【典例1】(2026·青山月考)当$x$分别取$2020,2019,\dots,2,1,0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots,\frac{1}{2019},\frac{1}{2020}$时，计算分式$\frac{x^2 -1}{x^2 +1}$的值，再将所得结果相加，其和等于()

A.$\frac{2020}{2021}$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$

解:当 $x=a$ 时,$\frac{x^2 -1}{x^2 +1}=\frac{a^2 -1}{a^2 +1}$,
当 $x=\frac{1}{a}$ 时,$\frac{x^2 -1}{x^2 +1}=\frac{1 - a^2}{a^2 +1}$,
$\because\frac{a^2 -1}{a^2 +1}+\frac{1 - a^2}{a^2 +1}=0$,$\therefore$当 $x=a$ 时与当 $x=\frac{1}{a}$ 时所得的代数式的和为 0.
$\therefore$当 $x=2020$ 时与当 $x=\frac{1}{2020}$ 时所得的代数式的和为 0,
当 $x=2019$ 时与当 $x=\frac{1}{2019}$ 时所得的代数式的和为 0,
……
当 $x=2$ 时与当 $x=\frac{1}{2}$ 时所得的代数式的和为 0,
当 $x=1$ 时所得的代数式的值为 0,
当 $x=0$ 时所求的代数式的值为 $-1$,
再将所得结果相加,其和等于 $-1$.

变式.规定 $y=\frac{x^2}{x^2+1}=f(x)$，例如：$f(1)$表示当 $x=1$ 时 $y$ 的值，即 $f(1)=\frac{1^2}{1^2+1}=\frac{1}{2}$；$f(\frac{1}{2})$表示当 $x=\frac{1}{2}$时 $y$ 的值，即 $f(\frac{1}{2})=\frac{(\frac{1}{2})^2}{(\frac{1}{2})^2+1}=\frac{1}{5}$；…那么 $f(2025)+f(2024)+f(2023)+\dots+f(3)+f(2)+f(1)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\dots+f(\frac{1}{2023})+f(\frac{1}{2024})+f(\frac{1}{2025})=$ 。

2024.5

【典例2】(2026·四川)观察以下等式：
第1个等式：$\frac{4}{9}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{9}$；
第2个等式：$\frac{9}{16}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{16}$；
第3个等式：$\frac{16}{25}+\frac{1}{5}=\frac{4}{5}+\frac{1}{25}$；
第4个等式：$\frac{25}{36}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}+\frac{1}{36}$；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示)，并证明。

(1)$\frac{36}{49}+\frac{1}{7}=\frac{6}{7}+\frac{1}{49}$
(2)$\frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}+\frac{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}$.
证明:$(\frac{n+1}{n+2})^2 -\frac{1}{(n+2)^2}=\frac{n^2 + 2n}{(n+2)^2}=\frac{n}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}-\frac{1}{n+2}$.