE=36$. 所以 $BO^2=36$. 所以 BO=6,即 DE=BO=6,OD=BE=BO=6. 所以 CD=DE-CE=3. 所以 C(6,3). 设直线 AC 对应的函数表达式为 y=kx+b,则 $\begin{cases} 6k+b=3,\\ -3k+b=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=\frac{1}{3},\\ b=1. \end{cases}$ 所以直线 AC 对应的函数表达式为 $y=\frac{1}{3}x+1$;② 如图②,当线段 AB 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°时,过点 B 作 BF⊥CD,垂足为 F. 同理,得四边形 OBFD 为长方形. 所以 OD=BF,BO=DF,$S_{长方形OBFD}=BF·BO$. 易证$△ BCF ≌ △ BAO$(AAS),所以 $S_{△ BCF}=S_{△ BAO}$,$CF=AO=3$,$BF=BO$. 所以 $S_{长方形OBFD}=BO^2$. 所以 $S_{长方形OBFD}=S_{四边形BFDA}+S_{△ BAO}=S_{四边形BFDA}+S_{△ BCF}=S_{四边形ABCD}$. 又四边形 ABCD 的面积为 36,所以 $S_{长方形OBFD}=36$. 所以 $BO^2=36$. 所以 BO=6,即 DF=6,OD=BF=BO=6. 所以 CD=DF+CF=9. 所以 C(-6,9). 设直线 AC 对应的函数表达式为 y=mx+n,则 $\begin{cases} -3m+n=0,\\ -6m+n=9, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=-3,\\ n=-9. \end{cases}$ 所以直线 AC 对应的函数表达式为 y=-3x-9. 综上,直线 AC 对应的函数表达式为 $y=\frac{1}{3}x+1$ 或 y=-3x-9.