【典例1】(教材P154例4变式)从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，第一个旅客一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；第二个旅客一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，哪个旅客先到达目的地？（速度单位都相同）

解:设路程为s,第一个旅客所用时间$t_甲$,第二个为$t_乙$,
$t_甲=\frac{0.5s}{a}+\frac{0.5s}{b}=\frac{s(a+b)}{2ab}$,
$t_乙=\frac{2s}{a+b},t_甲-t_乙=\frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}$,
故当$a=b$时,$t_甲=t_乙$,即同时到达;
当$a≠b$时,$t_甲＞t_乙$,即第二个旅客先到.

【典例2】小美和小聪家住水果湖，周末相约到东湖绿道游玩，小美乘坐地铁，小聪乘坐公交车，同时出发到梨园公交车站汇合.游玩途径东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价$a$元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥饼；两人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了$b$元/斤($a≠b$)，小美又买了两斤，小聪又买了20元钱的酥饼.
(1)用$a$，$b$表示小美购买酥饼的平均价格$P_{小美}=$，小聪购买酥饼的平均价格$P_{小聪}=$；
(2)小美和小聪谁的平均价格低？说明理由.

解:(1)根据题意得:小美购买酥饼的平均价格$P_{小美}=$$\frac{2a+2b}{2+2}=\frac{a+b}{2}$(元/斤);
小聪购买酥饼的平均价格
$P_{小聪}=\frac{20+20}{\frac{20}{a}+\frac{20}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$(元/斤).
故答案为:$\frac{a+b}{2}$元/斤,$\frac{2ab}{a+b}$元/斤;
(2)小聪购买酥饼的平均价格低,理由如下:
$P_{小美}-P_{小聪}=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2}{2(a+b)}-\frac{4ab}{2(a+b)}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$,
$\because a≠b$,且$a,b＞0$,$\therefore a+b＞0$,$(a-b)^2＞0$,
$\therefore \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$,即$P_{小美}-P_{小聪}＞0$,
$\therefore$小聪购买酥饼的平均价格低.

【典例3】(2026·武汉)为提高使用效率,公司需要全部购买双枪充电桩,现有甲、乙、丙三个厂家,2025年这三家双枪充电桩销售价格相同,2026年以来,为抢占市场,他们均对双枪充电桩进行两次降价销售,具体活动如下:
甲:第一次降价 $ p\% $,第二次降价 $ q\% $; 乙:第一次降价 $ q\% $,第二次降价 $ p\% $;
丙:连续两次降价均为$ \frac{p+q}{2}\% $.
其中 $ p,q $ 是不相等的正数,现公司选择到哪个厂家购买双枪充电桩更划算?请说明理由.

解:设三个厂家双枪充电桩为1,
令$p\%=a$,$q\%=b$,
甲厂家:$(1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab$,
乙厂家:$(1-b)(1-a)=1-(a+b)+ab$,
丙厂家:$(1-\frac{a+b}{2})(1-\frac{a+b}{2})=1-(a+b)+(\frac{a+b}{2})^2$,
$\because a＞0,b＞0$,且$a≠b$,
$(\frac{a+b}{2})^2-ab$
$=\frac{1}{4}(a^2+b^2)-\frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{4}(a^2+b^2-2ab)$
$=\frac{1}{4}(a-b)^2＞0$,
$\therefore$甲、乙厂家降价相同,两厂家降价最多.
答:选择甲、乙购买更划算.